Fagartikkel

Vektorproduktet. Koordinatformel

Vi kan utlede en formel for vektorproduktet hvor vi bruker vektorkoordinatene.

Koordinatformel for vektorproduktet

Det er vanskelig å komme fram til koordinatene til et vektorprodukt mellom to vektorer ved å bruke definisjonen på vektorproduktet. Det har du sett om du har prøvd deg på oppgave 4.1.34. Vi vil finne en måte å regne ut koordinatene på ved hjelp av koordinatene til vektorene i vektorproduktet.

Vi setter $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ . Vi starter slik vi gjør for å komme fram til en formel til skalarproduktet: Vi uttrykker vektorene ved hjelp av enhetsvektorene. I tillegg trenger vi flere av regnereglene for vektorproduktet, som du finner nederst på teorisiden "Vektorproduktet. Høyrehåndsregelen".

I utregningene nedenfor har vi brukt rød farge på det som har med $x$ å gjøre, blå farge på det som har med $y$ å gjøre, og grønn farge på det som har med $z$ å gjøre. Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \times [x_{2}, y_{2}, z_{2}] \\ = & (x_{1} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}}) \times (x_{2} \vec{e_{x}} + y_{2} \vec{e_{y}} + z_{2} \vec{e_{z}}) \\ = & x_{1} \vec{e_{x}} \times x_{2} \vec{e_{x}} + x_{1} \vec{e_{x}} \times y_{2} \vec{e_{y}} + x_{1} \vec{e_{x}} \times z_{2} \vec{e_{z}} \\ + y_{1} \vec{e_{y}} \times x_{2} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} \times y_{2} \vec{e_{y}} + y_{1} \vec{e_{y}} \times z_{2} \vec{e_{z}} \\ + z_{1} \vec{e_{z}} \times x_{2} \vec{e_{x}} + z_{1} \vec{e_{z}} \times y_{2} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}} \times z_{2} \vec{e_{z}} \end{array}$

Tenk over

I den videre utregningen bruker vi definisjonen av vektorproduktet til å regne ut vektorproduktet mellom alle mulige kombinasjoner av enhetsvektorene.

Skriv opp disse kombinasjonene og resultatet av dem.

Vektorproduktet av enhetsvektorer

$\vec{e_{x}} \times \vec{e_{x}} = \vec{0}$ fordi en vektor kryssmultiplisert med seg selv alltid gir nullvektoren. (Hvorfor?) Nullvektoren har lengde lik 0.

$\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}$ fordi enhetsvektorene danner et høyrehåndssystem når de står i alfabetisk rekkefølge.

Oppsummert får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \times \vec{e_{x}} & = & \vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}} \times \vec{e_{z}} = \vec{0} \\ \vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} & = & \vec{e_{z}} \\ \vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}} & = & \vec{e_{x}} \\ \vec{e_{z}} \times \vec{e_{x}} & = & \vec{e_{y}} \\ \vec{e_{x}} \times \vec{e_{z}} & = & - \vec{e_{y}} \\ \vec{e_{y}} \times \vec{e_{x}} & = & - \vec{e_{z}} \\ \vec{e_{z}} \times \vec{e_{y}} & = & - \vec{e_{x}} \end{array}$

Utfordring

Klarer du å fortsette utregningen over på egen hånd? Prøv før du ser på løsningen nedenfor. Utregningen er også gjennomgått i den første videoen nederst på siden.

Videre utregning

I utregningen videre har vi kuttet ut fargene på de skalare størrelsene $x_{1}, y_{2}$ og så videre. Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & x_{1} x_{2} (\vec{e_{x}} \times \vec{e_{x}}) + x_{1} y_{2} (\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}) + x_{1} z_{2} (\vec{e_{x}} \times \vec{e_{z}}) \\ + y_{1} x_{2} (\vec{e_{y}} \times \vec{e_{x}}) + y_{1} y_{2} (\vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}}) + y_{1} z_{2} (\vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}}) \\ + z_{1} x_{2} (\vec{e_{z}} \times \vec{e_{x}}) + z_{1} y_{2} (\vec{e_{z}} \times \vec{e_{y}}) + z_{1} z_{2} (\vec{e_{z}} \times \vec{e_{z}}) \\ = & \vec{0} + x_{1} y_{2} \vec{e_{z}} + x_{1} z_{2} (- \vec{e_{y}}) \\ + y_{1} x_{2} (- \vec{e_{z}}) + \vec{0} + y_{1} z_{2} \vec{e_{x}} \\ + z_{1} x_{2} \vec{e_{y}} + z_{1} y_{2} (- \vec{e_{x}}) + \vec{0} \\ = & x_{1} y_{2} \vec{e_{z}} - x_{1} z_{2} \vec{e_{y}} - y_{1} x_{2} \vec{e_{z}} \\ + y_{1} z_{2} \vec{e_{x}} + z_{1} x_{2} \vec{e_{y}} - z_{1} y_{2} \vec{e_{x}} \\ = & (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{e_{x}} + (z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}) \vec{e_{y}} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{e_{z}} \\ = & [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] \end{array}$

I siste linje i boksen over har vi skrevet resultatet på koordinatform.

Koordinatformel for vektorproduktet

Vi har gitt $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ . Da er

$\vec{a} \times \vec{b} = [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}]$

Det er ikke noe problem å huske dette resultatet, eller …?

Praktisk framgangsmåte ved utregning av vektorproduktet

Du trenger egentlig ikke å pugge resultatet over. Det er enklere å bruke en tabell som den nedenfor når du skal regne ut et vektorprodukt med koordinater.

