Andregradslikninger uten formel

Vi har at $$ c=0$$, så vi faktoriserer ved å trekke $$ 2x$$ utenfor en parentes:

$$ \begin{array}{rcl}2x^2-2x& =& 0\\ 2x\left(x-1\right)& = & 0\\ & & \\ 2x& =& 0 \vee x-1=0\\ x& =& 0 \vee x=1\end{array}$$

Her mangler førstegradsleddet, så vi ordner likningen med andregradsleddet på venstre side og konstantleddet på høyre side:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4& =& 0\\ x^2& = & 4\\ & & \\ x& =& \sqrt{4} \vee x=-\sqrt{4}\\ x& =& 2 \vee x=-2\end{array}$$

Vi har et fullstendig kvadrat på venstre side:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-5\right)}^2& =& 16\\ x-5& =& \pm \sqrt{16}=\pm 4\\ & & \\ x-5=4& \vee & x-5=-4\\ x=9& \vee & x=1\end{array}$$

Vi faktoriserer venstre side ved å se at $$ -7=7·(-1)$$ og $$ 7-1=6$$:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+6x-7& =& 0\\ \left(x+7\right)\left(x-1\right)& =& 0\\ & & \\ x+7=0& \vee & x+1=0\\ x=-7& \vee & x=1\end{array}$ $$$

$$ \begin{array}{rcl}12x& =& 3x^2\\ 12x-3x^2& = & 0\\ 3x\left(4-x\right)& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0 \vee 4-x=0\\ x& =& 0 \vee -x=-4\\ x& =& 0 \vee x=4\end{array}$$

Vi ordner likningen og deler på 2. Vi kjenner igjen første kvadratsetning.

$$ \begin{array}{rcl}2x^2+8x & =& -8\\ 2x^2+8x+8 & =& 0 |:2\\ x^2+4x+4 & =& 0\\ {\left(x+2\right)}^2 & =& 0\\ x+2 & =& 0\\ x & =& -2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}3x^2& = & 3 |:3\\ x^2& =& 1\\ x& =& \pm \sqrt{1}=\pm 1\\ & & \\ x=1& \vee & x=-1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}5x^2& =& 25x\\ 5x^2-25x& = & 0\\ 5x\left(x-5\right)& =& 0\\ & & \\ 5x& =& 0 \vee x-5=0\\ x& =& 0 \vee x=5\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2x^2+8 & =& 0\\ 2x^2 & =& -8 |:2\\ x^2 & =& -4\end{array}$$

Likningen har ingen reelle løsninger.

$$ \begin{array}{rcl} x^2-2x& = & 24\\ x^2-2·x+1^2& =& 24+1\\ x^2-2x+1& =& 25\\ {\left(x-1\right)}^2& =& 5^2\\ & & \\ x-1& =& 5 \vee x-1=-5\\ x& =& 6 \vee x=-4\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}-2x^2+4x+16& = & 0 \overline{):\left(-2\right)}\\ x^2-2x-8& =& 0\\ x^2-2·x+1^2& =& 8+1\\ {\left(x-1\right)}^2& =& 3^2\\ & & \\ x-1& =& 3 \vee x-1=-3\\ x& =& 4 \vee x=-2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}0,2x^2+0,8x& = & 2,4 \overline{):0,2}\\ x^2+4x+2^2& =& 12+4\\ {\left(x+2\right)}^2& =& 4^2\\ & & \\ x+2& =& 4 \vee x+2=-4\\ x& =& 2 \vee x =-6\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}0,1x^2+0,6x& = & -0,8 \overline{)·10}\\ x^2+6x+3^2& =& -8+9\\ {\left(x+3\right)}^2& =& 1^2\\ & & \\ x+3& =& 1 \vee x+1=-1\\ x& =& -2 \vee x=-4\end{array}$$

Vi ser at René har delt på x. Da risikerer man å miste en løsning på veien, og det har skjedd her. Rett løsning:

$$ $ \begin{array}{rcl}2x^2 & =& 18x |:2\\ x^2 & =& 9x\\ x^2-9x & =& 0\\ x\left(x-9\right) & =& 0\\ & & \\ x -9 & =& 0 \vee x = 0\\ x & =& 9 \vee x = 0\end{array}$$$

Vi får to løsninger, $$ x=0 \vee x=9$$.

