Ubestemte integraler, bestemte integraler og areal
3.1.20
Definer funksjonene i CAS, og bruk så CAS til å beregne de ubestemte integralene til hver funksjon.
a)
Løsning
b)
Løsning
c)
Løsning
d) Se på resultatene i oppgave a), b) og c). Hvilken sammenheng ser du mellom hver funksjon og det ubestemte integralet til funksjonen?
Løsning
Det ubestemte integralet er et polynom som er en grad høyere enn polynomet i den tilhørende funksjonen.
Vi ser også at hvert ledd i det ubestemte integralet er dividert på et tall som er en større enn eksponenten leddet hadde i den opprinnelige funksjonen.
3.1.21
Bruk funksjonene fra oppgave 3.1.20, og beregn de bestemte integralene som er angitt nedenfor, både ved hjelp av CAS og ved grafisk løsning. Legg merke til at tallverdiene (resultatet) av de bestemte integralene gis både i CAS og i grafikkfeltet.
a)
Løsning
b)
Løsning
c)
Løsning
3.1.22
Vi tar utgangspunkt i funksjonen .
a) Beregn
Løsning
Integralet kan beregnes både i algebrafeltet, grafisk og i CAS.
Løsning i algebrafeltet:
Grafisk løsning, som framkommer ved løsning i algebrafeltet:
Løsning i CAS:
b) Beregn arealet av området som er avgrenset av grafen til og linjene og , ved å regne ut arealet av området over -aksen og arealet av området under -aksen hver for seg og summere disse. Sammenlign med verdien av det bestemte integralet som ble beregnet i a).
Tips
Start med å finne nullpunktet for funksjonen f som ligger mellom og .
Løsning
Vi velger å løse oppgaven i CAS, og til tross for at vi som hovedregel skal bruke eksakte løsninger i CAS, velger vi å bruke numerisk løsning (tilnærmet verdi) i dette tilfellet. Da er det enklere å sammenlikne med det bestemte integralet som var beregnet i a).
Vi ser at det bestemte integralet i oppgave a) tilsvarer differansen mellom Areal1 og Areal2: .
3.1.23
I denne oppgaven skal du ved hjelp av CAS beregne arealer som er avgrenset av grafen, -aksen og to loddrette linjer. Selv om løsningen skal gjøres i CAS, vil det være nyttig å studere grafen i hvert enkelt tilfelle, slik at du vet hvilket område det er snakk om.
a) Funksjonen er gitt ved . Beregn arealet som er avgrenset av grafen til , -aksen og linjene og .
Løsning
Vi definerer funksjonen i CAS:
Vi studerer grafen som blir tegnet for å få et inntrykk av området som vi skal beregne arealet av, og vi ser at det består av to delområder: ett over -aksen og ett under -aksen.
Vi finner nullpunktene og beregner arealet i CAS.
NB: Vær oppmerksom på at det kan variere hvordan det bestemte integralet blir presentert i CAS, noe vi kan se av beregningen nedenfor. Inntastingen er den samme som over.
b) Funksjonen er gitt ved . Beregn arealet som er avgrenset av grafen til , -aksen og linjene og .
Løsning
Vi definerer funksjonen i CAS.
Vi studerer grafen som blir tegnet for å få et inntrykk av området som vi skal beregne arealet av. Vi ser at området består av tre delområder, der to er under -aksen og ett er over -aksen.
Vi finner nullpunktene og beregner arealet i CAS.
c) Funksjonen er gitt ved . Beregn arealet som er avgrenset av grafen til , -aksen og linjene og .
Løsning
Vi definerer funksjonen i CAS.
Vi studerer grafen som blir tegnet for å få et inntrykk av områdene som det skal beregnes areal av. Vi ser at området vi skal beregne arealet av, består av fire områder.
Vi finner nullpunktene i CAS. Siden det er fire bestemte integraler som skal beregnes, vil en samlet utregning bli lang og uoversiktlig i CAS. Vi velger derfor å regne hvert areal for seg og summere disse til slutt.
