Løsning av sammensatte trigonometriske likninger

Vi starter med å omforme sinusleddet ved å bruke enhetsformelen.

$$ {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1 \iff {\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$$

Vi får

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x& = & -2\\ {\cos }^{2}x-3\left(1-{\cos }^{2}x\right)& =& -2\\ {\cos }^{2}x-3+3{\cos }^{2}x& =& -2\\ 4{\cos }^{2}x& =& 1\\ {\cos }^{2}x& =& \frac{1}{4}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi får en andregradslikning der $$ \cos x$$ er variabelen. Videre får vi

$$ \begin{array}{rcl}\cos x & =& \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\\ \cos x & =& \frac{1}{2} \vee \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Vi skal lete etter løsninger i første omløp. Den første likningen gir vinklene $$ \frac{\pi }{3}$$ og $$ 2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$$. Løsningene til den andre finner vi ut ifra de vinklene som har motsatt cosinusverdi: $$ \cos \left(v+\pi \right)=-\cos v$$. Dette gir vinklene $$ \frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$$ og $$ 2\pi -\frac{4\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$$. Løsningen blir

$$ L=\left\{\frac{\pi }{3}, \frac{2\pi }{3}, \frac{4\pi }{3}, \frac{5\pi }{3}\right\}$$

Ble det samme løsning som på teorisiden?

Vi har at vinkelen $$ \frac{\pi }{4}$$ har samme sinus- og cosinusverdi, $$ \frac{1}{2}\sqrt{2}$$. Den tilsvarende vinkelen i tredje kvadrant, $$ \frac{5\pi }{4}$$, har også samme sinus- og cosinusverdi, $$ -\frac{1}{2}\sqrt{2}$$. I andre og fjerde kvadrant har sinus og cosinus motsatt fortegn og kan ikke være like. Vi får

$$ L=\left\{\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right\}$$

Divider på begge sider med $$ \cos x$$.

$$ \begin{array}{rcl}\sin x & =& \cos x\\ \frac{\sin x}{\cos x} & =& \frac{\cos x}{\cos x} , \cos x\ne 0\\ \tan x & =& 1\\ x & =& \frac{\pi }{4} \vee x=\frac{\pi }{4}+\pi \end{array}$$

Vi må sjekke om $$ \cos x=0$$ kan være en løsning. Når $$ \cos x=0$$, er $$ \sin x=\pm 1$$, og likningen kan ikke oppfylles. Resultatet blir

$$ \begin{array}{rcl}& & L\end{array}\begin{array}{rcl} & =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \left\{\frac{\pi }{4}, \frac{5\pi }{4}\right\}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2{\cos }^{2}v & =& -\cos v\\ 2{\cos }^{2}v+\cos v & =& 0\\ \cos v\left(2\cos v+1\right) & =& 0\\ \cos v & =& 0 \vee 2\cos v+1=0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\cos v & =& 0\\ v & =& \frac{\pi }{2}+k·2\pi \vee v=\frac{3\pi }{2}+k·2\pi \end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Disse to løsningene kan vi slå sammen til én (hvorfor?):

$$ v=\frac{\pi }{2}+k·\pi $$

$$ \begin{array}{rcl}2\cos v+1 & =& 0\\ 2\cos v & =& -1\\ \cos v & =& -\frac{1}{2}\\ v & =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi \vee v=2\pi -\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ v & =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi \vee v=\frac{4\pi }{3}+k·2\pi \end{array}$$

$$ L=\left\{\frac{\pi }{2}+k·\pi ,\frac{2\pi }{3}+k·2\pi ,\frac{4\pi }{3}+k·2\pi \right\}$$

Løsning med CAS i GeoGebra:

Merk måten vi skriver $$ {\cos }^{2}v$$ på i GeoGebra. Merk også at GeoGebra ikke alltid tar utgangspunkt i løsninger i første omløp, slik som i den andre løsningen her.

$$ \begin{array}{rcl}{\tan }^{2}v-1 & =& 0\\ \left(\tan v-1\right)\left(\tan v+1\right) & =& 0\\ \tan v-1 & =& 0 \vee \tan v+1=0\\ \tan v & =& 1 \vee \tan v=-1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan v & =& 1\\ v & =& \frac{\pi }{4}+k·\pi , k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan v & =& -1\\ v & =& \frac{3\pi }{4}+k·\pi \end{array}$$

Disse løsningene kan slås sammen.

