Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Vi ser på funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$

Nedenfor har vi tegnet grafen til $f$ i et koordinatsystem. Vi skal se hvordan vi kan finne arealet, $$ A$$, av det området som er farget blått.

Det blå området er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=3$  og $x=7$. Vi kan finne en tilnærmet verdi for arealet, A, hvis vi deler området under grafen inn i rektangler som vist på figuren nedenfor.

I GeoGebra kan du legge inn funksjonen og få frem rektanglene med kommandoen SumUnder(f, 3, 7, 4). Tallene 3 og 7 er nedre og øvre grense langs $x$-aksen, og det siste tallet, 4, er antallet rektangler vi deler intervallet mellom 3 og 7 opp i.

Vi ser at bredden av alle rektanglene i vårt tilfelle er 1, mens høyden varierer. Høyden er gitt ved funksjonsverdien for hver av $$ x$$-verdiene.

Vi kaller summen av de fire rektanglene for $A_4$. Vi får da

$\begin{array}{rcl}{A}_4& = & f\left(3\right)·1+f\left(4\right)·1+f\left(5\right)·1+f\left(6\right)·1\\ & & \\ & =& 3,25+4+5,25+7\\ & & \\ & =& 19,5\end{array}$

Vi ser tydelig av figuren ovenfor at det samlede arealet av de fire rektanglene er mindre enn arealet av hele det blå området. Vi mangler de fire "nestentrekantene" mellom grafen og de fire rektanglene.

Men vi kan likevel si at$$ A_4 $$er en tilnærming for$$ A $$.

For å få en bedre tilnærming kan vi dele området i stadig flere rektangler. I GeoGebra kan du øke antall rektangler, det vil si at du øker det siste tallet i kommandoen SumUnder(). I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre antallet rektangler ved å dra i glideren. Hva skjer med arealet av alle rektanglene når antallet rektangler øker?

Vi ser at rektanglene dekker mer og mer av det blå området jo flere rektangler vi lager.

Vi tenker oss at vi fortsetter å øke antall rektangler "i det uendelige". Bredden til rektanglene, som vi kaller $∆x$, vil gå mot null, og summen av arealene til rektanglene vil nærme seg arealet under kurven som grenseverdi.

Denne summen kaller vi for en Riemann-sum, oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann, som presenterte denne definisjonen i 1854.

Vi bruker den greske bokstaven $\mathrm{\Sigma }$ (stor sigma som er grekernes S) som betegnelse for sum av flere ledd. Det vil si at  $\sum _3^{7}f\left(x\right)·∆x$  betegner summen av arealene til rektanglene med bredde $$ ∆x$$ etter samme mønster som vist ovenfor.

For å markere grenseverdien for denne summen når $$ ∆x$$ går mot null, bruker vi symbolet $$ \int $$, og vi angir nedre og øvre grense ved å sette tallene på symbolet, altså slik: $$ {\int }_3^7$$.

Vi får da at arealet under grafen kan skrives som

$$ A=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _3^{7}f\left(x\right)·∆x={\int }_3^{7}f\left(x\right)dx$$

Det er dette uttrykket som defineres som det bestemte integralet av $f\left(x\right)$ fra  $x=3$  til $x=7$.

Det bestemte integralet fra $$ a$$ til $$ b$$ defineres som

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x$$

Geometrisk vil det bestemte integralet $$ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\int }_a^b\end{array}f\left(x\right)dx& \end{array}$$ representere arealet som er begrenset av $x$-aksen, linjene  $x=a$ og  $x=b$ og grafen til funksjonen $f\left(x\right)$.

En annen måte å finne en tilnærmet verdi for arealet $$ A$$ på, er å dele området under grafen inn i trapeser. Dette er vist på figuren nedenfor, og vi har brukt kommandoen TrapesSum(f, 3, 7, n), der verdien av $$ n$$ bestemmes av en glider.

Hvis vi deler det området i fire trapeser, vil arealet av det første trapeset være gitt ved

$$ A=\frac{f\left(3\right)+f\left(4\right)}{2}·∆x$$

Summen av arealene til de fire trapesene blir ut fra dette

$$\begin{gathered} \\ \begin{array}{ccl}{A}_4& =& \frac{f\left(3\right)+f\left(4\right)}{2}·∆x+\frac{f\left(4\right)+f\left(5\right)}{2}·∆x\\ & & +\frac{f\left(5\right)+f\left(6\right)}{2}·∆x+\frac{f\left(6\right)+f\left(7\right)}{2}·∆x\end{array} \end{gathered}$$

Dette uttrykket kan forenkles slik:

$$ A_4=(f\left(3\right)+2·f\left(4\right)+2·f\left(5\right)+2·f\left(6\right)+f\left(7\right))·\frac{∆x}{2}$$

Generelt kan vi si at trapesmetoden går ut på å gjøre en tilnærming av integralet $$ \begin{array}{cc}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx& \end{array}$$ med $$ n$$ trapeser, der $$ x_0$$ er nedre grense, mens $$ x_n$$ er øvre grense:

$$ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx & \approx & A_n=(f\left(x_0\right)+2·f\left(x_1\right)+\cdots \\ & & +2·f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right))·\frac{∆x}{2}\end{array}\end{array}$$