Oppgave

Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Er funksjonene kontinuerlige eller ikke?

2.2.1

Avgjør om funksjonene er kontinuerlige.

a) $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$

Løsning

Dette er en polynomfunksjon. Funksjonen er kontinuerlig for $x \in ℝ$ .

b) $f (x) = \frac{x}{x - 4}$

Løsning

Dette er en rasjonal funksjon, og er dermed kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

c) $h (x) = e^{x^{2} + 2}$

Løsning

Denne funksjonen er satt sammen av en eksponentialfunksjon og en polynomfunksjon. Begge funksjonstypene er kontinuerlige, dermed er også funksjonen selv kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

2.2.2

På en matematikkprøve ble karakterene bestemt av oppnådde poeng. Sammenhengen mellom poeng og karakter på matematikkprøven var som følger:

karakterskala
Poengsum	Karakter
$[0, 25 〉$	1
$[25, 45 ⟩$	2
$[45, 60 ⟩$	3
$[60, 80 ⟩$	4
$[80, 95 ⟩$	5
$[95, 100]$	6

Her kan vi oppfatte karakteren som en funksjon av poengsummen. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i hele området fra 0 poeng til 100 poeng.

Løsning

Funksjonen er bare kontinuerlig innenfor de enkelte poengintervallene, se figuren nedenfor.

Lar vi for eksempel poengsummen nærme seg 25 nedenfra, blir karakteren 1. Dersom vi lar poengsummen nærme seg 25 ovenfra, blir karakteren 2. Blir poengsummen nøyaktig 25, blir også karakteren 2.

Funksjonen er dermed ikke kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

Et koordinatsystem med benevnelsen poeng langs x-aksen og karakter langs y aksen er tegnet. 6 linjestykker er tegnet inn. Det første linjestykket går vannrett langs ei linje der y er lik 1, og strekker seg fra og med x er lik 0 til x er lik 25. Det andre linjestykket går vannrett langs ei linje der y er lik 2, og strekker seg fra og med x er lik 25 til x er lik 45. Det tredje linjestykket går vannrett langs ei linje der y er lik 3, og strekker seg fra og med x er lik 45 til x er lik 60. Det fjerde linjestykket går vannrett langs ei linje der y er lik 4, og strekker seg fra og med x er lik 60 til x er lik 80. Det femte linjestykket går vannrett langs ei linje der y er lik 5, og strekker seg fra og med x er lik 80 til x er lik 95. Det sjette linjestykket går vannrett langs ei linje der y er lik 6, og strekker seg fra og med x er lik 95 til og med x er lik 100. Illustrasjon.

2.2.3

Gjennom et vinterdøgn ble det målt følgende temperaturer:

Temperatur gjennom et vinterdøgn
Tidspunkt	Temperatur i °C
02:00	$- 8, 0$
06:00	$- 10, 8$
10:00	$- 7, 4$
14:00	$- 4, 9$
18:00	$- 6, 5$
22:00	$- 7, 8$

Her kan vi oppfatte temperaturen som en funksjon av tida. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet.

Løsning

Grafen til funksjonen vil være sammenhengende i hele området, siden temperatur fra naturens side ikke kan gjøre sprang. Den må endres gradvis. Funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet. Grafen er her tegnet som rette linjestykker mellom målepunktene. Vi kan ikke være sikre på hvordan grafen går mellom målepunktene, heller ikke om målepunktene representerer maksimums- og minimumstemperaturene.

Et koordinatsystem der x-aksen har tittelen timer etter midnatt og y-aksen har tittelen temperatur i °C. Rette linjestykker mellom punkter danner ei sammenhengende linje. Punktene er 2 og minus 8, det andre punktet er 6 og minus 10,8, det tredje punktet er 10 og minus 7,4, det fjerde punktet er 14 og minus 4,9, det femte punktet er 18 og minus 6,5, og det siste punktet er 22 og minus 7,8. Illustrasjon.

2.2.4

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen f.

Et koordinatsystem med to piler som peker mot hverandre. Den ene er synkende og stopper i punktet x er minus 2 og y er 4. Den andre pila er stigende og stopper i det samme punktet. Illustrasjon.

a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = 2$

b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 2$

c) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2} f (x)$

Løsning

Her er de to ensidige grenseverdiene like, så vi kan si at:

$\lim_{x \to - 2} f (x) = 2$

d) Finn $f (- 2)$ dersom den eksisterer.

Løsning

Grafen viser et brudd ved $x = - 2$ . Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for $x = - 2$ .

e) Er funksjonen kontinuerlig?

Løsning

Ja, funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x unntatt når $x = - 2$ . For denne verdien er funksjonen ikke definert, dermed er funksjonen kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

2.2.5

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen f.

Et koordinatsystem med to piler som peker mot hverandre. Den ene er synkende og stopper i punktet x er minus 2 og y er 2. Den andre pila er stigende og stopper i punktet x er minus 2 og y er 1. Illustrasjon.

a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = 2$

b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 1$

c) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2} f (x)$

Løsning

Her er de to ensidige grenseverdiene ulike, så dermed eksisterer ikke denne grenseverdien.

d) Finn $f (- 2)$ dersom den eksisterer.

Løsning

Grafen viser et brudd ved $x = - 2$ . Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for $x = - 2$ .

e) Er funksjonen kontinuerlig?

Løsning

Ja, funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x unntatt når $x = - 2$ . For denne verdien er funksjonen ikke definert, dermed er funksjonen kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

2.2.6

Finn definisjonsområdet til funksjonene og avgjør i hvilke områder funksjonene f og g er kontinuerlige?

a) $f (x) = \frac{x - 2 x}{x}$

Løsning

Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x der den er definert, siden det er en rasjonal funksjon. Siden funksjonen ikke er definert for $x = 0$ , kan vi si at den er definert for $x \in ℝ \ {0}$ .

b) $g (x) = \frac{1}{x}$

Løsning

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

Regler for bruk av teksten "Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner"