Forsøk

Simulering: halveringstid

I denne simuleringen skal du blant annet finne ut hvor lang halveringstida til et tenkt radioaktivt materiale er.

Simuleringen nedenfor viser hvor raskt det tenkte radioaktive grunnstoffet lurium blir omdannet. Ved tidspunktet $t = 0$ dager har vi 240 atomer lurium, eller 100 %. For hver gang du trykker på knappen, går det ett døgn, og simuleringen viser hvor mye lurium som er igjen.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises(GGB)

1. Hvor lang tid er det omtrent til luriummengden er halvert (halveringstida)? Prøv å svare med én desimal.

Tips til oppgaven

Kjør simuleringen til du har fått minst ett punkt nedenfor linja som svarer til 50 %. Prøv å anslå omtrent hvor en tenkt graf mellom punktene vil krysse denne linja. Du vil mest sannsynlig få ei halveringstid på et sted mellom 4 og 5 døgn.

2. Omtrent hvor mange prosent av luriumet er det igjen etter 12 døgn?

Tips til oppgaven

Kjør simuleringen i 12 dager og bruk det siste punktet til å lese av hvor mange prosent lurium det er igjen.

3. Hva blir den tilnærmede, gjennomsnittlige prosentvise reduksjonen av lurium per døgn ut ifra svaret på det forrige spørsmålet?

Løsning

Vi antar nå at du fikk at det var igjen 13 % lurium etter 12 døgn. Det betyr at vekstfaktoren for den totale reduksjonen er 0,13. Dersom du fikk en annen prosent, bruker du den.

Vi tenker oss at vi har den samme prosentvise reduksjonen av lurium fra dag til dag, og vi setter vekstfaktoren for endringen fra dag til dag lik x. For hver dag som går, må vi derfor multiplisere restmengden av lurium med x. Etter 12 dager skal produktet av alle vekstfaktorene for én dag bli lik den totale vekstfaktoren etter 12 dager, 0,13. Dette gir oss likningen

$x^{12} = 0, 13$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet x i tolvte er lik 0,13. Svaret med Løs er x er lik to rotuttrykk som vi finner et tilnærmet uttrykk for på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 0,84 eller x er lik 0,84. Skjermutklipp.

Vekstfaktoren blir 0,84, eller 84 %, som betyr at luriummengden blir redusert med 16 % fra dag til dag i gjennomsnitt.

4. Bruk svaret i det forrige spørsmålet til å lage en eksponentialfunksjon som viser restmengden av lurium i prosent som funksjon av antall døgn.

Løsning

Funksjonen for restmengden må være lik den opprinnelige luriummengden multiplisert med vekstfaktoren opphøyd i antall døgn. Dersom vi kaller restmengden i prosent for r og antall døgn for t, får vi med våre tall

$r (t) = 100 \cdot 0, 84^{t}$

5. Bruk funksjonen til å regne ut halveringstida til lurium.

Løsning

Vi ønsker å finne ut når funksjonen r har blitt halvert, det vil si når den har verdien 50. Dette gir oss likningen $r (t) = 50$ , som vi løser med CAS.

På linje 3 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen r av t er lik 100 multiplisert med 0,84 opphøyd i t definert. På linje 4 er r av t satt lik 50. Svaret med Løs er t er lik et uttrykk som vi regner ut tilnærmet verdi for på neste linje. På linje 5 er det skrevet dollartegn 4. Svaret med tilnærming er t er lik 3,98. Skjermutklipp.

Med våre tall tar det omtrent 4 døgn før luriummengden er halvert.

Regler for bruk av teksten "Simulering: halveringstid"