Fagartikkel

Vinkler som ikke ligger mellom 0° og 360°

Hva betyr det at en vinkel er større enn 360°? Hva vil det si at en vinkel er negativ?

Negative vinkler

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P 1 er et punkt på sirkelen i første kvadrant. P 2 er et punkt på sirkelen i fjerde kvadrant og er slik at x-koordinaten til de to punktene er like. Vinkelen mellom linjestykket fra origo til P 1 danner vinkelen v i forhold til x-aksen. Vinkelen mellom x-aksen og linjestykket mellom origo og P 2 har betegnelsen minus v. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

På enhetssirkelen har vi at positiv rotasjonsretning er mot urviseren. Negativ rotasjonsretning blir da med urviseren.

Vi kan si at den positive vinkelen $v$ oppstår ved at vi roterer punktet $P_{1}$ om origo fra punktet $(1, 0)$ i positiv retning på enhetssirkelen til der det ligger på figuren. Vi har markert rotasjonsretningen på vinkelmarkeringa i figuren.

$v$ er vinkelen mellom den positive $x$ -aksen og linjestykket $O P_{1}$ fra origo til $P_{1}$ .

Den tilsvarende negative vinkelen $- v$ oppstår ved at vi roterer punktet $P_{2}$ like mye om origo fra punktet $(1, 0)$ som punktet $P_{1}$ , men i negativ retning på enhetssirkelen.

Bruk figuren og avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige.

Vinkler som er større enn 360°

Prøv å regne ut $\sin 450 °$ med kalkulator eller med GeoGebra. Hva får du til svar?

Svar

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 står det sin parentes 450 grader parentes slutt. Svaret er 1. Skjermutklipp. — CAS-utregning av sin450°. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Kjenner du en annen vinkel som har sinusverdi lik 1?

Svar

En vinkel på 90° har sinusverdi lik 1. Matematisk blir det

$\sin 90 ° = 1$

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen, og vinkelen mellom x-aksen og linjestykket fra origo til P er 495 grader. Illustrasjon. — Eksempel på vinkel som er større enn 360 grader. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

En rotasjon på $360 °$ kalles et omløp. Da har vi gått rundt hele enhetssirkelen. En vinkel $v \in [0 °, 360 ° 〉$ er en vinkel i første omløp.

Vi kan også la et punkt rotere mer enn $360 °$ på enhetssirkelen. Vi får da en vinkel som er større enn $360 °$ .

Figuren viser vinkelen $v = 495 °$ tegnet i et koordinatsystem. Vinkelbeina til en vinkel på $495 °$ er de samme som vinkelbeina til en vinkel på $495 ° - 360 ° = 135 °$ . Vi sier at vinkelen på $135 °$ ligger i første omløp, og vinkelen på $495 °$ ligger i andre omløp.

Hvor mange grader er den minste vinkelen i tredje omløp?

Svar

Den minste vinkelen i tredje omløp får vi når vi når vi går to hele runder. Vi får

$v = 2 \cdot 360 ° = 720 °$

Vinkelbeina til $v$ vil sammenfalle med vinkelbeina til vinklene $360 °$ og $0 °$ .

Generelt vil vinkelbeina til to vinkler $u$ og $v$ falle sammen dersom

$u = v + k \cdot 360 °$

der $k$ er et helt tall. Disse vinklene får da de samme verdiene for sinus, cosinus og tangens.

Har du hørt idrettsutøvere snakke om rotasjoner på $720 °$ , dobbel salto?

Prøv selv!

Nedenfor kan du øke vinkelen $v$ til mer enn $360 °$ ved å dra i glidebryteren.

Filer

Last ned simuleringa her(GGB)

Hva er den største verdien vinkelen $v$ kan ha i simuleringa over, og hvor mange omløp tilsvarer det?

Svar

Ved å dra glidebryteren helt til høyre får vi at vinkelen $v = 1 080 °$ .

Vi observerer at punktet $P$ roterer tre hele ganger rundt origo fra $0 °$ til $1 080 °$ . Det betyr at en vinkel på $1 080 °$ tilsvarer tre hele omløp.

Vi kan også regne ut antall omløp ved å dele på antall grader per omløp (360):

$\frac{1 080 °}{360 ° / omløp} = 3 omløp$

Finn alle vinklene i simuleringa som har sinusverdi lik 0,5.

Resultat

Vi starter med $v = 0 °$ , drar glidebryteren til enden og noterer alle vinklene som har sinusverdi lik 0,5. Det er totalt 6 vinkler, to for hvert omløp.

$\begin{matrix} 30 ° & , & 150 ° \\ 390 ° & , & 510 ° \\ 750 ° & , & 870 ° \end{matrix}$

På løsningsmengdeform kan vi skrive dette som

$L = \{30 °, 150 °, 390 °, 510 °, 750 °, 870 °\}$

Kvadranter og vinkler større enn 360 grader

Kvadranter og vinkler som er større enn 360°. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0