Fagartikkel

Areal og volum med vektorproduktet

Vi kan gjøre geometriske utregninger med vektorproduktet.

Arealberegninger med vektorproduktet

Arealsetningen for trekanter

Illustrasjon av trekanten A B C der siden liten a er motstående side til hjørnet stor A. Det er tilsvarende for de andre hjørnene. Høyden h fra hjørnet B ned på siden A C er tegnet inn. Vinkel C er markert. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Husker du arealsetningen for trekanter? Den bruker vi når vi kjenner to av sidene i trekanten og den mellomliggende vinkelen.

Studer figuren. Arealsetningen, som gir oss arealet $A_{△}$ av trekanten $A B C$ , er gitt ved

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Arealsetningen for trekanter med vektorproduktet

Illustrasjon av en trekant som utspennes av vektorene a-vektor og b-vektor. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Nå tenker vi oss den samme trekanten, men utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , se figuren. Vi kaller vinkelen mellom vektorene for $θ$ . Kan du omforme arealsetningen ved å bruke de nye navnene på sidene?

Arealet med vektorer

Forskjellen blir bare at vi erstatter $a$ med $| \vec{a} |$ , $b$ med $| \vec{b} |$ og vinkelen $C$ med vinkelen $θ$ . Vi får

$A_{△} = \frac{1}{2} | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Tenk over

Uttrykket i boksen over er svært likt lengden av vektorproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Hva er forskjellen?

Forklaring

Forskjellen er bare faktoren $\frac{1}{2}$ .

Siden $|\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$ , får vi derfor følgende formel for arealet $A_{△}$ ut ifra $|\vec{a} \times \vec{b}|$ :

Arealet av en trekant utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Arealsetningen for parallellogrammer

Illustrasjon av parallellogram utspent av vektorene a-vektor og b-vektor. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Figuren viser et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Tenk over

Forklar hvorfor figuren er et parallellogram.

Forklaring

Siden to av sidene er $\vec{a}$ og de to andre er $\vec{b}$ , er to og to sider parvis parallelle og like lange. Da er figuren et parallellogram.

Tenk over

Hva er forskjellen på arealet $A_{▱}$ av parallellogrammet og arealet $A_{△}$ av trekanten lenger opp på siden?

Forklaring

Parallellogrammet utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er dobbelt så stort som den tilsvarende trekanten utspent av de samme vektorene. Det gir

$A_{▱} = 2 A_{△} = 2 \cdot \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Da kan vi skrive opp formelen for arealet $A_{▱}$ av parallellogrammet utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ :

Arealet av et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{▱} = |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Tenk over

Gjelder formelen i boksen over for rektangler?

Forklaring

Siden et rektangel også er et parallellogram, må formelen også gjelde for rektangler. Dette er bevis godt nok, men vi kan forklare det slik:

For et rektangel utspent av vektoren $\vec{a}$ og $\vec{b}$ vil arealet $A_{▭}$ være gitt som $A_{▭} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ . Vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er lik 90°. Fra formelen for arealet av et parallellogram får vi da

$A_{▭} = |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin 90 ° = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$

Arealformelen for parallellogrammer gjelder derfor også for rektangler.

Volumberegninger med vektorproduktet

Volumet av et parallellepiped

Et parallellepiped er et sekskantet legeme der to og to sideflater er like og parallelle. Du kjenner det kanskje som "skrått prisme" fra tidligere.

Nedenfor har vi tegnet et parallellepiped utspent av de tre vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ på tilsvarende måte som vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ spenner ut et parallellogram i to dimensjoner. Figuren er interaktiv, så du kan dra i den for å studere den fra flere sider.

Vi ønsker å finne volumet av parallellepipedet uttrykt ved vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ . Formelen for volumet av et parallellepiped er den samme som for et firkantet prisme:

$V = G \cdot h$

der $G$ er arealet av den flaten vi velger som grunnflate, og $h$ er avstanden mellom grunnflaten og det som blir toppflaten.

Nå velger vi flaten som spennes ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som grunnflate. Da er det $h$ på figuren som blir høyden eller avstanden mellom grunnflate og toppflate.

Arealet $G$ av grunnflaten, som har form som et parallellogram, blir

$G = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Tenk over

Vi trenger videre å finne et uttrykk for høyden $h$ . Hva blir uttrykket for $h$ gitt ut ifra $\vec{c}$ og vinkelen $α$ ?

Uttrykket for høyden

$\vec{c}$ er hypotenusen i en rettvinklet trekant der $h$ er hosliggende katet til vinkel $α$ . Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \cos α & = & \frac{h}{|\vec{c}|} \\ h & = & |\vec{c}| \cdot \cos α \end{array}$

Nå kan vi lage en formel for volumet av parallellepipedet:

$\begin{array}{rcl} V & = & G \cdot h \\ = & |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos α \end{array}$

Dette er det samme som skalarproduktet mellom vektorene $\vec{c}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ siden $α$ er vinkelen mellom disse. Resultatet blir at volumet kan skrives som en kombinasjon av et vektorprodukt og et skalarprodukt!

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Siden vi kan ha tilfeller der $α > 90 °$ , som gjør at skalarproduktet blir negativt, må vi ta absoluttverdien av skalarproduktet.

Tenk over

Spiller rekkefølgen av de tre vektorene noen rolle for resultatet av utregningen av volumet?

Forklaring

Som vi antydet over, spiller det ingen rolle hvilken av flatene vi velger som grunnflate. Da kan heller ikke rekkefølgen av de tre vektorene bety noe.

Volumet av pyramider

Figuren nedenfor viser en trekantet og en firkantet pyramide utspent av vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Illustrasjon som viser to pyramider, en trekantet og en firkantet pyramide. Begge pyramidene er utspent av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, men grunnflaten i den firkantete pyramiden er et parallellogram utspent av a-vektor og b-vektor, mens grunnflaten i den trekantete pyramiden er en trekant utspent av a-vektor og b-vektor. — Trekantet og firkantet pyramide utspent av tre vektorer. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Gå til oppgave 4.1.52 på oppgavesiden "Areal og volum med vektorproduktet" for å komme fram til formlene for volumet.

Nedenfor har vi oppsummert formlene på denne siden.

Areal- og volumformler oppsummert

Arealet av en trekant utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Arealet av et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{▱} = |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Volumet av et parallellepiped utspent av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Volumet av en firkantet pyramide utspent av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$

$V_{▱} = \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Volumet av en trekantet pyramide (tetraeder) utspent av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$

$V_{△} = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Video om arealet av trekanter utspent av tre vektorer

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om arealet av parallellogrammer utspent av tre vektorer

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om volumet av et parallellepiped utspent av tre vektorer

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om volumet av pyramider utspent av vektorer

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0