Tabell med 3 rader og 6 kolonner der første rad består av e x vektor, e y vektor, e z vektor, e x vektor, e y vektor og e z vektor. Andre rad består av x 1, y 1, z 1, x 1, y 1 og z 1. Tredje rad består av x 2, y 2, z 2, x 2, y 2 og z 2. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I tabellen er det satt opp ei rekke med enhetsvektorene og koordinatene to ganger. Nedenfor har vi vist hvordan vi bruker tabellen:

Tabell med 3 rader og 6 kolonner der første rad består av e x vektor, e y vektor, e z vektor, e x vektor, e y vektor og e z vektor. Andre rad består av x 1, y 1, z 1, x 1, y 1 og z 1. Tredje rad består av x 2, y 2, z 2, x 2, y 2 og z 2. Det er tegnet piler for å vise rekkefølgen i framgangsmåten. Dette er forklart i teksten i artikkelen. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Skriv en framgangsmåte for hvordan tabellen kan brukes. Forklar hva pilene betyr.

Framgangsmåte og forklaring

$x$ -koordinaten til kryssproduktet er $y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}$ . Denne får vi ved å følge pila på skrå nedover fra $\vec{e_{x}}$ til $y_{1}$ . Vi fortsetter på skrå nedover i pilretningen og multipliserer $y_{1}$ og $z_{2}$ . Vi følger den stiplede pila fra $z_{2}$ til $y_{2}$ , fortsetter på skrå opp til høyre til $z_{1}$ og trekker fra produktet $y_{2} z_{1}$ .

Vi kan skrive en tilsvarende framgangsmåte for $y$ -koordinaten ved å starte ved $\vec{e_{y}}$ .

Pilene betyr derfor dette:

Stiplede piler viser retning.
Pil på skrå nedover (rød) viser et produkt som skal legges til.
Pil på skrå oppover (blå) viser et produkt som skal trekkes fra.

Nederst på siden kan du se en video som viser dette mer i detalj.

Vi håper du skjønner systemet! Vi skal se på et eksempel.

Eksempel

Prøv å lage en slik tabell som over når du skal finne vektorproduktet nedenfor.

Gitt $\vec{a} = [2, 3, 4], \vec{b} = [5, 6, 7]$ . Finn $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Tabell og løsning

Tabellen blir seende ut som nedenfor.

Tabell med 3 rader og 6 kolonner der første rad består av e x vektor, e y vektor, e z vektor, e x vektor, e y vektor og e z vektor. Andre rad består av tallene 2, 3, 4, 2, 3 og 4. Tredje rad består av tallene 5, 6, 7, 5 og 6. Det er tegnet piler for å vise rekkefølgen i framgangsmåten. Bruken av tabellen er forklart i teksten i artikkelen. — Eksempel på bruk av tabelloppsett for vektorproduktet. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & [3 \cdot 7 - 6 \cdot 4, 4 \cdot 5 - 7 \cdot 2, 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3] \\ = & [21 - 24, 20 - 14, 12 - 15] \\ = & [- 3, 6, - 3] \end{array}$

Tenk over

Trenger vi første og siste kolonne i tabellen?

Kommentar

Vi trenger ikke første og siste kolonne i tabellen siden de ikke brukes i utregningen.

Kontroll av utregningen av vektorproduktet

Det kan være lurt å gjøre det til en vane å bruke skalarproduktet til å kontrollere at den vektoren vi finner, er vinkelrett på de to vektorene vi startet med. Det er fort gjort, og det vil avsløre om vi eventuelt har regnet feil.

Gjør denne kontrollen med både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ før du ser på løsningen nedenfor.

Løsning

Vi setter $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = [- 3, 6, - 3]$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{c} & = & [2, 3, 4] \cdot [- 3, 6, - 3] \\ = & - 6 + 18 - 12 \\ = & 0 \\ \vec{b} \cdot \vec{c} & = & [5, 6, 7] \cdot [- 3, 6, - 3] \\ = & - 15 + 36 - 21 \\ = & 0 \end{array}$

Siden skalarproduktene blir null, vet vi at $\vec{a} ⊥ \vec{c} \land \vec{b} ⊥ \vec{c}$ , og at vi mest sannsynlig har regnet riktig da vi regnet ut vektorproduktet.

Med litt trening kan du regne ut vektorproduktet av to vektorer uten å måtte sette opp hele tabellen.

Vektorproduktet med CAS

I CAS i GeoGebra får vi samme resultat. Kommandoen Vektorprodukt(a,b) gir oss vektorproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Vi kan også fra skjermtastaturet i GeoGebra hente opp vektorproduktet med symbolet som er et kryss i en sirkel, se linje 4 nedenfor. På en Windows-pc kan i tillegg hurtigtasten "shift + alt + 8" brukes for å hente dette symbolet.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er vektoren a med koordinatene 2, 3 og 4 skrevet inn. På linje 2 er vektoren b med koordinatene 5, 6 og 7 skrevet inn. På linje 3 er det skrevet inn Vektorprodukt parentes a komma, b parentes slutt. Svaret er en vektor med koordinatene minus 3, 6 og minus 3. På linje 4 er a-vektor kryssmultiplisert med b-vektor ved å hente opp symbolet for vektorproduktet fra skjermtastaturet. Resultatet er en vektor med koordinatene minus 3, 6 og minus 3. — Vektorproduktet på koordinatform med CAS. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Video om koordinatformelen for vektorproduktet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om utregning av koordinatene til vektorproduktet uten hjelpemidler

Video: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0