Løsning av enkle trigonometriske likninger

$$ \begin{array}{rcl}4\sin x-2 & =& 0\\ 4\sin x & =& 2\\ \sin x & =& \frac{1}{2}\\ x & =& \frac{\pi }{6} \vee x=\pi -\frac{\pi }{6}\\ L & =& \left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right\}\end{array}$$

Kommentar: Vi vet at det bare er disse to vinklene i første omløp som har sinusverdi lik $$ \frac{1}{2}$$. Derfor trenger vi ikke skrive opp den generelle løsningen ved hjelp av konstanten $$ k$$.

Kontroll med CAS:

Vi må finne de vinklene i første omløp som har cosinusverdi lik $$ \frac{1}{2}\sqrt{3}$$, som vi gjenkjenner som en av de eksakte trigonometriske verdiene.

$$ \begin{array}{rcl}\cos x & =& \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ x & =& \frac{\pi }{6} \vee x=2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}\\ L & =& \left\{\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right\}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2\cos x & =& \sqrt{2}\\ \cos x & =& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ x & =& \frac{\pi }{4} \vee x=2\pi -\frac{\pi }{4}\\ L & =& \left\{\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right\}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan 3x & =& \sqrt{3}\\ 3x & =& \frac{\pi }{3}+k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \frac{\pi }{9}+k·\frac{\pi }{3}\\ L & =& \left\{\frac{\pi }{9},\frac{4\pi }{9},\frac{7\pi }{9},\frac{10\pi }{9},\frac{13\pi }{9},\frac{16\pi }{9}\right\}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}4\cos 4x & =& 5\\ \cos 4x & =& \frac{5}{4}\\ L & =& \varnothing \end{array}$$

Vi får ingen løsning siden $$ \cos 4x\le 1$$ for alle $$ x$$. Dette har vi skrevet som at løsningsmengden er den tomme mengden $$ \varnothing $$.

$$ \begin{array}{rcl}2\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3} & =& 0\\ \sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right) & =& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}$$

Dette gir to generelle løsninger. Den ene er

$$ \begin{array}{rcl}4x-\frac{\pi }{3} & =& \frac{4\pi }{3}+k·2\pi \\ 4x & =& \frac{5\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{5\pi }{12}+k·\frac{\pi }{2}\end{array}$$

Den andre er

$$ \begin{array}{rcl}4x-\frac{\pi }{3} & =& \pi -\frac{4\pi }{3}+k·2\pi \\ 4x & =& k·2\pi \\ x & =& k·\frac{\pi }{2}\end{array}$$

Begge de generelle løsningene gir løsninger når $$ k$$ er 0, 1, 2 og 3.

$$ \begin{array}{rcl}L & =& \left\{\frac{5\pi }{12},\frac{11\pi }{12},\frac{17\pi }{12},\frac{23\pi }{12},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}\right\}\\ & =& \left\{0,\frac{5\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{11\pi }{12},\pi ,\frac{17\pi }{12},\frac{3\pi }{2},\frac{23\pi }{12}\right\} \end{array}$$

... dersom vi skriver løsningene i stigende rekkefølge.

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}+1 & =& 0\\ \cos \frac{x}{2} & =& -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{{\displaystyle x}}{2} & =& \frac{3\pi }{4}+k·2\pi \\ \vee \frac{{\displaystyle x}}{2} & =& 2\pi -\frac{3\pi }{4}+k·2\pi \\ & =& \frac{5\pi }{4}+k·2\pi ,\\ k & \in & \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \frac{3\pi }{2}+k·4\pi \\ \vee x & =& \frac{5\pi }{2}+k·4\pi \end{array}$$

Den første generelle løsningen gir løsning for $$ k=0$$. Den andre gir ingen løsning i første omløp.

$$ L=\left\{\frac{3\pi }{2}\right\}$$

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}+1 & =& 0\\ \sin \frac{x}{2} & =& -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{{\displaystyle x}}{2} & =& \frac{5\pi }{4}+k·2\pi \\ \vee \frac{{\displaystyle x}}{2} & =& \pi -\frac{5\pi }{4}+k·2\pi \\ & =& -\frac{\pi }{4}+k·2\pi ,\\ k & \in & \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \frac{5\pi }{2}+k·4\pi \\ \vee x & =& -\frac{\pi }{2}+k·4\pi \end{array}$$

Ingen av de generelle løsningene gir løsning i første omløp.

$$ L=\varnothing $$

Vi vet at $$ -1\le \sin x\le 1$$. Det betyr at likningen bare har løsning når $$ -1\le a\le 1$$.

Fra oppgave a) har vi at $$ -1\le a\le 1$$ for at likningen skal ha løsning. Generelt vil det da være to løsninger av likningen unntatt når $$ a=\pm 1$$, der vi bare får én løsning.

Oppsummert får vi

• to løsninger når $$ -1<a<1$$

• én løsning når $$ a=-1$$ eller $$ a=1$$

• ingen løsninger når $$ a<-1$$ eller når $$ a>1$$

Tangensfunksjonen kan ha alle mulige verdier, så likningen vil ha løsning for $$ b\in \mathrm{ℝ}$$.

Vi ser at vi får periodiske skjæringspunkter med avstand $$ \frac{\pi }{2}$$ fra skjæringspunkt til skjæringspunkt. Ett av skjæringspunktene har $$ x$$-koordinat $$ \frac{\pi }{4}$$. Den generelle løsningen av likningen blir

$$ L=\left\{\frac{\pi }{4}+k·\frac{\pi }{2}\right\}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Vi ser at vi får periodiske skjæringspunkter med avstand $$ \frac{\pi }{2}$$ fra skjæringspunkt til skjæringspunkt. Ett av skjæringspunktene har $$ x$$-koordinat $$ \frac{\pi }{8}$$. Den generelle løsningen av likningen blir

$$ L=\left\{\frac{\pi }{8}+k·\frac{\pi }{2}\right\}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Vi ser at vi får periodiske skjæringspunkter med avstand $$ \frac{\pi }{2}$$ fra skjæringspunkt til skjæringspunkt. Ett av skjæringspunktene har $$ x$$-koordinat $$ \frac{\pi }{4}$$. Den generelle løsningen av likningen blir

$$ L=\left\{\frac{\pi }{4}+k·\frac{\pi }{2}\right\}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Først må vi sjekke om $$ \frac{\pi }{4}$$ er innenfor verdimengden til $$ \arcsin x$$. Det er det siden verdimengden er $$ \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$.

$$ \begin{array}{rcl}\arcsin x & =& \frac{\pi }{4}\\ \sin \left(\arcsin x\right) & =& \sin \frac{\pi }{4}\\ x & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}3\arctan x-\pi & =& 0\\ 3\arctan x & =& \pi \\ \arctan x & =& \frac{\pi }{3}\end{array}$$

$$ \frac{\pi }{3}$$ er innenfor verdimengden til $$ \arctan x$$, så likningen har løsning. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\tan \left(\arctan x\right) & =& \tan \frac{\pi }{3}\\ x & =& \sqrt{3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\arccos x-2 & =& 0\\ \frac{1}{2}\arccos x & =& 2\\ \arccos x & =& 4\end{array}$$

Verdimengden til $$ \arccos x$$ er $$ \left[0,\pi \right]$$, så likningen har ingen løsning.