Oppgave

Likninger med rasjonale uttrykk

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

1.8.20

a) Gitt likningen $\frac{2}{x} - 4 = 0$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

$x = 0$ gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{2}{x} - x \cdot 4 & = & x \cdot 0 \\ 2 - 4 x & = & 0 \\ - 2 x & = & - 2 \\ x & = & \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2} \end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

b) Gitt likningen $3 - \frac{2}{x} = - \frac{1}{x}$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

$x = 0$ gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x \cdot 3 - x \cdot \frac{2}{x} & = & x \cdot - \frac{1}{x} \\ 2 x - 2 & = & - 1 \\ 3 x & = & 1 \\ x & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

c) Gitt likningen $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} = \frac{x}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi starter med å løse likningen

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \\ = & \frac{3 \pm 1}{2} \\ x_{1} & = & \frac{3 + 1}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}$

$x^{2} - 3 x + 2$ har altså nullpunktene $x = 1$ og $x = 2$ . Disse løsningene gir $0$ i nevneren på høyre side av likningen og kan ikke godtas som løsning av likningen. Den første brøken på venstre side av likningen er null når $x = 1$ , den andre er null når $x = 2$ .

Vi må forkaste løsningene $x = 1$ og $x = 2$ .

2) Løs likningen.

vis fasit

Fra oppgaven over har vi at fellesnevneren til likningen er $(x - 1) (x - 2)$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} & = & \frac{x}{(x - 1) (x - 2)} \\ \frac{2 \cdot (x - 1) (x - 2)}{x - 1} + \frac{1 \cdot (x - 1) (x - 2)}{x - 2} & = & \frac{x \cdot (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \\ 2 (x - 2) + (x - 1) & = & x \\ 2 x - 4 + x - 1 & = & x \\ 2 x + x - x & = & 4 + 1 \\ 2 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{2} \end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

d) Gitt likningen $\frac{2}{2 x - 2} + \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 3}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi har fra oppgave c) at $x^{2} - 3 x + 2$ har nullpunktene $x = 1$ og $x = 2$ . Disse løsningene gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{2 (x - 1)} + \frac{1}{x - 2} & = & \frac{x - 3}{(x - 1) (x - 2)} \\ \frac{2 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} + \frac{1 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{x - 2} & = & \frac{(x - 3) \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \\ 2 (x - 2) + 2 (x - 1) & = & 2 (x - 3) \\ 2 x - 4 + 2 x - 2 & = & 2 x - 6 \\ 2 x + 2 x - 2 x & = & 4 + 2 - 6 \\ 2 x & = & 0 \\ x & = & 0 \end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

e) Gitt likningen $\frac{3}{2 x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 3}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi har fra oppgave c) at $x^{2} - 3 x + 2$ har nullpunktene $x = 1$ og $x = 2$ . Disse løsningene gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} & = & \frac{x - 3}{(x - 1) (x - 2)} \\ \frac{3 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} - \frac{1 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{x - 2} & = & \frac{(x - 3) \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \\ 3 (x - 2) - 2 (x - 1) & = & 2 (x - 3) \\ 3 x - 6 - 2 x + 2 & = & 2 x - 6 \\ 3 x - 2 x - 2 x & = & 6 - 2 - 6 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for $x = 2$ .

Likningen har ingen løsning.

Løsning med CAS:

Eksakt CAS-løsning av likningen 3 delt på parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 1 delt på parentes x minus 2 parentes slutt er lik parentes x minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 3 x pluss 2 parentes slutt. Utklipp. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Tilnærma CAS-løsning av likningen 3 delt på parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 1 delt på parentes x minus 2 parentes slutt er lik parentes x minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 3 x pluss 2 parentes slutt. Utklipp. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Merk hvordan GeoGebra markerer at likningen ikke har løsning. Vi har her prøvd både eksakt og tilnærma løsning.

1.8.20

Regler for bruk av teksten "Likninger med rasjonale uttrykk"