Sammenslåing av trigonometriske funksjoner

Her må vi huske på at

• $$ a$$ er tallet foran sinusleddet i funksjonen

• $$ b$$ er tallet foran cosinusleddet

Vi får at $$ a=-2$$ og $$ b=2$$.

Punktet $$ \left(a,b\right)=\left(-2,2\right)$$ har negativ $$ x$$-koordinat og positiv $$ y$$-koordinat, så vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i andre kvadrant.

Punktet $$ \left(a,b\right)=\left(-2,-1\right)$$ har negativ $$ x$$-koordinat og $$ y$$-koordinat, så vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i tredje kvadrant.

Her må vi legge merke til at cosinusleddet er skrevet først. Punktet $$ \left(a,b\right)=\left(2,-2\right)$$ har positiv $$ x$$-koordinat og negativ $$ y$$-koordinat, så vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i fjerde kvadrant.

Punktet $$ \left(a,b\right)=\left(3,2\right)$$ har positiv $$ x$$-koordinat og $$ y$$-koordinat, så vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i første kvadrant.

Husk formlene for $$ A$$ og $$ 𝜑$$:

$$ A=\sqrt{a^2+b^2} , \tan 𝜑=\frac{b}{a}$$

$$ a$$ er tallet foran sinusleddet, og $$ b$$ er tallet foran cosinusleddet.

Vi får

$$ a=b=2$$

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{array}$$

$$ \left(2,2\right)$$, og dermed $$ 𝜑$$, ligger i første kvadrant.

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{2}{2}=1 , 𝜑=\frac{\pi }{4}\end{array}$$

Dette gir

$$ f\left(x\right)=2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

Kontroll:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin x·\cos \frac{\pi }{4}+\cos x·\sin \frac{\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin x·\frac{1}{2}\sqrt{2}+\cos x·\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\\ & & 2\sin x+2\cos x\end{array}$$

Vi får

$$ a=\sqrt{3} , b=-1$$

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{3+1}=2\end{array}$$

$$ \left(\sqrt{3},-1\right)$$, og dermed $$ 𝜑$$, ligger i fjerde kvadrant.

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3} , 𝜑=\frac{11\pi }{6}\end{array}$$

Dette gir

$$ g\left(x\right)=2\sin \left(\pi x+\frac{11\pi }{6}\right)$$

Kontroll:

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& 2\sin \left(\pi x+\frac{11\pi }{6}\right)\\ & =& 2\left(\sin \pi x·\cos \frac{11\pi }{6}+\cos \pi x·\sin \frac{11\pi }{6}\right)\\ & =& 2\left(\sin \pi x·\frac{1}{2}\sqrt{3}+\cos \pi x·\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\\ & =& \sqrt{3}\sin \pi x-\cos \pi x\end{array}$$

Vi får

$$ a=-2 , b=2$$ (Pass på rekkefølgen av sinus- og cosinusfunksjonen!)

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\end{array}$$

$$ \left(-2,2\right)$$, og dermed $$ 𝜑$$, ligger i andre kvadrant.

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-2}{2}=-1 , 𝜑=\frac{3\pi }{4}\end{array}$$

Dette gir

$$ h\left(x\right)=2\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)$$

Kontroll:

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right) & =& 2\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin 2x·\cos \frac{3\pi }{4}+\cos 2x·\sin \frac{3\pi }{4}\right)\\ & =& 2\sqrt{2}\left(\sin 2x·\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)+\cos 2x·\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\\ & =& 2\left(\cos 2x-\sin 2x\right)\end{array}$$

Vi får

$$ a=-\sqrt{3} , b=-3$$

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\end{array}$$

$$ \left(-\sqrt{3},-3\right)$$, og dermed $$ 𝜑$$, ligger i tredje kvadrant.

