Løsning av enkle trigonometriske likninger

Dersom du har vært gjennom oppgave 2.1.31 på siden "Eksakte trigonometriske verdier", har du allerede løst trigonometriske likninger. I oppgaven blir du bedt om å finne hvilken vinkel i første kvadrant som har sinusverdi lik $$ \frac{1}{2}\sqrt{3}$$.

Hvordan kan du sette opp denne oppgaven som en likning?

Hva blir løsningen av likningen?

Hvilke løsninger har likningen i første omløp? Bruk figuren til hjelp.

Hva blir løsningen hvis $$ v\in \mathrm{ℝ}$$?

Svar

Likningen har da uendelig mange løsninger: to vinkler i hvert omløp, der vinklene sammenfaller med vinklene i første omløp. For eksempel vil vinkelen $$ \frac{7\pi }{3} \left(=420°\right)$$ i andre omløp sammenfalle med vinkelen$$ \frac{\pi }{3}$$ og være en løsning, se figuren nedenfor.

Vi skriver løsningen ved hjelp av de to løsningene vi har i første omløp og det hele tallet $$ k$$ på samme måte som vi skriver opp ekstremal- og nullpunktene til sinusfunksjonen på siden "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen". Vi får

$$ v=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee v=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$ (mengden av de hele tallene). Alternativt kan vi skrive løsningen som

$$ L=\left\{\frac{\pi }{3}+k·2\pi , \frac{2\pi }{3}+k·2\pi \right\}$$

Vi ser at det er viktig å se på i hvilket område vi skal lete etter løsninger av trigonometriske likninger. Likningen $$ \sin v=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ har i utgangspunktet uendelig mange løsninger, to for hvert omløp, siden sinusfunksjonen er periodisk. Dersom det ikke er angitt noe løsningsområde for $$ v$$, må vi gå ut ifra at løsningsområdet er alle reelle tall, $$ v\in \mathrm{ℝ}$$.

Løsning med CAS i GeoGebra

Prøv å løse likningen $$ \sin x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ med CAS i GeoGebra. Hva får du?

Resultat

Her har vi brukt $$ x$$ som variabel. Vi ser at GeoGebra automatisk antar at $$ x\in \mathrm{ℝ}$$ når vi ikke spesifiserer noe område for $$ x$$.

Vi kan i GeoGebra angi det aktuelle løsningsområdet for $$ x$$ med en ulikhet atskilt fra likningen med et komma. På bildet har vi angitt at $$ x$$ skal være i første omløp.

Hva skriver vi dersom vi kun vil ha løsninger i andre omløp?

Svar

Hva skriver vi dersom vi vil ha løsninger i første omløp i grader i stedet for radianer?

Svar

Vi må sette et gradsymbol etter $$ x$$ i likningen, og vi må huske å oppgi løsningsområdet i grader.

Husk at gradsymbolet betyr at $$ x$$ blir regnet om til radianer ved å multiplisere med brøken $$ \frac{\pi }{180}$$. Se oppgave 2.1.34 på oppgavesiden "Radianer – absolutte vinkelmål".

Hva med cosinus og tangens?

Hvordan tror du framgangsmåten blir dersom du skal løse likningen$$ \cos x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ sammenliknet med hvordan du løser likningen $$ \sin x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$?

Når vinkelen er $$ \mathbf{2}\mathit{x}$$

Vi skal løse likningen

$$ \sin 2x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Vi løser likningen ved å sette $$ u=2x$$. Da får vi

$$ \sin u=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Løsningen på denne har vi lenger opp på siden. Vi får

$$ u=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee u=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Nå kan vi erstatte $$ u$$ med $$ 2x$$. Resultatet blir

$$ 2x=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

Merk at dette resultatet kan vi sette opp direkte uten å gå veien om $$ u$$. Det er argumentet til sinusfunksjonen (her: $$ 2x$$) som blir stående på venstresiden i uttrykkene for løsningen.

Hva mangler nå for at vi skal kunne skrive opp løsningen, og hva må vi gjøre?

Vi ser på den første løsningen og deler på $$ 2$$ i begge leddene på høyre side.

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+k·\pi \end{array}$$

Ikke glem å dele leddet $$ k·2\pi $$ på $$ 2$$. Vi får tilsvarende i den andre løsningen:

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{3}+k·\pi \end{array}$$

Løsningsmengden blir derfor

$$ L=\left\{\frac{\pi }{6}+k·\pi , \frac{\pi }{3}+k·\pi \right\}$$

Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra:

Vi antar nå at vi skal løse likningen med betingelsen $$ x\in [0,2\pi \rangle $$. Forklar hvorfor det blir flere enn to løsninger.

Den første løsningen gir

• $$ x=\frac{\pi }{6}$$ når $$ k=0$$

• $$ x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$$ når $$ k=1$$

Den andre løsningen gir

• $$ x=\frac{\pi }{3}$$ når $$ k=0$$

• $$ x=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$$ når $$ k=1$$

Løsningsmengden blir

$$ L=\left\{\frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{3}, \frac{7\pi }{6}, \frac{4\pi }{3}\right\}$$

Når vinkelen er $$ \mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$$

Vi skal løse likningen

$$ \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Siden argumentet til sinusfunksjonen er $$ 2x-\frac{\pi }{3}$$, får vi

$$ 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

Hva må vi gjøre her for å ende opp med bare $$ x$$ på venstre side av løsningene?

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi -\frac{\pi }{3}\\ & =& k·2\pi \\ x & =& k·\pi \end{array}$$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$ og

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi -\frac{\pi }{3}\\ & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+k·\pi \end{array}$$

og løsningsmengden blir

$$ L=\left\{k·\pi , \frac{\pi }{6}+k·\pi \right\}$$

Dersom området for $$ x$$ er begrenset, tester vi på vanlig måte hvilke $$ k$$-verdier som gir løsninger innenfor området.