Hopp til innhold

Fagstoff

Ubestemte integraler

Derivasjon og integrasjon er motsatte regnearter. Det ubestemte integralet til en gitt funksjon er en ny funksjon som er slik at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.

Derivert og antiderivert

Funksjonen $F (x) = x^{2}$ har funksjonen $f (x) = 2 x$ som derivert.

Den "motsatte" operasjonen går ut på å finne en funksjon som har $2 x$ som derivert. Funksjonen $F (x) = x^{2}$ er en slik funksjon. Det er vanlig å si at $x^{2}$ er en antiderivert til $2 x$ .

Kan du finne flere funksjoner som har $2 x$ som derivert?

Løsning

Det finnes uendelig mange funksjoner som har $2 x$ som derivert. For eksempel har vi at ${(x^{2} + 3)}^{'} = 2 x$ og ${(x^{2} - 2)}^{'} = 2 x$ .

Den deriverte til $x^{2} + 3$ er også lik $2 x$ . Derfor er også $x^{2} + 3$ en antiderivert til $2 x$ . Hvis $C$ er en konstant, er enhver funksjon på formen $x^{2} + C$ en antiderivert til $2 x$ .

Det er vanlig å bruke integral i stedet for antiderivert.

Begreper, symboler og definisjoner

Vi sier at $x^{2} + C$ er det ubestemte integralet til $2 x$ fordi $x^{2} + C$ ikke er én bestemt funksjon, men en hel klasse av funksjoner som har $2 x$ som derivert. Konstanten $C$ kalles integrasjonskonstanten.

Som symbol for et ubestemt integral til $f$ brukes $\begin{matrix} \int f (x) d x . \end{matrix}$ Vi leser dette som "det ubestemte integralet til $f (x)$ ". Symbolet $\begin{matrix} \int \end{matrix}$ (lang S) kalles for et integraltegn, og funksjonen $f (x)$ som skal integreres, kalles for integranden. Symbolet $d x$ tas med blant annet for å vise at de funksjonene $F (x)$ vi kommer fram til, er funksjoner av variabelen $x$ . Det er $x$ som er integrasjonsvariabelen. Du skal også se at dette er en praktisk skrivemåte i forbindelse med integrasjonsmetoder. Symbolet $d x$ kan leses som "derivert med hensyn på $x$ ".

Definisjon av ubestemt integral

$\int f (x) d x = F (x) + C hvis F^{'} (x) = f (x)$

Det ubestemte integralet av $f (x)$ er lik $F (x)$ pluss en konstant som ofte kalles $C$ .

Symbolet $\begin{matrix} \int \end{matrix}$ kalles et integraltegn.

Funksjonen $f (x)$ kalles integranden.

Konstanten $C$ kalles integrasjonskonstanten.

Vi sier at vi integrerer eller antideriverer $f (x)$ når vi finner $F (x)$ .

Symbolet $d x$ viser at det er $x$ som er integrasjonsvariabelen.

Eksempel

Vi tar utgangspunkt i et andregradsuttrykk og påstår at vi har følgende sammenheng:

$\int (x^{2} + 3 x + 4) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C$

Hvordan kan vi kontrollere om dette er riktig?

Løsning

Vi kan kontrollere integrasjonen ved å gå motsatt vei, det vil si at vi utfører derivasjonen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} {(\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C)}^{'} & = & \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} + \frac{3}{2} \cdot 2 x + 4 + 0 \\ = & x^{2} + 3 x + 4 \end{matrix} \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array}$

Se også gjennomgangen av løsningen i filmen under.

Hva er integranden i denne sammenhengen?

Løsning

Integranden er $x^{2} + 3 x + 4$ .

Hvorfor står det $C$ i resultatet av integrasjonen?

Løsning

Det er fordi en derivasjon av en konstant gir null som resultat, og resultatfunksjonen kan derfor inneholde en konstant som vi ikke vet størrelsen på. Vi angir dette som integrasjonskonstanten $C$ .

Hvorfor står det $d x$ bak andregradsuttrykket?

Løsning

$d x$ viser at det er $x$ som er integrasjonsvariabelen.

Film om ubestemte integraler

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA

CC BY-SASkrevet av Vibeke Bakken, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 14.01.2022

Læringsressurser

Bestemte og ubestemte integraler