Vektorer i tre dimensjoner

De fleste regnereglene for vektorer er like uansett om vektorene er i to eller tre dimensjoner. Se gjerne på vektorkapittelet i matematikk R1 hvis du trenger repetisjon før du setter i gang.

I to dimensjoner

Husker du hvordan man finner koordinatene til vektoren mellom to punkter, for eksempel punktene $$ A(2,4)$$ og $$ B(7,1)$$? Finn koordinatene til $$ \overrightarrow{AB}$$, og sjekk med framgangsmåten nedenfor.

Utregning av vektorkoordinater i to dimensjoner

Vi tar koordinatene til $$ B$$ og trekker fra koordinatene til $$ A$$.

$$ \overrightarrow{AB}=\left[7-2,1-4\right]=\left[5,-3\right]$$

Det betyr at for å komme fra $$ A$$ til $$ B$$, må vi gå 5 enheter i positiv $$ x$$-retning og 3 enheter i negativ $$ y$$-retning. Du kan lese mer om dette i faget R1 på teorisiden "Posisjonsvektor og vektor mellom punkter" hvis du vil.

I tre dimensjoner

Vi tenker på samme måte når vi skal finne vektoren mellom to punkter i tre dimensjoner. Prøv å finne koordinatene til $$ \overrightarrow{AB}$$ når punktene er$$ A(4,2,1)$$ og $$ B(-1,4,3)$$.

Tegning av vektorer i tre dimensjoner

Bruk GeoGebra. Tegn punktene $$ A$$ og $$ B$$ fra forrige avsnitt. Tegn $$ \overrightarrow{AB}$$ ved å bruke kommandoen Vektor(A,B) i algebrafeltet.

Tegning av vektorer i 3D-grafikkfeltet

Vi skriver først inn punktene i algebrafeltet før vi bruker vektorkommandoen. Resultatet kan se slik ut, her har vi skrevet inn navnet på vektoren og koordinatene manuelt i koordinatsystemet:

Roter på koordinatsystemet ditt for å se hvordan vektoren ser ut fra flere kanter.

Prøv kommandoen v=(-5,2,2) og kommandoen P=(-5,2,2) i algebrafeltet. Hva får du?

Punkt og vektor i GeoGebra

Den første kommandoen lager den samme vektoren som $$ \overrightarrow{AB}$$, men nå tegnet ut fra origo. Vektorpila ender i punktet $$ P$$. Hvis vi kaller origo for $$ O$$, vil vektoren vi har tegnet, kalles $$ \overrightarrow{OP}$$ og være posisjonsvektoren til punktet $$ P$$.

Merk at når vi bruker en liten bokstav på navnet slik som i den første av de to kommandoene, lager GeoGebra automatisk en vektor. Bruker vi stor bokstav, lager GeoGebra et punkt.

I R1 uttrykker vi vektorer i to dimensjoner ved hjelp av enhetsvektorene slik:

$$ \overrightarrow{a}=\left[2,3\right]=2·\overrightarrow{e_x}+3·\overrightarrow{e_y}$$

Her er $$ \overrightarrow{e_x}=\left[1,0\right]$$ og $$ \overrightarrow{e_y}=\left[0,1\right]$$ enhetsvektorene i henholdsvis $$ x$$- og $$ y$$-retning.

Enhetsvektorer i tre dimensjoner

I et tredimensjonalt koordinatsystem må enhetsvektorene ha 3 koordinater. I tillegg må vi ha en tredje enhetsvektor for $$ z$$-retningen. Lengden på vektorene skal fortsatt være 1.

Skriv opp navn og koordinater til de tre enhetsvektorene i tre dimensjoner.

Husker du definisjonen på skalarproduktet mellom to vektorer $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ når vinkelen mellom vektorene er $$ \alpha $$?

Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjoner

Skalarproduktet mellom vektorene $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x_1,y_1\right]$$$ og $$ $ \overrightarrow{b}=\left[x_2,y_2\right]$$$ på koordinatform er

$$ $ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left[x_1,y_1\right]$·\left[x_2,y_2\right]=x_1·x_2+y_1·y_2$$

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjoner

Hva tror du skalarproduktet mellom vektorene $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x_1,y_1,z_1\right]$$$ og $$ $ \overrightarrow{b}=\left[x_2,y_2,z_2\right]$$$ på koordinatform blir? Gå til oppgave 4.1.16 for å utforske dette.

Lengden av $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x,y\right]$$$, $$ \left|\overrightarrow{a}\right|$$, er

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Hva tror du formelen for lengden av $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x,y,z\right]$$$ er? Gå til oppgave 4.1.17 a), b) og c) for å utforske dette før du ser på fasiten nedenfor.

Tenk over

Hvorfor kalles vektorene $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y} \end{array}$$og $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{e_z}\end{array}$$ enhetsvektorer?