Plan i rommet

Et plan er en plan flate i rommet. En definisjon på et plan er at når ei rett linje går gjennom to punkter i et plan, vil alle punkter på linja ligge i planet.

En annen måte å definere et plan på er at vektorer i alle punkter i planet som står normalt på planet, vil være parallelle. Vektorene $$ \overrightarrow{m}$$ og $$ \overrightarrow{n}$$ på figuren nedenfor er to slike vektorer. Vi kaller en slik vektor for en normalvektor til planet.

Dersom vi har to rette, ikke-parallelle linjer som ligger i planet, vil vektorproduktet til retningsvektorene til linjene være en normalvektor til planet.

Tidligere har vi snakket om de tre koordinatplanene: $$ xy$$-planet, $$ xz$$-planet og $$ yz$$-planet.

🤔 Tenk over: Hva kan du si om et punkt i $$ xy$$-planet?

🤔 Tenk over: Hva kan du si om vektorer som er parallelle med eller står normalt på $$ xy$$-planet?

Nedenfor har vi tegnet et vilkårlig plan i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Punktet $$ A\left(1,1,2\right)$$ ligger i planet. Du kan dra i figuren for å rotere koordinatsystemet.

Som med koordinatplanene er det mange retninger en vektor kan ha som er parallelle med planet, men bare to retninger som står normalt på planet. Vi kan bruke det siste til å komme fram til likningen for planet.

La $\alpha$ være et plan i rommet. La videre $$ Q\left(x_0,y_0,z_0\right)$$ være et fast punkt i planet og $$ \overrightarrow{n}=\left[a,b,c\right]$$ en normalvektor til planet, det vil si en vektor som står normalt på planet.

For et vilkårlig punkt $P\left(x, y, z\right)$ som ligger i planet, gjelder at $$ \overrightarrow{QP}\perp \overrightarrow{n}$$. Det gir oss

$$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{QP}·\overrightarrow{n}& = & 0\\ \left[x-x_0, y-y_0, z-z_0\right]·\left[a, b, c\right]& =& 0\\ a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& =& 0\end{array}$$

Vi har fått en likning som beskriver planet $\alpha$. Alle punkter $$ \left(x,y,z\right)$$ som tilfredsstiller likningen, ligger i planet.

🤔 Tenk over: Hva trenger vi ut fra dette for å kunne komme fram til likningen for et plan (planlikningen)?

Vi kan multiplisere ut parentesene og samle de konstante leddene i likningen i én konstant. Da får vi likningen for planet gitt på den mest vanlige formen:

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& = & 0\\ ax-a{x}_0+by-b{y}_0+cz-c{z}_0& =& 0\\ ax+by+cz-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0& =& 0\\ ax+by+cz+d& =& 0\end{array}\\ & & \end{array}$$

Her har vi satt $$ d=-\left(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0\right)$$.

Eksempel

La $$ \overrightarrow{n}=\left[2,3,4\right]$$ være en normalvektor til planet $\beta$. Punktet $$ Q\left(1,2,3\right)$$ ligger i planet. La $$ P\left(x,y,z\right)$$ være et vilkårlig punkt i planet. Finn likningen for planet $$ \beta $$.

Vi setter tallene direkte inn i likningen for et plan:

$$ \begin{array}{rcl}a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& = & 0\\ 2\left(x-1\right)+3\left(y-2\right)+4\left(z-3\right)& =& 0\\ 2x-2+3y-6+4z-12& =& 0\\ 2x+3y+4z-20& =& 0\end{array}$$

Legg merke til at vi kan lese av koordinatene til normalvektoren $$ \overrightarrow{n}=\left[2,3,4\right]$$ ved å lese av tallene foran $$ x$$, $$ y$$ og $$ z$$ i likningen for $$ \beta $$.

🤔 Tenk over: Vi har at to punkter definerer ei linje. Hvor mange punkter trengs for å definere et plan, og hvorfor?

Eksempel

Vi skal finne likningen for et plan $\alpha$ som går gjennom punktene

$A(4, 0, 0), B(2, 3, 0)$ og $C(0, 0, 2)$

Uten hjelpemidler må vi først finne en normalvektor for planet.

Siden $$ AB$$ og $$ AC$$ ligger i planet og $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ \overrightarrow{AC}$$ er retningsvektorer for linjene gjennom $$ A$$ og $$ B$$ og gjennom $$ A$$ og $$ C$$, vil $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ være en normalvektor for planet.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}& = & \left[2-4,3-0,0-0\right]\\ & =& \left[-2,3,0\right]\\ & & \\ \overrightarrow{AC}& =& \left[0-4,0-0,2-0\right]\\ & =& [-4,0,2]\end{array}$$

Så må vi regne ut vektorproduktet.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}& = & \left[-2,3,0\right]\times [-4,0,2]\\ & =& \left[3·2-0·0,0·\left(-4\right)-2·\left(-2\right),\left(-2\right)·0-\left(-4\right)·3\right]\\ & =& \left[6,4,12\right]\\ & =& 2[3,2,6]\end{array}$$

$$ \left[6,4,12\right]$$ og $$ \left[3,2,6\right]$$ er begge normalvektorer for planet $\alpha$. Da bruker vi den korteste til å lage planlikningen.

