Oppgaver og aktiviteter

Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Disse begrepene er viktige i forbindelse med sinusfunksjoner og sinuskurver. Bli bedre kjent med dem her! Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Lag en skisse i et koordinatsystem av grafen til en faseforskjøvet sinusfunksjon. Grafen skal ha et bunnpunkt for $x = 0$ , og likevektslinja skal ikke være $x$ -aksen. Marker perioden, likevektslinja, amplituden og faseforskyvningen på figuren.

Løsning

Husk at faseforskyvningen går til det skjæringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigende.

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 11 pi fjerdedeler. Perioden, likevektslinja, amplituden og faseforskyvningen er markert på figuren. Illustrasjon.

Her er faseforskyvningen positiv (som betyr at tallet $φ$ i den generelle sinusfunksjonen er negativt).

b) Hva er periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyvning til funksjonen som er tegnet i løsningsboksen over? Finn funksjonsuttrykket som gir denne grafen.

Løsning

Perioden kan vi lese av mellom $x$ -verdiene $\frac{π}{4}$ og $\frac{5 π}{4}$ . Vi får $p = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{4} = π$ .
Likevektslinja er $y = 1$ .
Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden $A = 3 - 1 = 2$ .
Faseforskyvningen er $x_{f} = \frac{π}{4}$ .

c) Finn uten hjelpemidler funksjonsuttrykket som gir denne grafen.

Løsning

Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

Vi har fra oppgave b) at

amplituden er 2, som gir $A = 2$
likevektslinja er $y = 1$ , som gir $d = 1$
perioden er $π$ , som gir
$p = \frac{2 π}{k} = π \Leftrightarrow k = 2$
faseforskyvningen er $\frac{π}{4}$ , som gir $\begin{array}{rcl} x_{f} & = & - \frac{φ}{k} = \frac{π}{4} \\ φ & = & - \frac{π}{4} \cdot k = - \frac{π}{4} \cdot 2 = - \frac{π}{2} \end{array}$

Funksjonsuttrykket blir

$f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$

Vi skriver den generelle sinusfunksjonen som

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

d) Forklar med ord hva størrelsene $A, k, φ$ og $d$ i den generelle sinusfunksjonen står for, og hvilken betydning de har.

Løsning

$A$ står for amplituden til funksjonen og forteller hvor langt grafen til funksjonen svinger ut fra likevektslinja.
$k$ er et tall som forteller noe om perioden $p$ til sinusfunksjonen. Sammenhengen er at $p = \frac{2 π}{k}$ . Perioden er avstanden i $x$ -retning fra et punkt på grafen til neste punkt der grafen er i samme svingetilstand. I noen sammenhenger kaller vi $k$ for frekvens fordi den sier noe om antall svingninger per enhet i $x$ -retning.
Tallet $φ$ forteller noe om hvor stor faseforskyvningen til sinusfunksjonen er. Faseforskyvningen $x_{f}$ er gitt ved tallet $- \frac{φ}{k}$ . Det betyr at grafen er forskjøvet $- \frac{φ}{k}$ i $x$ -retning i forhold til grafen til en funksjon der $φ = 0$ .
Linja $y = d$ er likevektslinja grafen til funksjonen svinger om.

Oppgave 2

Finn uten hjelpemidler funksjonsuttrykket til funksjonene som det er tegnet graf til.

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi halve og 5 halve pi. Illustrasjon.

Løsning

Vi leser først av maksimalverdien $f_{m a k s}$ og minimalverdien $f_{m i n}$ til funksjonen.

$f_{m a k s} = 1, f_{m i n} = - 3$

Så regner vi ut amplituden $A$ og tallet $d$ , som er $y$ -verdien til likevektslinja:

$A = \frac{f_{m a k s} - f_{m i n}}{2} = \frac{1 - (- 3)}{2} = 2$

$d = f_{m a k s} - A = 1 - 2 = - 1$

Vi leser av perioden $p$ som avstanden mellom to av toppunktene. Vi får

$p = π$

Dette gir

$p = \frac{2 π}{k} \Leftrightarrow k = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{π} = 2$

Vi finner det skjæringspunktet mellom likevektslinja og stigende graf som er nærmest $y$ -aksen. Det er punktet $(- \frac{π}{4}, - 1)$ . Det betyr at faseforskyvningen $x_{f}$ er

$x_{f} = - \frac{π}{4}$

Dette gir

$x_{f} = - \frac{φ}{k} \Leftrightarrow φ = - k \cdot x_{f} = - 2 \cdot (- \frac{π}{4}) = \frac{π}{2}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & A \sin (k x + φ) + d \\ = & 2 \sin (2 x + \frac{π}{2}) - 1 \end{array}$

Hjelpefigur:

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi halve og 5 pi halve. Perioden, likevektslinja og faseforskyvningen er markert på figuren. Illustrasjon.

