Fagartikkel

Vektorproduktet. Høyrehåndsregelen

Skalarproduktet mellom to vektorer gir en skalar, et tall, til svar. Det finnes også et produkt mellom to vektorer som gir en ny vektor til svar: vektorproduktet. Et vektorprodukt kan brukes til mye både innenfor matematikk og fysikk.

Definisjon av vektorproduktet

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og a-kryss-b-vektor, som alle starter i det samme punktet. a-vektor peker på skrå opp til venstre, b-vektor peker på skrå opp til høyre, og a-kryss-b-vektor peker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og a-kryss-b-vektor og mellom b-vektor og a-kryss-b-vektor er begge 90 grader. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vektorproduktet eller kryssproduktet $\vec{a} \times \vec{b}$ mellom to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er en ny vektor som står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Vektorproduktet er definert slik at lengden av vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ er gitt ved

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$

der $θ$ (den greske bokstaven "theta") er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Retningen på $\vec{a} \times \vec{b}$ finner vi ved å bruke det vi kaller høyrehåndsregelen, som betyr at vektorene følger et høyrehåndssystem.

Før vi går videre med vektorproduktet, ser vi på hva vi mener med et høyrehåndssystem.

Høyrehåndssystem

Illustrasjon av ei høyrehånd der pekefingeren peker i retningen til a-vektor, og langfingeren er bøyd slik at den peker i retningen til b-vektor. Når tommelen strekkes, peker den i retningen til c-vektor. — Høyrehåndssystem med vektorene a, b og c. Bilde: Acdx / CC BY-SA 4.0

I et høyrehåndssystem av vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ – i den rekkefølgen – står den tredje vektoren, $\vec{c}$ , vinkelrett på begge de to andre vektorene slik at vektorene følger høyrehåndsregelen:

La pekefingeren på høyre hånd peke i retningen til den første vektoren, $\vec{a}$ .
La langfingeren peke i retningen til den andre vektoren, $\vec{b}$ , slik som på bildet.
Strekk ut tommelen. Da peker den i retningen til den tredje vektoren, $\vec{c}$ .

Illustrasjon av ei høyrehånd der pekefingeren peker i retningen til a-vektor, og langfingeren er bøyd slik at den peker i retningen til b-vektor. Når tommelen strekkes, peker den i retningen til a-kryss-b-vektor. — Høyrehåndssystem med vektorene a, b og a x b. Bilde: Acdx / CC BY-SA 4.0

Siden vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ skal følge høyrehåndsregelen, må vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ peke i samme retning som $\vec{c}$ .

Studer den øverste figuren. Kontroller ved hjelp av reglene over at de tre vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ danner et høyrehåndssystem. Da sier vi at vektorene følger høyrehåndsregelen.

Tenk over

Er det andre mulige retninger en vektor $\vec{c}$ kan ha og samtidig stå normalt på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ?

Forklaring

Vi kan se for oss at $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ligger i $x y$ -planet i et tredimensjonalt koordinatsystem slik som på figuren øverst. Da peker $\vec{a} \times \vec{b}$ i negativ $z$ -retning. En vektor $\vec{c}$ i positiv $z$ -retning vil også stå normalt på $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Men da følger ikke vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ høyrehåndsregelen lenger. Undersøk at dette stemmer!

Vektorproduktet oppsummert

$\vec{a} \times \vec{b}$ er en vektor som oppfyller disse kravene:

$\vec{a} \times \vec{b}$ står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ slik at vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ danner et høyrehåndssystem.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ der $θ$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Regneregler for vektorproduktet

Vektorproduktet oppfyller den distributive loven med hensyn på vektoraddisjon. Det betyr at

$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

Dersom $k$ er en skalar, gjelder videre at

$(k \cdot \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k \cdot \vec{v}) = k \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$

Vi viser ikke disse to reglene her.

Tenk over

Hva blir $\vec{b} \times \vec{a}$ hvis $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ ?

Regel for ombytting av vektorene i et kryssprodukt

Dersom de to vektorene som skal kryssmultipliseres, bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet blir en vektor i motsatt retning av den opprinnelige. Siden lengdene av vektorene og vinkelen er den samme, blir lengden av kryssproduktvektoren den samme som opprinnelig. Det betyr at

dersom $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ , blir $\vec{b} \times \vec{a} = - \vec{c}$ .

Eksempel fra fysikk: ladd partikkel i magnetfelt

En positivt ladd partikkel med ladning $q$ kommer med fart $\vec{v}$ inn i et magnetfelt med styrke $\vec{B}$ , se figuren. Fartsvektoren $\vec{v}$ danner vinkelen $θ$ med vektoren $\vec{B}$ for magnetfeltet. Partikkelen vil da utsettes for en kraft $\vec{F}$ .

Illustrasjon med et tredimensjonalt koordinatsystem med en partikkel q. Vektorene v-vektor, B-vektor og F-vektor er tegnet ut ifra partikkelen. Vinkelen theta er vinkelen mellom v-vektor og B-vektor. F-vektor står normalt på både v-vektor og B-vektor. — Kraft F på partikkel med ladning q og fart v i et magnetfelt med styrke B. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

En av fysikkens lover sier at kraften $\vec{F}$ på partikkelen oppfyller disse kravene:

Illustrasjon av ei høyrehånd der pekefingeren peker i retningen til v-vektor, og langfingeren er bøyd slik at den peker i retningen til B-vektor. Når tommelen strekkes, peker den i retningen til F-vektor. — Høyrehåndssystem med vektorene v, B og F. Bilde: Acdx / CC BY-SA 4.0

$|\vec{F}| = q \cdot v \cdot B \cdot \sin θ$
$\vec{F}$ står normalt på både $\vec{v}$ og $\vec{B}$ ( $\vec{F} ⊥ \vec{v}$ og $\vec{F} ⊥ \vec{B}$ ) slik at $\vec{v}$ , $\vec{B}$ og $\vec{F}$ følger høyrehåndsregelen.

Kraften på en ladd partikkel skrevet på vektorform

Hvordan skriver vi kraften på en ladd partikkel i eksempelet over på vektorform ved hjelp av vektorproduktet?

Kraften skrevet ved hjelp av vektorproduktet

Siden vektorene $\vec{v}$ , $\vec{B}$ og $\vec{F}$ følger de to reglene over, kan vi skrive

$\vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B}$

Legg merke til at slik vektorproduktet er definert, vil denne likningen inneholde informasjonen både om absoluttverdien $|\vec{F}|$ til kraften og retningen til $\vec{F}$ .

Legg også merke til at ladningen $q$ er en skalar størrelse som ikke inngår direkte i vektorproduktet.

Regler i forbindelse med vektorproduktet

Definisjon av vektorproduktet (kryssproduktet)

$\vec{a} \times \vec{b}$ er en vektor som oppfyller disse kravene:

$\vec{a} \times \vec{b}$ står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ slik at vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ danner et høyrehåndssystem.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ der $θ$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Regneregler for vektorproduktet

$\vec{b} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{b}$

$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

$(k \cdot \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k \cdot \vec{v}) = k \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$

Video om vektorproduktet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0