Analysens fundamentalteorem

At $$ f\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)$$, betyr at $$ g\left(x\right)$$ er en antiderivert av $$ f\left(x\right)$$. Da får vi videre at

$$ {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_1^2=g\left(2\right)-g\left(1\right)=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2$$

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_1^{2}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_1^2\\ & =& {\left[2x^2-1\right]}_1^2\\ & =& 2·2^2-1-\left(2·1^2-1\right)\\ & =& 8-1-2+1\\ & =& 6\end{array}$$

$$ {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_0^3=g\left(3\right)-g\left(0\right)=3-0=3$$

Hvis vi sammenlikner med svaret over, får vi at

$$ \begin{array}{rcl}g\left(b\right)-g\left(0\right) & =& 0\\ g\left(b\right) & =& g\left(0\right)\\ g\left(b\right) & =& 0\end{array}$$

Vi må bruke det høyre nullpunktet, som betyr at $$ b=2$$.

Vi har at

$$ {\int }_0^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_0^b=g\left(b\right)-g\left(0\right)$$

For at dette integralet skal være så stort som mulig, må $$ g\left(b\right)$$ være så stor som mulig. Den største verdien for $$ g$$ er 8, som betyr at $$ b=4$$.

Vi har at

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_a^b=g\left(b\right)-g\left(a\right)$$

For at dette integralet skal være så stort som mulig, må $$ g\left(b\right)$$ være så stor som mulig og $$ g\left(a\right)$$ så liten som mulig. Den største verdien for $$ g$$ er 8, som betyr at $$ b=4$$. Den minste verdien for $$ g$$ er $$ -1$$, som betyr at $$ a=1$$.

Den største verdien for integralet blir derfor

$$ g\left(4\right)-g\left(1\right)=8-\left(-1\right)=9$$

For at integralet skal være så lite som mulig, må $$ g\left(b\right)$$ være så liten som mulig og $$ g\left(a\right)$$ så stor som mulig. Siden grafen til funksjonen $$ g$$ er synkende i intervallet $$ [-1,1]$$, vil vi få minst verdi for integralet når vi integrerer mellom endepunktene i dette intervallet. Det betyr at $$ a=-1$$ og $$ b=1$$.

Den minste verdien for integralet blir derfor

$$ g\left(1\right)-g\left(-1\right)=-1-3=-4$$

$$ {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^0=g\left(0\right)-g\left(-1\right)=0-\left(-8\right)=8$$

$$ {\int }_{-1}^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^b=g\left(b\right)-g\left(-1\right)$$

Siden $$ g\left(-1\right)$$ er absolutt minimum, vil $$ g\left(b\right)\ge g\left(-1\right)$$ for alle $$ b\in \left[-1,4\right]$$. Da vil differansen $$ g\left(b\right)-g\left(0\right)\ge 0$$ for alle $$ b\in \left[-1,4\right]$$.

$$ {\int }_{-1}^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^b=g\left(b\right)-g\left(-1\right)$$

Integralet er 0 når $$ b=-1$$. Så øker det i verdi til $$ b=0,5$$ der $$ g$$ har et toppunkt. Så minker det til $$ g$$ har bunnpunkt, det vil si $$ b\approx 2,2$$. Så øker det igjen til det får sin største verdi i det absolutte maksimumet til $$ g$$ der $$ b=4$$.

Likningen gir

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-1}^{b}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^b=g\left(b\right)-g\left(-1\right) = 6\\ g\left(b\right) & =& 6+g\left(-1\right)\\ & =& 6-8\\ & =& -2\end{array}$$

Ved å lese av på grafen får vi at løsningen er

$$ b\approx -0,4 \vee b\approx 2,0 \vee b\approx 2,5$$.

$$ {\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-3}^1=g\left(1\right)-g\left(-3\right)=-1-1=-2$$

Likningen gir

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-3}^{b}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_{-3}^b=g\left(b\right)-g\left(-3\right) = -1\\ g\left(b\right) & =& -1+g\left(-3\right)\\ & =& -1+1\\ & =& 0\end{array}$$

Ved å lese av på grafen får vi at løsningen er $$ b=-2 \vee b=2$$.

Vi har at

$$ {\int }_{-3}^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-3}^b=g\left(b\right)-g\left(-3\right)$$

Siden det er ingen funksjonsverdier for $$ g\left(x\right)$$ som er større enn funksjonsverdien $$ g\left(-3\right)$$, kan ikke integralet bli positivt.

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-2}^{b}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_{-2}^b \\ & =& g\left(b\right)-g\left(-2\right)\\ & =& g\left(b\right)-0\\ & =& g\left(b\right)\end{array}$$

Integralet er større enn null dersom $$ g\left(b\right)$$ er større enn null, som betyr der grafen ligger over $$ x$$-aksen. Det blir derfor som å tegne fortegnslinje for $$ g$$.