Hopp til innhold
Oppgave

Takvinkler og tangens

Løs oppgavene ved å bruke den trigonometriske funksjonen tangens.

Oppgave 1

I reguleringsplanen i et område står det at takvinkelen på hus skal være mellom 23 og 27 grader. I dette området skal du være med og sette opp et hus som er 6 m bredt og med en takvinkel på 23 grader. Skråtaket skal være slik at den skrå takhimlingen på loftet møter gulvet sånn at rommet får en maksimal bredde på 6 m, altså bredden på huset. Se figuren nedenfor. Vi ser bort ifra at gulv og tak har tykkelse.

Ta utgangspunkt i at huset skal være 6 m bredt og med en takvinkel på 23 grader.

a) Hvor høyt blir loftsrommet på det høyeste? Er det en grei høyde?

b) Hva må takvinkelen være for at det skal bli full takhøyde 240 cm oppunder mønet og huset bare skal ha 6 m bredde? Er en slik vinkel tillatt ifølge reguleringsplanen?

c) Hvis takvinkelen er den største som reguleringsplanen tillater, hvor bredt må rommet (og huset) være for at takhøyden skal bli 240 cm på det høyeste?

d) Vi holder fast ved at bredden på huset skal være 6 m og takvinkelen 23 grader. Byggesakskontoret sier at den største høyden du kan ha oppunder mønet, er 2,00 m, ellers blir huset for høyt. Hva blir høyden på veggen ytterst i loftsrommet da?

e) På grunn av vilkåret i den forrige oppgaven ønsker du å bygge en knevegg for å smalne rommet for at ytterveggen ikke skal bli så lav. Kneveggen skal plasseres slik at høyden på den blir 1,20 m. Hvor bredt blir rommet?

Oppgave 2

a) Du skal finne takvinkelen på et hus. Du går opp på loftet og ser at taket møter gulvet på begge sider av rommet. Du måler bredden på rommet til 7,5 m. Høyden oppunder mønet er 2,30 m. Hva er takvinkelen på dette huset?

b) I et annet hus gjør du det samme. Her også møter taket gulvet på begge sider av loftsrommet. Det er bedre høyde under taket i dette rommet fordi takhøyden er (minst) 2,40 m i en bredde på 1,5 m ved mønet. Bredden på rommet er 6,5 m. Hva er takvinkelen?

c) I et tredje hus er det knevegg på loftet. Den er 1,20 m høy. Bredden av rommet er 5 m, og mønehøyden er 2,70 m. Hva er takvinkelen?

Løsninger på oppgavene

Oppgave 1 a)

Vi må huske å dele opp rommet slik at vi får en rettvinklet trekant som vi kan regne på. Her må vi tenke oss at vi deler rommet i to på midten slik at vi får to like, rettvinklede trekanter. Bredden av rommet i én av trekantene blir da 3,00 m. Trekantene har lik takhøyde. Vi har at

TakhøydeRombredde = tan23°

Det betyr at vi må multiplisere rombredden med tan23° for å regne ut takhøyden. Vi får

takhøyde = rombredde·tan23°=3,00 m·tan23°=1,27 m

(Vi kan også løse dette som en likning hvis vi vil. Da setter vi takhøyden lik x.)

Rommet blir 1,27 m på det høyeste. Det er altfor lavt for et oppholdsrom.

Oppgave 1 b)

Her er takvinkelen ukjent, så vi kaller den x. Vi får

tanx = TakhøydeRombredde=2,40 m3,00 m=0,8x=38,7°

Takvinkelen må være 39 grader.

Oppgave 1 c)

Den største tillatte takvinkelen er 27 grader. Takhøyden er 2,40 m. Siden vi multipliserer med forholdstallet tan27° når vi regner ut takhøyder, må vi dele på dette tallet når vi skal regne ut rombredder. Vi får

TakhøydeRombredde = tan27°Rombredde=Takhøydetan27°=2,40 mtan27°=4,71 m

Vi må huske at dette bare er den halve bredden av rommet. Hele bredden på huset må altså minst være

4,71 m·2=9,42 m

Alternativ løsningsmetode: Vi løser det som en likning og setter den ukjente rombredden lik x. Vi får

TakhøydeRombredde = tan27°2,40x=tan27°x·2,40x=tan27°·x2,40=tan27°·x2,40tan27°=tan27°·xtan27°4,71=x

Hele bredden blir igjen det dobbelte av dette, altså 9,42 m.

Oppgave 1 d)

Uten takløft er høyden under mønet 1,27 m. Hvis høyden under mønet skal være 2,00 m, må taket løftes

2,00 m-1,27 m=0,73 m=73 cm

Dette blir også høyden på veggene ytterst siden den i utgangspunktet var null.

Oppgave 1 e)

Fra forrige oppgave har vi at ytterveggen er 73 cm høy. En knevegg som bygges en ukjent lengde x cm fra ytterveggen, skal altså ha en høyde på 120 cm. Da øker vegghøyden fra 73 cm til 120 cm, altså blir det en høydeforskjell på  120 cm-73 cm=47 cm.

Denne høydeforskjellen er "takhøyden" i en liten trekant med samme "takvinkel" som huset og "rombredde" lik den ukjente lengden x. For å regne ut den ukjente "rombredden", må vi som tidligere dividere "takhøyden" på tangens til "takvinkelen". Vi får

x="Takhøyde"tan23°=47 cmtan23°=111 cm

Kneveggen må bygges 1,11 m fra ytterveggen. Når vi gjør det på begge sider, blir bredden av rommet

6,00 m-2·1,11 m=3,78 m

Oppgave 2 a)

Vi må dele rommet i to før vi regner på vinkelen. Da blir rombredden

7,5 m:2=3,75 m

Vi bruker definisjonen av tangens til en takvinkel x og får

tanx = TakhøydeRombredde=2,30 m3,75 m=0,613x=32°

Oppgave 2 b)

Her vet vi ikke høyden oppunder taket på det høyeste, men vi kan lage oss en trekant med samme "takvinkel" der "takhøyden" er 2,40 m. Vi kan regne ut "rombredden" i denne trekanten ved å ta den totale bredden av rommet, trekke fra området på midten der takhøyden var over 2,40 m og til slutt dele svaret på to. "Rombredden" blir

6,00 m-1,50 m2=2,25 m

Fra definisjonen av tangens til takvinkelen x har vi videre at

tanx = TakhøydeRombredde=2,40 m2,25 m=1,07x=47°

Takvinkelen er 47 grader.

Oppgave 2 c)

Hvis vi trekker ei linje fra toppen av den ene kneveggen til toppen av den andre, får vi en figur lik den i oppgave 2 a). Avstanden mellom kneveggene er 5 m. Høyden opp til mønet fra denne linja blir

2,70 m-1,20 m=1,50 m

Vi må igjen dele gulvbredden i to for å få to rettvinklede trekanter. Hver rettvinklede trekant har da "takhøyde" lik 1,50 m og "rombredde" lik

5 m:2=2,5 m

Fra definisjonen av tangens til en takvinkel får vi

tanx = TakhøydeRombredde=1,50 m2,50 m=0,6x=31°

Takvinkelen er 31 grader.

Skrevet av Bjarne Skurdal.
Sist faglig oppdatert 28.07.2020