Vi ser at i linje 3 legger René til grunn for løsningen sin at minst én av faktorene må være 9 for at produktet skal bli 9. Men dette argumentet er galt siden det er uendelig mange måter å få produktet 9 på. Dette argumentet gjelder bare dersom vi sammenlikner med 0.

Rett løsning:

$$ $ \begin{array}{rcl}3x^2+6x & =& 9 |-9\\ 3x^2+6x-9 & =& 0 | :3\\ x^2+2x-3 & =& 0\\ \left(x+3\right)\left(x-1\right) & =& 0\\ & & \\ x & =& -3 \vee x = 1\end{array}$$$

Her har René tatt kvadratrota av både $$ x^2$$ og 9. Men når man tar kvadratrota, mister man eventuelle negative løsninger siden kvadratrota av et tall alltid er positiv.

Rett løsning:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2 & =& 9\\ x & =& \pm \sqrt{9}\\ x & =& \pm 3\end{array}$$

Her har René gjort en feil mellom de to øverste linjene. Hen har flyttet 5 fra venstre til høyre side i likningen, men burde ha trukket fra 5 på begge sider slik at det ble $$ -5$$ på høyre side.

Rett løsning:

$$ $ \begin{array}{rcl}{x}^2-4x+5 & =& 0\\ x^2-4x+4 & =& -5+4\\ {\left(x-2\right)}^2 & =& -1\\ & & \end{array}$$$

Vi ser at likningen ikke har noen reelle løsninger.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2 & =& -3+4x\\ x^2 -4x +3 & =& 0\\ \left(x-3\right)\left(x-1\right) & =& 0\\ & & \\ x & =& 3 \vee x = 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+64 & =& 16x\\ x^2-16x+64 & =& 0\\ {\left(x-8\right)}^2 & =& 0\\ x & =& 8\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}4x^2+12x+9 & =& \hspace{0.17em}0\\ {\left(2x+3\right)}^2 & =& 0\\ 2x+3 & =& \hspace{0.17em}0\\ x & =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}4x & =& $ -\frac{1}{2}-8x^2$\\ 8x^2+4x+\frac{1}{2} & =& 0 |·2\\ 16x^2+8x+1 & =& 0\\ {\left(4x+1\right)}^2 & =& 0\\ 4x+1 & =& 0\\ 4x & =& -1\\ x & =& -\frac{1}{4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2-13$ & =& 0\\ x^2 & =& 13\\ x & =& \pm \sqrt{13}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2+15$ & =& 0\\ x^2 & =& -15\end{array}$$

Likningen har ingen reelle løsninger.

$$ \begin{array}{rcl}$ 9x^2+6x+1$ & =& 4\\ {\left(3x+1\right)}^2 & =& 4\\ 3x+1 & =& \pm 2\\ & & \\ 3x+1 & =& 2 \vee 3x+1 = -2\\ 3x & =& 1 \vee 3x =\hspace{0.17em}-3\\ x & =& \hspace{0.17em}\frac{1}{3} \vee x =\hspace{0.17em}-1\end{array}$$

Vi setter inn 10 m for høyden h og får

$10=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Vi setter inn 0 m for høyden h og får

$0=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi kan bare bruke den positive løsningen siden den negative løsningen vil gi et tidspunkt før ballen blir kastet, og dermed er utenfor det aktuelle området for variabelen t.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

Vi setter inn 15 m for høyden h og får

$15=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi får ingen løsning. Det må bety at ballen aldri når en høyde på 15 m over bakken.

Vi setter inn i formelen og får

$$ \begin{array}{rcl}250 & =& 2\pi r^2+2\pi r·5\\ & & \\ 250 & =& 2\pi r^2+10\pi r\end{array}$$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi kan bare bruke den positive løsningen siden en radius ikke kan være negativ.

Brusboksen har en radius på 4,3 cm.