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-3}{-\sqrt{3}}=\sqrt{3} , 𝜑=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}\end{array}$$

Dette gir

$$ i\left(x\right)=2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{4\pi }{3}\right)$$

Kontroll:

$$ \begin{array}{rcl}i\left(x\right) & =& 2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{4\pi }{3}\right)\\ & =& 2\sqrt{3}\left(\sin \frac{\pi }{2}x·\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{2}x·\sin \frac{4\pi }{3}\right)\\ & =& 2\sqrt{3}\left(\sin \frac{\pi }{2}x·\left(-\frac{1}{2}\right)+\cos \frac{\pi }{2}x·\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\right)\\ & =& -\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{2}x-3\cos \frac{\pi }{2}x\end{array}$$

Vi får

$$ a=3 , b=-1$$

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\end{array}$$

$$ \left(3,-1\right)$$, og dermed $$ 𝜑$$, ligger i fjerde kvadrant.

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}\end{array}$$

Vi kommer ikke videre med regning for hånd og bruker CAS i GeoGebra til å finne $$ 𝜑$$.

I linje 1 ser vi at GeoGebra lager et eksakt uttrykk ved hjelp av den omvendte funksjonen til tangens. Men til vårt bruk er det best med en tilnærmet verdi.

Vi får

$$ j\left(x\right)=\sqrt{10}\sin \left(3x+5,96\right)$$

Vi kan ikke kontrollere resultatet manuelt slik vi har gjort i de andre oppgavene, men vi kan bruke formelen for sinus til summen av to vinkler i CAS.

Resultatet stemmer.

Vi får

$$ a=2 , b=3$$

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\end{array}$$

$$ \left(2,3\right)$$, og dermed $$ 𝜑$$, ligger i første kvadrant.

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{3}{2}\end{array}$$

Vi kommer ikke videre med regning for hånd og bruker CAS i GeoGebra til å finne $$ 𝜑$$.

Vi får

$$ k\left(x\right)=\sqrt{13}\sin \left(\frac{x}{2}+0,98\right)$$

Kontroll:

Her får vi bare tilnærmet riktig svar siden vi gjør utregningen med tilnærmede verdier, men det er godt nok for oss akkurat her. Vi kan få mer nøyaktig svar ved å erstatte tallet 0,98 med Høyreside($1) forutsatt at vi har utregningen av $$ 𝜑$$ i linje 1 i CAS-vinduet.

Vi må slå sammen cosinus- og sinusfunksjonen for å løse likningen.

$$ \begin{array}{l}A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{4}=2\end{array}$$

Vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i første kvadrant. Vi får

$$ \tan \phi =\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \iff \phi =\frac{\pi }{4}$$

Kommentar: Vi kan bruke ekvivalenstegnet siden vi har slått fast at $$ 𝜑$$ skal ligge i første kvadrant.

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}2\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right) & =& 2\\ \sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right) & =& 1\\ 2x+\frac{\pi }{4} & =& \frac{\pi }{2}+k·2\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ 2x & =& \frac{\pi }{4}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{8}+k·\pi \end{array}$$

$$ L=\left\{\begin{array}{rcl}& & \frac{\pi }{8}+k·\pi \end{array}\right\}$$

$$ \begin{array}{l}A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}=\sqrt{2}\end{array}$$

Vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i andre kvadrant. Vi får

$$ \tan \phi =\frac{b}{a}=\frac{1}{-1}=-1 \iff \phi =\frac{3\pi }{4}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{2}\sin \left(\pi x+\frac{3\pi }{4}\right) & =& 1\\ \sin \left(\pi x+\frac{3\pi }{4}\right) & =& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\pi x+\frac{3\pi }{4} & =& \frac{\pi }{4}+k·2\pi \vee \pi x+\frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k·2\pi \\ \pi x & =& -\frac{\pi }{2}+k·2\pi \vee \pi x=k·2\pi \\ x & =& -\frac{1}{2}+2k \vee x=2k,\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

$$ L=\left\{-\frac{1}{2}+2k, 2k\right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2\end{array}$$

Vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i første kvadrant. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3} , 𝜑=\frac{\pi }{6}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right) & =& 1\\ \sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right) & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2x+\frac{\pi }{6} & =& \frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+k·2\pi \\ 2x & =& k·2\pi \vee 2x=\frac{4\pi }{6}+k·2\pi \\ x & =& k·\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+k·\pi ,\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Vi får løsninger for $$ k=0$$ og $$ k=1$$ for begge de generelle løsningene.

