Løs oppgavene uten hjelpemidler.
a) Hva er supplementvinkelen til 70°?
Løsning Supplementvinkelen er 180 ° - 70 ° = 110 ° .
b) Hva er supplementvinkelen til 2 3 π ?
Løsning Supplementvinkelen er π - 2 3 π = 1 3 π .
c) Hva er komplementvinkelen til 65°?
Løsning Komplementvinkelen er 90 ° - 65 ° = 25 ° .
d) Hva er komplementvinkelen til 17 36 π ?
Løsning Komplementvinkelen er 1 2 π - 17 36 π = 18 36 - 17 36 π = 1 36 π .
e) Hva er supplementvinkelen til 225°?
Løsning Supplementvinkelen er 180 ° - 225 ° = - 45 ° .
f) Hva er komplementvinkelen til 7 4 π ?
Løsning Komplementvinkelen er 1 2 π - 7 4 π = 2 4 - 7 4 π = - 5 4 π .
Regn ut uten hjelpemidler.
a) sin 2 30 ° + cos 2 30 °
Løsning Svaret får vi direkte av enhetsformelen.
sin 2 30 ° + cos 2 30 ° = 1
b) sin 2 π 6 + cos 2 π 6
Løsning sin 2 π 6 + cos 2 π 6 = 1
c) 4 cos 2 10 ° + 4 sin 2 10 °
Løsning 4 cos 2 10 ° + 4 sin 2 10 ° = 4 cos 2 10 ° + sin 2 10 ° = 4 · 1 = 4
d) sin 2 110 ° + cos 2 70 °
Tips til oppgaven Bruk at vinklene er supplementvinkler.
Løsning De to vinklene er supplementvinkler fordi
110 ° + 70 ° = 180 °
Vi får
sin 2 110 ° + cos 2 70 ° = sin 2 70 ° + cos 2 70 ° = 1
e) sin 2 20 ° + sin 2 70 °
Tips til oppgaven Bruk at vinklene 20° og 70° er komplementvinkler.
Løsning sin 2 20 ° + sin 2 70 ° = sin 2 20 ° + cos 2 90 ° - 70 ° = sin 2 20 ° + cos 2 20 ° = 1
f) 3 cos 2 π 3 + 3 cos 2 π 6
Løsning De to vinklene er komplementvinkler fordi
π 3 + π 6 = 2 π + π 6 = 3 π 6 = π 2
Vi får
3 cos 2 π 3 + 3 cos 2 π 6 = 3 cos 2 π 3 + sin 2 π 2 - π 6 = 3 cos 2 π 3 + sin 2 π 3 = 3 · 1 = 3
a) Du får oppgitt at cos v = 0 , 6 .
Finn sin v og tan v uten hjelpemidler.
Tips til oppgaven Bruk enhetsformelen.
Løsning Enhetsformelen: cos 2 v + sin 2 v = 1
Vi får
0 , 6 2 + sin 2 v = 1 sin 2 v = 1 - 0 , 36 = 0 , 64 sin v = ± 0 , 64 = ± 0 , 8 sin v = - 0 , 8 ∨ sin v = 0 , 8
Videre får vi fra tan v = sin v cos v at
tan v = - 0 , 8 0 , 6 = - 8 6 = - 4 3 ∨ tan v = 4 3
b) Du får oppgitt at sin v = 0 , 9 .
Finn et eksakt uttrykk for cos v uten hjelpemidler.
Løsning Vi bruker enhetsformelen og får
cos 2 v + 0 , 9 2 = 1 cos 2 v = 1 - 0 , 81 = 0 , 19 cos v = ± 0 , 19 cos v = 0 , 19 ∨ cos v = - 0 , 19
Løs oppgavene uten hjelpemidler.
a) Du får oppgitt at sin 40 ° = 0 , 643 .
Hva vet du da om sin 140 ° ?
Løsning Vinklene 40° og 140° er supplementvinkler siden summen blir 180°. Da har vinklene samme sinusverdi. Vi får
sin 140 ° = sin 40 ° = 0 , 643
b) Du får oppgitt at sin 40 ° = 0 , 643 .
Hva vet du da om cos 50 ° ?
Løsning Vinklene 40° og 50° er komplementvinkler siden summen blir 90°. Da må
cos 50 ° = sin 40 ° = 0 , 643
c) Du får oppgitt at sin 40 ° = 0 , 643 .
Hva vet du da om sin 320 ° ?
Tips til oppgaven Hva får du hvis du legger sammen vinklene?
Løsning Vi har at 320 ° + 40 ° = 360 ° . Da har vi tilsvarende situasjon som på bildet nedenfor.
De to vinklene har samme cosinusverdi og motsatt sinusverdi.
Da må
sin 320 ° = - sin 40 ° = - 0 , 643
d) Du får oppgitt at sin 40 ° = 0 , 643 .
Hva vet du da om sin 220 ° ?
