Oppgave

Lineære ulikheter

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

1.10.1

Løs ulikhetene

a) $x - 3 < 5$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - 3 & < & 5 \\ x & < & 5 + 3 \\ x & < & 8 \end{array}$

b) $2 x + 1 > 3$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & > & 3 \\ 2 x & > & 2 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $2 x - 4 < x - 4$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & < & x - 4 \\ 2 x - x & < & - 4 + 4 \\ x & < & 0 \end{array}$

1.10.2

Løs ulikhetene

a) $3 x - 5 < 5$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 x - 5 & < & 5 \\ 3 x & < & 10 \\ x & < & \frac{10}{3} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $6 - 5 x \geq 6 (1 - x)$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 - 5 x & \geq & 6 (1 - x) \\ - 5 x + 6 x & \geq & 6 - 6 \\ x & \geq & 0 \end{array}$

d) $x - 3 \leq 2 (x + 6)$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - 3 & \leq & 2 (x + 6) \\ x - 2 x & \leq & 12 + 3 \\ - x & \leq & 15 Dividerer på (- 1) \\ og snur ulikhetstegnet \\ x & \geq & - 15 \end{array}$

1.10.3

Løs ulikhetene

a) $3 (x - 5) < 5 (x - 2)$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 (x - 5) & < & 5 (x - 2) \\ 3 x - 15 & < & 5 x - 10 \\ 3 x - 5 x & < & - 10 + 15 \\ - 2 x & < & 5 Dividerer på (- 2) \\ og snur ulikhetstegnet \\ x & > & - \frac{5}{2} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $1 - x \geq 1 + x$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 1 - x & \geq & 1 + x \\ - x - x & \geq & 1 - 1 \\ - 2 x & \geq & 0 Dividerer på (- 2) \\ og snur ulikhetstegnet \\ x & \leq & 0 \end{array}$

d) $3 (2 x - 3) < 6 x - 9$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 (2 x - 3) & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 6 x & < & - 9 + 9 \\ 0 x & < & 0 \end{array}$

$0 x$ kan aldri bli mindre enn $0$ . Det betyr at ulikheten ikke har løsning.

1.10.4

Løs ulikhetene

a) $\frac{2}{3} x - 2 \leq - 3$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x - 2 & \leq & - 3 \\ \frac{2 x \cdot 3}{3} - 2 \cdot 3 & \leq & - 3 \cdot 3 \\ 2 x - 6 & \leq & - 9 \\ 2 x & \leq & - 3 \\ x & \leq & - \frac{3}{2} \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > \frac{1}{6}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - \frac{x}{3} & > & \frac{1}{6} \\ \frac{x \cdot 6}{2} - \frac{x \cdot 6}{3} & > & \frac{1 \cdot 6}{6} \\ 3 x - 2 x & > & 1 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $\frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} \geq 3 - \frac{x}{6}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} & \geq & 3 - \frac{x}{6} \\ \frac{5 x \cdot 12}{2} + \frac{x \cdot 12}{3} - \frac{7 \cdot 12}{4} & \geq & 3 \cdot 12 - \frac{x \cdot 12}{6} \\ 30 x + 4 x - 21 & \geq & 36 - 2 x \\ 36 x & \geq & 57 \\ x & \geq & \frac{57}{36} \\ x & \geq & \frac{19}{12} x \in [\frac{19}{12}, \to> \end{array}$

d) $\frac{3}{2} (2 x - 3) < 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2})$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (2 x - 3) & < & 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2}) \\ \frac{6 x}{2} - \frac{9}{2} & < & \frac{9 x}{3} + \frac{9}{2} \\ 3 x - 3 x & < & \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\ 0 x & < & 9 \end{array}$

$0 x$ er alltid mindre enn $9$ . Det betyr at ulikheten er gyldig for alle mulige $x$ .

1.10.5

Per skal ha sommerjobb som jordbærplukker. Han har valget mellom to ulike lønnsavtaler.

1) Han kan få en fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for hver kurv han plukker.

2) Han kan få 5 kroner for hver kurv han plukker, men da får han ikke noen fast timelønn.

Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kurver Per må plukke i timen for at avtale 2) skal lønne seg.

vis fasit

Vi lar $x$ være antall kurver Per plukker og setter opp uttrykk for hver av de to lønnsavtalene.

1) $50 + 2 x$

2) $5 x$

Vi får ulikheten

$\begin{array}{rcl} 5 x & > & 50 + 2 x \\ 3 x & > & 50 \\ x & > & 16, 7 \end{array}$

Per må plukke minst 17 kurver i timen for at avtale 2) skal lønne seg.

1.10.6

Kari og familien skal på tur. De vil leie bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leiebiltilbud og funnet fram til to aktuelle.

1) 700 kroner per døgn, fri kjørelengde opp til 500 km. Over det betales det 5 kroner per kilometer.

2) 1500 kroner per døgn. Fri kjørelengde.

Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kilometer de må kjøre for at avtale 2) skal lønne seg.

vis fasit

Det er klart at hvis kjørelengden er mindre enn eller lik 500 kilometer så lønner 1) seg (lavere døgnpris). Kjørelengden må altså være høyere enn 500 kilometer for at 2) skal lønne seg. Vi lar x være antall kilometer de kjører over 500 kilometer og setter opp uttrykk for de to tilbudene.

1) $700 \cdot 5 + 5 x$

2) $1500 \cdot 5$

Avtale 2) skal lønne seg . (Det betyr her at 2) skal gi lavest kostnad.)

Vi får

$\begin{array}{rcl} 1500 \cdot 5 & < & 700 \cdot 5 + 5 x \\ - 5 x & < & 3500 - 7500 \\ - 5 x & < & - 4000 \\ x & > & 800 \end{array}$

Det betyr at de må kjøre mer enn $800 km + 500 km = 1300 km$ for at tilbud 2) skal lønne seg.

1.10.1

1.10.2

1.10.3

1.10.4

1.10.5

1.10.6

Regler for bruk av teksten "Lineære ulikheter"