Arealsetningen for trekanter

Vi skal finne arealet av et trekantet lekeområde ABC hvor AB er 60 m, AC er 50 m og vinkel A er 57 grader.

Løsning

Vi kjenner arealformelen for en trekant:.

Høyden h deler trekanten i to rettvinklede trekanter. I den venstre rettvinklede trekanten blir høyden h motstående katet til vinkel A. Hypotenusen blir siden AC. Da kan vi sette opp

å

Når vi setter dette inn i arealformelen for trekanten, får vi

Arealet av lekeområdet er .

Se på eksempelet over og skriv ned med hele setninger hvordan vi regnet ut arealet til trekanten. Klikk på boksen nedenfor for å se forslag til tekst.

Denne framgangsmåten kan brukes i alle lignende situasjoner. Vi kan da lage en generell formel for arealet av en trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Med samme framgangsmåte som i eksempelet over, får vi

Vi får da at

Kan vi bruke formelen over uansett hvor stor vinkelen mellom de to aktuelle sidene er? Vi ser på en trekant hvor vinkelen u mellom de to sidene p og q er større enn 90 grader, slik som figuren til venstre nedenfor.

Vi har også lagd en hjelpefigur der vi har tegnet inn høyden i trekanten når vi har valgt p som grunnlinje.

Bruk hjelpefiguren og finn en formel for høyden h i trekanten ut i fra vinkelen v og siden q.

Vi har videre at

Vinklene 𝑢 og 𝑣 i trekanten over er dermed supplementvinkler som har samme sinusverdi. Da har vi altså at

Arealet av trekanten blir da

Formelen for arealet vi kom fram til over, gjelder altså også her, og dermed for alle trekanter.

Arealsetningen for trekanter

La 𝑢 være vinkelen mellom to sider p og q i en trekant.

Arealet av trekanten er gitt ved formelen

Regn ut arealet av trekant ABC når

og

Løsning

Her bruker vi arealsetningen direkte, og vi bruker GeoGebra til å regne ut arealet.

Hvis vi vil, kan vi sette utregningen lik variabelen "Arealet" og ta med enhetene.

Arealet er .