Gjennomsnittet av en funksjon ved integrasjon

Gjennomsnittet av noen tall finner vi generelt ved å legge sammen alle tallene og dividere på antall tall. Dersom vi har $$ n$$ tall $$ a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$$, blir gjennomsnittsverdien $$ \overline{a}$$.

$$ \overline{a}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i$$

Hva blir så gjennomsnittsverdien til en funksjon $$ f$$? Det må bety gjennomsnittet av alle funksjonsverdiene. Men hvordan finner vi "alle" funksjonsverdiene? Hvilke funksjonsverdier skal vi bruke?

For eksempel kan vi ønske å finne gjennomsnittsverdien til funksjonen

$$ f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$$

i intervallet $$ \left[1,4\right]$$. Vi starter med å gjøre en tilnærming ved å bruke 4 funksjonsverdier i dette intervallet. Les av figuren og finn gjennomnsittsverdien av funksjonsverdiene $$ f\left(1\right), f\left(2\right), f\left(3\right)$$ og $$ f\left(4\right)$$.

Ville vi ha fått en bedre tilnærming for gjennomsnittet dersom vi regnet ut flere funksjonsverdier enn de 4 over og brukt disse i utregningen? Ja, helt klart! Den beste tilnærmingen vil være å bruke uendelig mange funksjonsverdier i intervallet $$ \left[1,4\right]$$:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \underset{n\to \infty }{\lim } \frac{1}{n}\sum _1^{4}f\left(x\right)\end{array}$$

Intervallet mellom 1 og 4 blir her delt opp i uendelig mange deler. Uttrykket på høyre side likner litt på en riemannsum. Hva er det som mangler i uttrykket for at summen skal være en riemannsum?

Hvis vi setter $$ ∆x$$ lik avstanden mellom to nabo-$$ x$$-verdier som angitt i boksen over, får vi

$$ ∆x=\frac{b-a}{n}$$

$$ \left[a,b\right]$$ er intervallet vi skal finne gjennomsnittsverdien for funksjonen i. Dette betyr at

$$ \frac{1}{n}=\frac{∆x}{b-a}$$

At $$ n\to \infty $$, betyr at venstresiden over går mot 0. Det betyr at $$ ∆x\to 0$$ dersom vi skal få 0 på høyre side. Da får vi til slutt

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _a^{b}f\left(x\right)\\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆x}{b-a}\sum _a^{b}f\left(x\right)\\ & =& \frac{1}{b-a}\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x\\ & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right) dx\end{array}$$

I nest siste linje får vi en riemannsum, og resultatet er at vi kan finne den gjennomsnittlige funksjonsverdien, eller gjennomsnittet av en funksjon, ved å regne ut et integral.

Bruk formelen på funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$$ og regn ut gjennomsnittsverdien $$ \overline{f}$$ i intervallet $$ \left[1,4\right]$$. Regn for hånd.

Start med formelen $$ \overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$. Multipliser med $$ b-a$$ på begge sider.

Venstre side over kan tolkes som arealet av et rektangel med bredde $$ b-a$$ og lengde $$ \overline{f}$$. Høyre side er arealet under grafen i intervallet $$ \left[a,b\right]$$.

På figuren har vi tegnet inn begge deler for funksjonen $$ f$$ i eksempelet. Utregningen over viser at arealet av rektangelet er det samme som arealet under grafen. $$ \overline{f}$$ blir dermed høyden på et rektangel med samme areal og samme bredde som tilsvarende areal under grafen.