To vinkler – samme sinusverdi

Det interaktive GeoGebra-arket nedenfor viser enhetssirkelen med to punkter P₁ og P₂. Strålen fra origo til P₁ danner vinkelen 𝑣 med den positive delen av x-aksen, mens strålen fra origo til P₂ danner vinkelen 𝑢 med samme akse. Da kan vi skrive opp koordinatene til de to punktene med hjelp av cosinus og sinus til de to vinklene som vist i figuren.

Dra i glidebryteren på figuren for å endre på vinkel 𝑣. Vi minner om at begge vinklene 𝑢 og 𝑣 måles i forhold til den positive delen av x-aksen.

Er du enig i at vinklene $u$ og $v$i det interaktive GeoGebra-arket over er til sammen 180 grader og har samme sinusverdi?

Siden$u+v=180°$, er $v=180°-u$. Da kalles også de to vinklene for supplementvinkler.

Vi får at

$\sin u=\sin v=\sin (180°-u)$

Kan du også fra figuren se at

$\cos u=-\cos (180°-u)$?

Oppgave 1

Bruk figuren og finn supplementvinkelen til 30°, til 45° og til 157,5°. Kontroller svaret ved regning.

Oppgave 2

Prøv å finne disse verdiene ved hjelp av figuren:

$$\begin{gathered} \sin 0° \sin 90° \sin 180° \\ \cos 0° \cos 90° \cos 180° \end{gathered}$$

Hvis vi for eksempel får opplyst at sinus til en vinkel er 0,5, så vet vi ikke om vinkelen er 30 grader eller 150 grader. Det betyr at likningen$\sin x=0,5$ har to løsninger.

Dette kan du føre slik

$\begin{array}{rcl}\sin x & = & 0,5\\ & & \\ x& =& \mathrm{asin}(0,5)\\ & & \\ x& =& 30° \vee x=180°-30°=150°\\ & & \\ & & \mathrm{Tegnet} \vee \mathrm{betyr} "\mathrm{eller}".\end{array}$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(\mathrm{x}°\right)=\frac{1}{2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{x}=30, \mathrm{x}=150\}\end{array}}$

Noen digitale verktøy gir bare den ene løsningen. Da må du selv passe på å få med den andre.

I praktiske oppgaver der du skal finne en ukjent vinkel med en sinuslikning som den over, må du vurdere hvilken av løsningene som passer eller om begge løsningene kan brukes.

I dette kurset regner vi bare med vinkler opp til 180 grader. For disse vinklene får vi ikke problemer med to løsninger av likninger med cosinus og tangens.

$\begin{array}{rcl}\sin 150°& = & \sin 30°=0,5\\ & & \\ \cos 150°& =& -\cos 30°\approx -0,866\end{array}$