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus 6 pi og 8 pi. Illustrasjon.

Løsning

$f_{m a k s} = 1, 5, f_{m i n} = - 0, 5$

$A = \frac{f_{m a k s} - f_{m i n}}{2} = \frac{1, 5 - (- 0, 5)}{2} = 1$

$d = f_{m a k s} - A = 1, 5 - 1 = 0, 5$

$p = 8, 5 π - 2, 5 π = 6 π$

$k = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{6 π} = \frac{1}{3}$

$x_{f} = π$

$φ = - k \cdot x_{f} = - π \cdot \frac{1}{3} = - \frac{π}{3}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & A \sin (k x + φ) + d \\ = & \sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{3}) + 0, 5 \end{array}$

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi halve og 3 pi halve. Illustrasjon.

Løsning

$f_{m a k s} = 0, f_{m i n} = - 3$

$A = \frac{f_{m a k s} - f_{m i n}}{2} = \frac{0 - (- 3)}{2} = \frac{3}{2}$

$d = f_{m a k s} - A = 0 - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}$

$p = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$

$k = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4$

$x_{f} = \frac{π}{8}$

$φ = - k \cdot x_{f} = - 4 \cdot \frac{π}{8} = - \frac{π}{2}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & A \sin (k x + φ) + d \\ = & \frac{3}{2} \sin (4 x - \frac{π}{2}) - \frac{3}{2} \end{array}$

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus 12 pi og 33 pi. Illustrasjon.

Løsning

$f_{m a k s} = 1, 2, f_{m i n} = 0, 8$

$A = \frac{f_{m a k s} - f_{m i n}}{2} = \frac{1, 2 - 0, 8}{2} = 0, 2 = \frac{1}{5}$

$d = f_{m a k s} - A = 1, 2 - 0, 2 = 1$

Vi ser at grafen er i samme svingetilstand når $x = 6 π$ som når $x = 18 π$ . Perioden blir

$p = 18 π - 6 π = 12 π$

$k = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{12 π} = \frac{1}{6}$

$x_{f} = \frac{- 3 π}{2}$

$φ = - k \cdot x_{f} = - \frac{1}{6} \cdot (- \frac{3 π}{2}) = \frac{π}{4}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & A \sin (k x + φ) + d \\ = & \frac{1}{5} \sin (\frac{x}{6} + \frac{π}{4}) + 1 \end{array}$

e) I oppgave d) brukte vi skjæringspunktet mellom likevektslinja og grafen der $x = - \frac{3 π}{2}$ når vi skulle bestemme faseforskyvningen.
Vis at dersom vi i stedet velger skjæringspunktet der $x = \frac{21 π}{2}$ , kommer vi fram til funksjonsuttrykket $g (x) = \frac{1}{5} \sin (\frac{x}{6} - \frac{7 π}{4}) + 1$ .

Løsning

Løsningen blir som i oppgave d) til vi kommer til faseforskyvningen, der vi nå får

$x_{f} = \frac{21 π}{2}$

Dette gir

$φ = - k \cdot x_{f} = - \frac{1}{6} \cdot (\frac{21 π}{2}) = - \frac{7 π}{4}$

Funksjonsuttrykket blir

$g (x) = \frac{1}{5} \sin (\frac{x}{6} - \frac{7 π}{4}) + 1$

f) Forklar hvorfor funksjonen $g$ i e) er samme funksjon som $f$ i oppgave d).

Tips til oppgaven

Stikkordet er periode.

