Volum og buelengde

Vi kan beregne buelengden til en graf fra $$ x=a$$ til $$ x=b$$ ved hjelp av integrasjon ut fra sammenhengen $$ s={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx$$.

Dette vil selvfølgelig også gjelde for lengden av grafen til en lineær funksjon.

a) Bestem den eksakte buelengden til funksjonen $$ f\left(x\right)=2x$$ i intervallet $$ x\in \left[0,3\right]$$ på to forskjellige måter, uten bruk av digitale hjelpemidler.

b) Vi ønsker å bestemme buelengden til funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2$$ eksakt. Når funksjonen er noe annet enn lineær, viser det seg at det er komplisert å løse integralet i formelen for buelengde manuelt.

Bruk derfor CAS for beregne den eksakte buelengden til funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2$$ i intervallet $$ x\in \left[-2,2\right]$$.

Løsning

Siden den eksakte verdien av buelengden blir et komplisert uttrykk, beregner vi også tilnærmet verdi for buelengden.

Som nevnt er det ofte vanskelig å bestemme buelengde for funksjoner som ikke er lineære, og i mange tilfeller viser det seg at det er umulig å bestemme dette ved bruk av CAS. I slike tilfeller kan vi bestemme en tilnærmet verdi ved bruk av numeriske metoder.

Fra teorisiden har vi følgende sammenheng for lengden av et linjestykke mellom to punkter på en graf:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(∆s\right)}^2 & =& {\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2\\ ∆s & =& \sqrt{{\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2}\end{array}$$

a) Lag en algoritme for et program som beregner buelengden til funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2$$ mellom to $$ x$$-verdier numerisk. $$ x$$-verdiene og bredden på linjestykkene $$ \left(∆x\right)$$ skal oppgis av brukeren under kjøring av programmet.

b) Lag programmet som algoritmen beskriver.

1import math
2
3# Definerer funksjonen f
4def f(x):
5    return x**2 
6
7# Setter startverdi for buelengden
8buelengde=0
9
10# Informasjon gis.
11print("Dette programmet gjør en numerisk beregning av buelengde")
12print("for en gitt funksjon fra x1 til x.")
13
14# Inndata registreres.
15x1 = float(input("Skriv inn nedre grense, x1:"))
16x2 = float(input("Skriv inn øvre grense, x2:"))
17dx = float(input("Skriv inn verdi for dx:"))
18
19# Startverdi for x settes lik nedre grense for x.
20xVerdi=x1
21
22# Løkke som lengden av hver bit av buelengden og summerer etter hvert
23while xVerdi<x2:
24    #beregner dy ut fra gjeldende xVerdi
25    dy=f(xVerdi+dx)-f(xVerdi)
26    
27    #beregner buelengden for aktuell del av grafen
28    ds=math.sqrt(dy**2+dx**2)
29    
30    #legger til beregnet buedel til total buelengde
31    buelengde=buelengde+ds
32    
33    #beregner neste x-verdi
34    xVerdi=xVerdi+dx
35    
36print(f"Buelengden er {buelengde:.5f}.")

Volum av en romfigur er gitt ved

$$ V={\int }_{x_1}^{x_2}A\left(x\right) dx $$

der $$ A$$ er arealet av flaten av skiven og $$ dx$$ angir høyden av skiven.

Ei kule er et eksempel på en romfigur, og vi har vist på teorisiden at volumet av en kule er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{c}\end{array}V& = & {\int }_{-r}^r\pi \left(r^2-x^2\right) dx\end{array}$$

der $$ r$$ er radius i kula.

a) Bruk sammenhengen som er gitt over til å beregne volumet av ei kule med radius lik 2 cm ved hjelp av integrasjon, uten bruk av digitale hjelpemidler.

b) Bruk formelen for volum av kule, $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, til å kontrollere beregningen i a).

På teorisiden så vi at hvis vi deler ei kule med radius $$ r$$ i sylinderformede skiver med tykkelse $$ ∆x$$, vil volumet av hver skive bli

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{skive} & =& A\left(x\right)·∆x\\ & =& \pi \left(r^2-x^2\right)·∆x\end{array}$$

Vi kan bruke denne sammenhengen til å beregne volumet av ei kule numerisk.

a) Lag en algoritme for et program som beregner volumet av ei kule. Radius og antall skiver skal oppgis av brukeren ved kjøring av programmet.

b) Lag et program som beregner volumet av ei kule numerisk.

1import math
2
3# Info
4print("Dette programmet gjør en numerisk beregning av volumet av en kule")
5print("med radius r fra x1 til x2.")
6
7# Inndata registreres.
8r = float(input("Skriv inn verdi for radius:"))
9antall = float(input("Skriv inn antall skiver som kula skal deles inn i:"))
10
11# Startverdi for x settes lik nedre grense for x, som er -r.
12xVerdi=-r
13
14# Bredden på skivene beregnes.
15dx=2*r/antall
16
17#Startverdi for totaltVolum
18totaltVolum=0
19
20# Løkke som beregner volum av hver skive, og summerer etter hvert
21while xVerdi<r:
22    #beregner ny xVerdi
23    xVerdi=xVerdi+dx
24    
25    #beregner volum av skive
26    volum=math.pi*(r*r-xVerdi*xVerdi)*dx
27    
28    #legger beregnet volum til totalt volum
29    totaltVolum=totaltVolum+volum
30
31print(f"Volumet av kula er beregnet numerisk til {totaltVolum:.5f}.")