$$ L=\left\{\frac{\pi }{4}+k·\frac{\pi }{2}\right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}2{\sin }^{2}x+5\sin x & =& -2\\ 2{\sin }^{2}x+5\sin x+2 & =& 0\\ \sin x & =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·2}}{2·2}\\ & =& \frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{4}\\ & =& \frac{-5\pm 3}{4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\sin x & =& -\frac{1}{2} \vee \cancel{\sin x=-2}\\ x & =& 210°+k·360° \vee x=180°-210°+k·360°\\ x & =& 210°+k·360° \vee x=-30°+k·360°, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ L & =& \left\{210°,330°\right\}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\sin v\left(\sin v+2\right) & =& 3\\ {\sin }^{2}v+2\sin v-3 & =& 0\\ \left(\sin v-1\right)\left(\sin v+3\right) & =& 0\\ \sin v-1 & =& 0 \vee \sin v+3=0\\ \sin v & =& 1 \vee \cancel{\sin v=-3}\\ v & =& \frac{\pi }{2}\\ L & =& \left\{\frac{\pi }{2}\right\}\end{array}$$

Her har vi brukt "stirremetoden" i overgangen mellom linje 2 og 3. Alternativt kan abc-formelen brukes.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2}{\cos x+1} & =& \cos x\\ 2 & =& \cos x\left(\cos x+1\right)\\ & =& {\cos }^{2}x+\cos x\\ {\cos }^{2}x+\cos x-2 & =& 0\\ \left(\cos x-1\right)\left(\cos x+2\right) & =& 0\\ \cos x & =& 1 \vee \cancel{\cos x=-2}\\ x & =& 0+k·2\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ L & =& \left\{k·2\pi \right\}\end{array}$$

Her har vi brukt "stirremetoden" i overgangen mellom linje 4 og 5.

$$ \begin{array}{rcl}3\sin \pi x-\sqrt{3}\cos \pi x & =& 0\\ \frac{3\sin \pi x}{\cos \pi x}-\frac{\sqrt{3}\cos \pi x}{\cos \pi x} & =& 0 , \cos \pi x\ne 0\\ 3\tan \pi x & =& \sqrt{3}\\ \tan \pi x & =& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \pi x & =& \frac{\pi }{6}+k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \frac{1}{6}+k\end{array}$$

Vi må sjekke om $$ \cos \pi x=0$$ kan være en løsning av likningen. Da er i tilfelle $$ \sin \pi x=\pm 1$$, og venstresiden av likningen kan ikke bli null. $$ \cos \pi x=0$$ gir derfor ingen løsning av likningen.

$$ L=\left\{\frac{1}{6},\frac{7}{6},\frac{13}{6},\frac{19}{6},\frac{25}{6},\frac{31}{6},\frac{37}{6}\right\}$$

Vi eliminerer for eksempel $$ {\sin }^{2}2x$$ ved hjelp av enhetsformelen:

$$ {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1 \iff {\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$$

$$ \begin{array}{rcl}{\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x & =& 1\\ {\cos }^{2}2x-\left(1-{\cos }^{2}2x\right) & =& 1\\ 2{\cos }^{2}2x & =& 2\\ {\cos }^{2}2x & =& 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\cos 2x & =& 1 \vee \cos 2x=-1\\ 2x & =& 0+k·2\pi \vee 2x=\pi +k·2\pi \\ x & =& k·\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k·\pi \end{array}$$

$$ L=\left\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi ,\frac{5\pi }{2},3\pi ,\frac{7\pi }{2}\right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}2\sin x-3\cos x & =& 0\\ \frac{2\sin x}{\cos x}-\frac{3\cos x}{\cos x} & =& 0 , \cos x\ne 0\\ 2\tan x-3 & =& 0\\ \tan x & =& \frac{3}{2}\end{array}$$

Vi kommer ikke videre uten hjelpemidler og løser likningen med CAS i GeoGebra.

Bruk en tilsvarende framgangsmåte som i oppgave a).

$$ \begin{array}{rcl}{\sin }^{2}x-\sqrt{12}\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x & =& 0\\ \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sqrt{12}\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x} & =& 0 , {\cos }^{2}x\ne 0\\ {\tan }^{2}x-\sqrt{12}\tan x+3 & =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan x & =& \frac{-\left(-\sqrt{12}\right)\pm \sqrt{{\left(-\sqrt{12}\right)}^2-4·1·3}}{2·1}\\ & =& \frac{\sqrt{12}\pm \sqrt{12-12}}{2}\\ & =& \frac{\sqrt{4·3}}{2}\\ & =& \sqrt{3}\\ x & =& \frac{\pi }{3}+k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$$

Vi må sjekke om likningen kan ha løsning når $$ {\cos }^{2}x=0$$, som betyr når $$ \cos x=0$$. Da er $$ \sin x=\pm 1$$, og det første leddet på venstresiden er forskjellig fra null. Da har ikke likningen løsning siden det står 0 på høyresiden. Vi får

$$ L=\left\{\frac{\pi }{3}+k·\pi \right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}12{\sin }^{2}x+\sin x & =& 1\\ 12{\sin }^{2}x+\sin x-1 & =& 0\\ \sin x & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·12·\left(-1\right)}}{2·12}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{24}\\ & =& \frac{-1\pm 7}{24}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\sin x & =& -\frac{1}{3} \vee \sin x=\frac{1}{4}\end{array}$$

Vi kommer dessverre ikke videre manuelt og løser likningen med CAS i GeoGebra.