Løsning

Alt er likt i de to funksjonsuttrykkene bortsett fra $φ$ . Vi har at perioden til funksjonene er $12 π$ . Det betyr at dersom vi for eksempel trekker $12 π$ fra $x$ -verdiene i $f$ , har ikke det noen betydning for utregningen av funksjonsverdiene. Vi får

$\begin{array}{rcl} f (x - 12 π) & = & \frac{1}{5} \sin (\frac{x - 12 π}{6} + \frac{π}{4}) - 1 \\ = & \frac{1}{5} \sin (\frac{x}{6} - 2 π + \frac{π}{4}) - 1 \\ = & \frac{1}{5} \sin (\frac{x}{6} - \frac{8 π}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \\ = & \frac{1}{5} \sin (\frac{x}{6} - \frac{7 π}{4}) - 1 \\ = & g (x) \end{array}$

g) Kunne du ha valgt andre skjæringspunkter mellom likevektslinja og grafen når du skal finne faseforskyvningen enn de to i oppgave d) og e)? Forklar.

Løsning

De to skjæringspunktene har $x$ -verdier som gjør at grafen er i samme svingetilstand. Det er derfor det ikke spilte noen rolle for funksjonen hvilket av disse punktene vi brukte. Av samme årsak kan vi egentlig bruke et hvilket som helst skjæringspunkt der grafen er i samme svingetilstand, det vil si at grafen er stigende, når vi skal bestemme funksjonsuttrykket.

Vi bruker i praksis ett av de to skjæringspunktene nærmest $y$ -aksen, for det gir ikke mening å operere med en faseforskyvning som er større enn perioden til funksjonen.

Oppgave 3

Bestem størrelsene $A, k, φ$ og $d$ i sinusfunksjonene nedenfor. Finn også perioden og faseforskyvningen, og tegn til slutt en skisse på papir av grafen til funksjonene. Skissen av grafen må minimum inneholde to toppunkter og to bunnpunkter.

I løsningsboksene har vi tegnet funksjonene med GeoGebra. Skissene dine bør likne på disse grafene.

Tips til oppgaven

Se forslag til framgangsmåte for skissen under overskrifta "Skissering av trigonometriske funksjoner" nederst i teoriartikkelen om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.

a) $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{4}) - 1$

Løsning

Direkte fra funksjonsuttrykket får vi

$A = 2, k = 1, φ = \frac{π}{4}, d = - 1$

Det betyr videre at perioden er

$p = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{1} = 2 π$

og faseforskyvningen er

$x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{\frac{π}{4}}{1} = - \frac{π}{4}$

Likevektslinja er $y = - 1$ .

Funksjonen har maksimalverdi $- 1 + 2 = 1$ og minimalverdi $- 1 - 2 = - 3$ .

En passende skala på $y$ -aksen kan være 1.

Faseforskyvningen betyr at grafen er forskjøvet med $\frac{π}{4}$ til venstre, og vi tegner ei pil mellom punktene $(0, - 1)$ og $(- \frac{π}{4}, - 1)$ for å markere faseforskyvningen.

En passende skala på $x$ -aksen kan være $\frac{π}{4}$ .

Første punkt på grafen til høyre for $(- \frac{π}{4}, - 1)$ som er i samme svingetilstand, ligger én periode bort, det vil si at $x = - \frac{π}{4} + 2 π = - \frac{π}{4} + \frac{8 π}{4} = \frac{7 π}{4}$ . Vi kan også markere punktet som ligger en halv periode bort, det vil si for $x = \frac{3 π}{4}$ , for der vil grafen krysse likevektslinja på vei nedover.

Vi får toppunkter med $y$ -koordinat 1. Ett av toppunktene har $x$ -koordinat midt mellom $- \frac{π}{4}$ og $\frac{3 π}{4}$ , det vil si $\frac{π}{4}$ . Vi får et nytt toppunkt i en avstand 1 periode fra det første, det vil si for $x = \frac{π}{4} + 2 π = \frac{π}{4} + \frac{8 π}{4} = \frac{9 π}{4}$ .

Vi får bunnpunkter med $y$ -koordinat $- 3$ . Ett av bunnpunktene har $x$ -koordinat midt mellom $\frac{3 π}{4}$ og $\frac{7 π}{4}$ , det vil si $\frac{5 π}{4}$ . Vi får et nytt bunnpunkt for eksempel for $x = \frac{5 π}{4} - 2 π = \frac{5 π}{4} - \frac{8 π}{4} = - \frac{3 π}{4}$ .