$$ L=\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3}\right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{2}{\sin }^{2}x & =& 2\sin x-\sqrt{6}\sin x·\cos x\end{array}$$
$$ \sin x\left(\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x-2\right)=0$$

$$ \sin x=0 \vee \sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x-2=0$$

Vi starter med den første likningen.

$$ \begin{array}{rcl}\sin x & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=\pi \end{array}$$

Den andre likningen gir

$$ \sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x = 2$$

Vi må slå sammen sinus- og cosinusfunksjonen.

$$ A = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{2+6}=2\sqrt{2}$$

$$ \tan 𝜑=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$$

Vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i første kvadrant. Vi får

$$ 𝜑=\frac{\pi }{3}$$

Likningen blir

$$ \begin{array}{rcl}2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& 2\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}x+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{4}+k·2\pi \vee x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+k·2\pi \\ x & =& -\frac{\pi }{12}+k·2\pi \vee x=\frac{5\pi }{12}+k·2\pi \end{array}$$

For den første får vi løsning når $$ k=1$$, for den andre får vi løsning når $$ k=0$$. Løsningsmengden for den opprinnelige likningen blir

$$ L=\left\{0,\frac{5\pi }{12},\pi ,\frac{23\pi }{12}\right\}$$

Merk at vi kunne ha løst den opprinnelige likningen ved å dividere alle ledd i likningen med $$ \sin x$$. Da ville vi bare ha stått igjen med den andre likningen vi løste over. Men da måtte vi ha sjekket om $$ \sin x=0$$ gir løsning av likningen, og det får vi siden alle ledd i likningen blir null. Vi hadde derfor kommet fram til samme løsning – rimeligvis.

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\end{array}$$

Vinkelen $$ 𝜑$$ må ligge i andre kvadrant. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\tan 𝜑 & =& \frac{2}{-2}=-1 , 𝜑=\frac{3\pi }{4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}\right) & =& \sqrt{6}\\ \sin \left(2x+\pi \right) & =& \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2x+\pi & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x+\pi =\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ 2x & =& -\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x=-\frac{\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& -\frac{\pi }{3}+ k·\pi \vee x=-\frac{\pi }{6}+k·\pi ,\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Vi får løsninger for $$ k=1$$ og $$ k=2$$ for begge de generelle løsningene.

$$ L=\left\{\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{6},\frac{5\pi }{3},\frac{11\pi }{6}\right\}$$

Første trinn må være å sjekke at dersom både $$ a$$ og $$ b$$ er større enn null, er $$ 𝜑$$ i første kvadrant, og funksjonen "atan(x)" trenger ikke å korrigeres. Funksjonen "minFi" kan i dette tilfellet returnere atan(b/a). Du må lage tilsvarende tester for de andre kvadrantene.

Til korrigeringen kan du få bruk for tallet π, som du kan hente fra biblioteket "Math" med kommandoen pi.

• Dersom $$ a>0$$ og $$ b>0$$ (første kvadrant): returner atan(b/a).

• Hvis ikke: dersom $$ a>0$$ og $$ b<0$$ (fjerde kvadrant): returner atan(b/a) + 2π.

• Hvis ikke: dersom $$ a<0$$ og $$ b>0$$ (andre kvadrant): returner atan(b/a) + π.

• Hvis ikke: (tredje kvadrant): returner atan(b/a) + π.

• Skriv til skjermen: "Dette programmet slår sammen uttrykket $$ a\sin kx+b\cos kx$$ til en enkelt sinusfunksjon."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn $$ a$$: "

• Ta imot tallet fra brukeren og lagre det i variabelen a.

• Gjør tilsvarende med $$ b$$ og $$ k$$.

• Sett variabelen A lik $$ {\left(a^2+b^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$.

• Sett variabelen fi lik minFi(a,b)

• Skriv til skjermen: "Den sammenslåtte funksjonen er: <a>sin<k>x + <b>cos<k>x = <A>sin(<k>x + <fi>)"

Bokstaver i vinkelparenteser refererer til innholdet i variabelen med dette navnet.