Fagartikkel

Eksakte trigonometriske verdier

Vi skal nå se hvordan vi ved hjelp av to kjente rettvinklede trekanter kan finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til vinkler på 30°, 45° og 60°. Disse verdiene er det en stor fordel å huske.

Startøvelse

Vinklene det er enklest å finne eksakte trigonometriske verdier til, er de vinklene der koordinataksene er vinkelbein. Nedenfor kan du teste dette.

Husker du definisjonene av sinus og cosinus i forhold til enhetssirkelen?

Se enhetssirkelen nedenfor der du kan dra i punktet $P$ . Ut ifra den har vi at

$\cos v = x$ -koordinaten til punktet $P$ .
$\sin v = y$ -koordinaten til punktet $P$ .

Eksakte trigonometriske verdier til vinklene 30° og 60°

Du husker kanskje at $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ ? Vi skal nå finne flere slike eksakte trigonometriske verdier uten hjelp av GeoGebra eller kalkulator.

Vi starter med en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.

Bruk kjente egenskaper til trekanter og forklar hvorfor den korteste kateten i trekanten over er halvparten så lang som hypotenusen.

Tips

Legg til en speilvendt kopi av trekanten slik figuren nedenfor viser.

Figuren viser en rettvinklet trekant der vinklene er 30, 60 og 90 grader. I tillegg er det tegnet ei linje fra det rettvinklede hjørnet bort til hypotenusen slik at den danner vinkelen 60 grader med den siden i den opprinnelige trekanten som går mellom hjørnet med 90 graders vinkel og hjørnet med 60 graders vinkel. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Forklaring

I boksen "Tips til oppgaven" har vi tegnet inn med stiplede linjer en like stor, speilvendt trekant. Se figuren nedenfor.

Likesidet trekant delt i to like deler. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Hele figuren blir en likesidet trekant fordi alle vinklene blir 60°. Sidene er det samme som hypotenusen i den opprinnelige trekanten. Grenselinja mellom de to trekantene deler den loddrette sida i to like deler siden de to trekantene er speilbilder av hverandre. Hver del er det samme som den korteste kateten i den opprinnelige trekanten. Derfor er den korteste kateten halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.

Forklar hvordan du kan bruke trekanten der vinklene er 30°, 60° og 90° til å finne at

$\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$

Tips

Bruk definisjonene av sinus og cosinus ut ifra en rettvinklet trekant. Kall lengden av den korteste kateten for $x$ .

Forklaring

Rettvinklet trekant der vinklene er 30, 60 og 90 grader. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi setter den korteste kateten lik $x$ . Da blir hypotenusen $2 x$ . Sett fra vinkelen på 30° får vi at

$\sin 30 ° = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$

Sett fra vinkelen på 60° får vi at

$\cos 60 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$

Finn $\sin 60 °$ og $\cos 30 °$ på tilsvarende måte.

Tips

Regn ut lengden av den lengste kateten først.

Resultat

Vi bruker pytagorassetningen til å regne ut lengden av den lengste kateten. Vi setter som før den korteste kateten lik $x$ , som gir at hypotenusen blir $2 x$ . Den lengste kateten blir

$\sqrt{{(2 x)}^{2} - x^{2}} = \sqrt{3 x^{2}} = \sqrt{3} x$

Da får vi

$\begin{array}{rcl} \sin 60 ° & = & \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{\sqrt{3} x}{2 x} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array}$
$\cos 30 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{\sqrt{3} x}{2 x} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Finn $\tan 30 °$ og $\tan 60 °$ på tilsvarende måte.

Resultat

$\begin{array}{rcl} \tan 30 ° & = & \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{x}{\sqrt{3} x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ = & \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ \tan 60 ° & = & \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{\sqrt{3} x}{x} = \sqrt{3} \end{array}$

Eksakte trigonometriske verdier til vinkelen 45°

Gjennomfør tilsvarende utregninger i en trekant med vinklene 45°, 45° og 90° for å finne $\sin 45 °, \cos 45 °$ og $\tan 45 °$ .

Tips

Start med å sette katetene lik $x$ . Tegn trekanten.

Resultat

De to katetene er like lange, og vi setter dem lik $x$ . Så bruker vi pytagorassetningen til å regne ut hypotenusen, som blir

$\sqrt{x^{2} + x^{2}} = \sqrt{2 x^{2}} = \sqrt{2} x$

Da får vi

$\begin{array}{rcl} \sin 45 ° & = & \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{x}{\sqrt{2} x} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ = & \cos 45 ° \end{array}$

$\tan 45 ° = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{x}{x} = 1$

Oppsummering

Gjør ferdig oversikten nedenfor.

Video om eksakte verdier til vinkler på 30 og 60 grader

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om eksakte trigonometriske verdier til vinkel på 45 grader

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0