Nå kan vi tegne skissen av grafen.

Grafen til 2 sinus parentes x pluss pi delt på 4 parentes slutt minus 1 er tegnet for x-verdier mellom minus 3 pi fjerdedeler og 5 halve pi sammen med likevektslinja. Faseforskyvningen og de to nærmeste skjæringspunktene mellom grafen og likevektslinja er markert. Illustrasjon.

b) $f (x) = 3 \sin (4 x + \frac{π}{3}) - 2$

Løsning

$A = 3, k = 4, φ = \frac{π}{3}, d = - 2$

$p = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$

$x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{\frac{π}{3}}{4} = - \frac{π}{12}$

Likevektslinje: $y = - 2$

Maksimalverdi: $1$

Minimalverdi: $- 5$

Skala på $x$ -aksen: $\frac{π}{12}$

Skala på $y$ -aksen: 1 eller 2

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $(- \frac{π}{12}, - 2)$ og $(\frac{5 π}{12}, - 2)$

Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf : $(\frac{π}{6}, - 2)$

Toppunkter: for $x = \frac{π}{24}$ og $x = \frac{13 π}{24}$

Bunnpunkter: for $x = \frac{7 π}{24}$ og $x = - \frac{5 π}{24}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

Grafen til 3 sinus parentes 4 x pluss pi delt på 12 parentes slutt minus 2 er tegnet for x-verdier mellom minus pi halve og 11 fjerdedels pi sammen med likevektslinja. Faseforskyvningen og de to nærmeste skjæringspunktene mellom grafen og likevektslinja er markert. Illustrasjon.

c) $f (x) = \frac{1}{2} \sin (x - \frac{π}{6})$

Løsning

$A = \frac{1}{2}, k = 1, φ = - \frac{π}{6}, d = 0$

$p = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{1} = 2 π$

$x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{- \frac{π}{6}}{1} = \frac{π}{6}$

Likevektslinje: $y = 0$ ( $x$ -aksen)

Maksimalverdi: $\frac{1}{2}$

Minimalverdi: $- \frac{1}{2}$

Skala på $x$ -aksen: $\frac{π}{6}$

Skala på $y$ -aksen: 0,1 eller 0,2

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf : $(\frac{π}{6}, 0)$ og $(\frac{13 π}{6}, 0)$

Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf : $(\frac{7 π}{6}, 0)$

Toppunkter: for $x = \frac{2 π}{3}$ og $x = \frac{8 π}{3}$

Bunnpunkter: for $x = \frac{5 π}{3}$ og $x = - \frac{π}{3}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

Grafen til en halv sinus parentes x minus pi delt på 6 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus pi tredjedeler og 8 pi tredjedeler sammen med likevektslinja. Faseforskyvningen og de to nærmeste skjæringspunktene mellom grafen og likevektslinja er markert. Illustrasjon.

d) $f (x) = 0, 05 \sin (\frac{x}{8} - \frac{3 π}{4}) + 0, 02$

Løsning

$A = 0, 05, k = \frac{1}{8}, φ = - \frac{3 π}{4}, d = 0, 02$

$p = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{\frac{1}{8}} = 16 π$

$x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{- \frac{3 π}{4}}{\frac{1}{8}} = - 8 \cdot (- \frac{3 π}{4}) = 6 π$

Likevektslinje: $y = 0, 02$

Maksimalverdi: $0, 07$

Minimalverdi: $- 0, 03$

Skala på $x$ -aksen: $2 π$

Skala på $y$ -aksen: 0,01 eller 0,02

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $(6 π, 0.02)$ og $(22 π, 0.02)$

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf : $(14 π, 0.02)$ og $(- 2 π, 0.02)$

Toppunkter: for $x = 10 π$ og $x = - 6 π$

Bunnpunkter: for $x = 2 π$ og $x = 18 π$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

Grafen til 0,05 sinus parentes x åttedeler minus 3 pi delt på 4 parentes slutt pluss 0,02 er tegnet for x-verdier mellom minus 6 pi og 22 pi sammen med likevektslinja. Faseforskyvningen og de to nærmeste skjæringspunktene mellom grafen og likevektslinja er markert. Illustrasjon.

e) $f (x) = 15 \sin (2 π x + π) - 5$

Løsning

$A = 15, k = 2 π, φ = π, d = - 5$

$p = \frac{2 π}{2 π} = 1$

$x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{π}{2 π} = - \frac{1}{2}$

Likevektslinja er $y = - 5$

Maksimalverdi: $10$

Minimalverdi: $- 20$

Skala på $x$ -aksen: $\frac{1}{2}$

Skala på $y$ -aksen: 5

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $(- \frac{1}{2}, - 5)$ og $(\frac{1}{2}, - 5)$

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf: $(0, - 5)$ .