Tips til oppgaven Hva får du hvis du trekker vinklene fra hverandre?
Løsning Vi har at 220 ° - 40 ° = 180 ° . Da har vi en tilsvarende situasjon som på bildet nedenfor.
Det betyr at
sin 220 ° = - sin 40 ° = - 0 , 643
e) Du får oppgitt at sin 40 ° = 0 , 643 .
Hva vet du da om cos 230 ° ?
Løsning Vi har at 230 ° - 180 ° = 50 ° . Da kan vi igjen bruke figuren nedenfor.
50° er komplementvinkelen til 40° og har derfor cosinusverdi lik sinusverdien til 40°.
Det betyr at
cos 230 ° = - cos 50 ° = - sin 40 ° = - 0 , 643
f) Du får oppgitt at tan 60 ° = 3 .
Hva blir da tan 240 ° ?
Løsning Vi har at forskjellen på vinklene er 180°. Da har de samme tangensverdi. Vi får at
tan 240 ° = tan 60 ° = 3
g) Du får oppgitt at tan π 6 = 1 3 3 .
Hva blir da tan 7 π 6 ?
Løsning Forskjellen på vinklene er
7 π 6 - π 6 = 6 π 6 = π
Da har vinklene samme tangensverdi. Altså får vi at
tan 7 π 6 = tan π 6 = 1 3 3
h) Du får oppgitt at tan π 6 = 1 3 3 .
Hva blir da tan π 3 ?
Løsning De to vinklene er komplementvinkler fordi
π 3 + π 6 = 2 π + π 6 = 3 π 6 = π 2
Da får vi at
tan π 3 = 1 tan π 6 = 1 1 3 3 = 3 3 = 3
a) Vis at arcsin x + arccos x = π 2 .
Tips 1 til oppgaven Start med å sette arcsin x = v og finn et uttrykk for arccos x ved å regne deg fra arcsin x til arccos x .
Du får også bruk for identiteten sin v = cos π 2 - v .
Tips 2 til oppgaven Begynn med å ta sin på begge sider av arcsin x = v .
Løsning arcsin x = v sin arcsin x = sin v x = sin v = cos π 2 - v arccos x = arccos cos π 2 - v = π 2 - v
Da får vi
arcsin x + arccos x = v + π 2 - v = π 2
NB: Dette er ikke et fullstendig bevis før vi har kontrollert at vinkelen v er innenfor tillatt område for de omvendte funksjonene. Det gjør vi i oppgave b).
b) Utfordring!
Vis at vinkelen v er innenfor de tillatte områdene for arcsin x og arccos x i beviset i a).
Tips til oppgaven Start med å sette opp en dobbel ulikhet for tillatt område for v for arcsin x . Vis at omgjøringen fra sin v til cos π 2 - v gir akkurat samme begrensning på v .
Løsning Verdimengden til arcsin x er - π 2 , π 2 . Det betyr at vinkelen v må oppfylle den doble ulikheten
- π 2 ≤ v ≤ π 2
I løsningen i a) skriver vi om sinusfunksjonen til en cosinusfunksjon med argumentet π 2 - v . I utledningen tar vi arccos på begge sider. Verdimengden til arccos x er 0 , π . Det betyr at vi må kreve at
0 ≤ π 2 - v ≤ π | - π 2 - π 2 ≤ - v ≤ π 2 | · - 1 π 2 ≥ v ≥ - π 2 | Snu ulikheten - π 2 ≤ v ≤ π 2
Dette er det samme som verdimengden til arcsin x . Kravet til v er det samme hele tida, og vi har dermed bevist at omregningen i oppgave a) er grei.
a) Bruk figuren til å forklare at
arcsin - b = - arcsin b
Løsning v er en vinkel i første kvadrant. Vinkelen - v ligger da i fjerde kvadrant. Ut fra figuren har vi at dersom sin v = b , så er sin - v = - b .
Vi må huske at verdimengden til arcsin x er - π 2 , π 2 . De to likningene gir
b = sin v arcsin b = arc sin v = v
og
- b = sin - v arcsin - b = arcsin sin - v = - v = - arcsin b
b) Bruk figuren til å forklare at
arctan - c = - arctan c
Løsning Ut fra figuren og definisjonen av tangensfunksjonen har vi at tan v = c og tan - v = - c .
Så må vi huske at verdimengden til arctan x er 〈 - π 2 , π 2 〉 . De to likningene gir
c = tan v arctan c = arctan tan v = v
og
- c = tan - v arctan - c = arctan tan - v = - v = - arctan c
c) Bruk figuren til å finne en tilsvarende sammenheng mellom
arccos - a og arccos a
Løsning Ut fra figuren har vi først at
cos v = a og cos π - v = - a
Vi må huske at verdimengden til arccos x er 0 , π . De to likningene gir
a = cos v arccos a = arccos cos v = v
og
- a = cos π - v arccos - a = arccos cos π - v = π - v