Erstatt tallet 3 på høyre side av likningen med ledd av typen $$ {\cos }^{2}2x$$ og $$ {\sin }^{2}2x$$ ved hjelp av enhetsformelen. Bruk deretter tilsvarende framgangsmåte som i oppgave c).

Fra enhetsformelen får vi

$$ \begin{array}{rcl}{\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x & =& 1\\ 3{\sin }^{2}2x+3{\cos }^{2}2x & =& 3\end{array}$$

Vi setter dette inn i likningen.

$$ 4{\sin }^{2}2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin 2x·\cos 2x+2{\cos }^{2}2x$$
$$ =3{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x$$

$$ \begin{array}{rcl}{\sin }^{2}2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin 2x·\cos 2x-{\cos }^{2}2x & =& 0\\ \frac{{\sin }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x}-\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin 2x·\cos 2x}{{\cos }^{2}2x}-\frac{{\cos }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x} & =& 0,\\ {\cos }^{2}2x & \ne & 0\\ {\tan }^{2}2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\tan x-1 & =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan 2x & =& \frac{-\left(-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\right)\pm \sqrt{{\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2-4·1·\left(-1\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{3}}+4}}{2}\\ & =& \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{16}{3}}}}{2}\\ & =& \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pm {\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}}{2}\\ & =& \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pm {\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}}{2}\\ & =& \frac{\sqrt{3}}{3}\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\\ \tan 2x & =& - \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan 2x=\sqrt{3}\\ 2x & =& \frac{5\pi }{6}+k·\pi \vee 2x= \frac{\pi }{3}+k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \frac{5\pi }{12}+k·\frac{\pi }{2} \vee x= \frac{\pi }{6}+k·\frac{\pi }{2}\end{array}$$

Vi må sjekke om likningen kan ha løsning når $$ {\cos }^{2}2x=0$$, som betyr når $$ \cos 2x=0$$. Da er $$ \sin 2x=\pm 1$$ og $$ {\sin }^{2}2x=1$$. I likningen får vi da at $$ 4·1=3$$, så dette gir ikke flere løsninger.

$$ L=\left\{\frac{\pi }{6}+k·\frac{\pi }{2}, \frac{5\pi }{12}+k·\frac{\pi }{2}\right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\arccos x\right)}^2-\frac{\pi }{2}\arccos x & =& \frac{3{\pi }^2}{16}\\ {\left(\arccos x\right)}^2-\frac{\pi }{2}\arccos x-\frac{3{\pi }^2}{16} & =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\arccos x & =& \frac{-\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\pm \sqrt{{\left(-\frac{\pi }{2}\right)}^2-4·1·\left(-{\displaystyle \frac{3{\pi }^2}{16}}\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}+{\displaystyle \frac{3{\pi }^2}{4}}}}{2}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\pm \pi }{2}\end{array}$$

$$ \arccos x=\frac{3\pi }{4} \vee \arccos x=-\frac{\pi }{4}$$

Verdimengden til $$ \arccos x$$ er $$ \left[0,\pi \right]$$, så den andre likningen har ingen løsning. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\cos \left(\arccos x\right) & =& \cos \frac{3\pi }{4}\\ x & =& -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}$$

Vi bruker identiteten $$ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$$, se teorisiden "Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler".

$$ \begin{array}{rcl}\arccos x-2\arcsin x & =& \pi \\ \frac{\pi }{2}-\arcsin x-2\arcsin x & =& \pi \\ -3\arcsin x & =& \frac{\pi }{2}\\ \arcsin x & =& -\frac{\pi }{6}\end{array}$$

$$ -\frac{\pi }{6}$$ er innenfor verdimengden til $$ \arcsin x$$, så likningen har løsning. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\sin \left(\arcsin x\right) & =& \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\\ x & =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Merk at GeoGebra ikke klarer å finne den eksakte løsningen med "Løs". "NLøs" finner heldigvis riktig løsning. Merk også at GeoGebra her har endret skrivemåten til de omvendte funksjonene selv om vi skrev inn $$ \arccos x$$ og $$ \arcsin x$$.