Toppunkter: for $x = - \frac{1}{4}$ og $x = \frac{3}{4}$

Bunnpunkter: for $x = \frac{1}{4}$ og $x = - \frac{3}{4}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

Grafen til 15 sinus parentes 2 pi x pluss pi parentes slutt minus 5 er tegnet for x-verdier mellom minus 3 fjerdedeler og 3 fjerdedeler sammen med likevektslinja. Faseforskyvningen og de to nærmeste skjæringspunktene mellom grafen og likevektslinja er markert. Illustrasjon.

f) Finn på en sinusfunksjon selv og lag en skisse av den på samme måte som over. Kontroller skissen ved å tegne funksjonen med GeoGebra.

g) Forklar hvordan du vil gå fram dersom funksjonen du skal skissere, er på formen

$f (x) = A \sin (b (x + c)) + d$

Forklar også hva tallet $c$ egentlig står for.

Løsning

Vi skriver om funksjonsuttrykket.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & A \sin (b (x + c)) + d \\ = & A \sin (b x + b c) + d \end{array}$

Det betyr at $b$ er det samme som $k$ i de forrige oppgavene. Videre må $b c$ være det samme som $φ$ . Resten av framgangsmåten blir som før.

Sammenhengen mellom $φ$ og $b c$ gir

$x_{f} = - \frac{φ}{b} = - \frac{b c}{b} = - c$

$c$ er altså det samme som faseforskyvningen, men med motsatt fortegn. Måten funksjonsuttrykket til $f$ er skrevet på her, gjør at vi kan lese av faseforskyvningen direkte.

h) Skriv om funksjonen $g$ nedenfor slik at den kommer på samme form som funksjonen $f$ i oppgave g), og bruk dette til å lage en skisse av funksjonen.

$g (x) = \sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{3}) + \frac{1}{2}$

Løsning

Omskriving:

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{3}) + \frac{1}{2} \\ = & \sin (\frac{1}{3} (x - π)) + \frac{1}{2} \end{array}$

$A = 1, k = \frac{1}{3}, x_{f} = π, d = \frac{1}{2}$

$p = \frac{2 π}{\frac{1}{3}} = 6 π$

Likevektslinje: $y = \frac{1}{2}$

Maksimalverdi: $1, 5$

Minimalverdi: $- 0, 5$

Skala på $x$ -aksen: $π$

Skala på $y$ -aksen: 0,25

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $(π, \frac{1}{2})$ , $(7 π, \frac{1}{2})$ og $(- 5 π, \frac{1}{2})$

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf: $(- 2 π, \frac{1}{2})$ og $(4 π, \frac{1}{2})$ .

Toppunkter: for $x = - \frac{7 π}{2}$ og $x = \frac{3 π}{2}$

Bunnpunkter: for $x = - \frac{π}{2}$ og $x = - \frac{11 π}{2}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen.

Du kan se grafen tegnet i oppgave 2.2.11 b).

Oppgave 4

Hvilke av funksjonene $f, g$ og $h$ du ser grafen til på bildet nedenfor, er i fase?

Grafen til tre ukjente sinusfunksjoner f, g og h. Grafene til g og h er like bortsett fra at grafen til h er forskjøvet et stykke til høyre i forhold til grafen til g. Grafene til f og g har topp- og bunnpunkter for de samme x-verdiene. Illustrasjon.

Løsning

Grafene til $f$ og $g$ har topp- og bunnpunkter for de samme $x$ -verdiene, så $f$ og $g$ er i fase.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Filer

CC BY-SASkrevet av Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 07.02.2022

Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Nedlastbare filer

Filer

Sitere eller gjenbruke?