Vi bruker så at likningen for et plan kan skrives som

$a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)=0$

Som punktet $$ \left(x_0,y_0,z_0\right)$$ kan vi bruke et av de tre punktene $A, B$ eller $C$. Vi velger her å bruke punktet $$ A(4,0,0)$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& = & 0\\ 3\left(x-4\right)+2\left(y-0\right)+6\left(z-0\right)& =& 0\\ 3x+2y+6z-12& =& 0\end{array}$$

Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle de tre punktene passer i planlikningen. Det er ikke mye arbeid og vil avsløre om noe er blitt feil.

For eksempel ser vi at $$ B(2,3,0)$$ passer i planlikningen fordi

$$ 3·2+2·3+6·0-12=6+6-12=0$$

Det er mest vanlig å beskrive et plan med en likning slik vi har gjort over, men vi kan også lage en parameterframstilling for planet.

La $A, B$ og $C$ være tre punkter som ikke ligger på samme rette linje i et plan $\alpha$. La $P$ være et vilkårlig punkt i planet. Se figuren.

Vi lager oss vektorene $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ \overrightarrow{AC}$$.

🤔 Tenk over: Kan vi uttrykke $$ \overrightarrow{AP}$$ ved hjelp av vektorene $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ \overrightarrow{AC}$$ og to parametre $$ s$$ og $$ t$$?

Vi kan nå finne et uttrykk for $$ \overrightarrow{OP}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & =& \overrightarrow{OA}+s·\overrightarrow{AB}+t·\overrightarrow{AC}\end{array}$$

Dette er veldig likt tilsvarende vektorlikning for ei linje. Likningen uttrykker at vi fra punktet $$ A$$ kan nå et hvilket som helst punkt $$ P$$ i planet ved å gå $$ s$$ skritt i retningen til $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ t$$ skritt i retningen til $$ \overrightarrow{AC}$$. Likningen beskriver derfor planet $$ \alpha $$. Dersom vi setter $$ A=\left(x_0,y_0,z_0\right), \overrightarrow{AB}=\left[a_1,b_1,c_1\right], \overrightarrow{AC}=\left[a_2,b_2,c_2\right]$$ og $$ \overrightarrow{OP}=\left[x,y,z\right]$$, kan vi skrive parameterframstillingen for planet $$ \alpha $$ som

$$ \alpha : \{\begin{array}{rcl}x& = & x_0+s{a}_1+t{a}_2\\ y& =& y_0+s{b}_1+t{b}_2\\ z& =& z_0+s{c}_1+t{c}_2\end{array}$$

ved å dele vektorlikningen opp i tre likninger, én for hver koordinat.

Eksempel

Vi skal uten hjelpemidler finne en parameterframstilling for et plan $\alpha$ som går gjennom punktene

$A(4, 0, 0), B(2, 3, 0)$ og $C(0, 0, 2)$

Dette er det samme planet som vi finner likningen til lenger oppe på siden, der vi har at

$$ \overrightarrow{AB}=\left[-2,3,0\right], \overrightarrow{AC}=\left[-4,0,2\right]$$

Nå kan vi enten gå veien om vektorfunksjonen for planet eller gå rett på parameterframstillingen. Vi viser begge framgangsmåtene. Vektorfunksjonen for planet $$ \alpha $$ blir

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP} & =& \overrightarrow{OA}+s·\overrightarrow{AB}+t·\overrightarrow{AC}\\ & =& \left[4,0,0\right]+s\left[-2,3,0\right]+t\left[-4,0,2\right]\\ & =& \left[4-2s-4t,0+3s+0,0+0+2t\right]\\ & =& \left[4-2s-4t,3s,2t\right]\end{array}$$

Når vi har vektorfunksjonen, har vi samtidig parameterframstillingen, akkurat som for ei linje. Alternativt kan vi finne parameterframstillingen ved å sette rett inn i den generelle parameterframstillingen over.

$$\begin{gathered} \alpha : \{\begin{array}{rcl}x& = & x_0+s{a}_1+t{a}_2\\ y& =& y_0+s{b}_1+t{b}_2\\ z& =& z_0+s{c}_1+t{c}_2\end{array}= \{\begin{array}{rcl}x& = & 4+s·\left(-2\right)+t·\left(-4\right)\\ y& =& 0+s·3+t·0\\ z& =& 0+s·0+t·2\end{array} =\{\begin{array}{rcl}x& = & 4-2s-4t \\ y& =& 3s\\ z& =& 2t\end{array} \\ \end{gathered}$$

🤔 Tenk over: Kan vi finne to vektorer som er parallelle med planet direkte ut ifra parameterframstillingen?

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi finne likningen for et plan ut ifra en parameterframstilling for planet?

Plan ut ifra planlikning

Dersom vi skriver en planlikning inn i algebra- eller CAS-feltet, vil GeoGebra tegne planet. Vi skriver

α:3x+2y+6z-12=0

for å tegne planet $$ \alpha $$ i eksempelet over ut ifra planlikningen.

Plan ut ifra parameterframstilling

Vi kan skrive inn en vektorfunksjon for planet $$ \alpha $$ i eksempelet som en funksjon av både $$ s$$ og $$ t$$. I CAS skriver vi

α(s,t):=(4-2s-4t,3s,2t)

Plan ut ifra punkt og normalvektor

Vi skriver først inn punktet og kaller det for eksempel $$\begin{gathered} \\ \end{gathered}$$A. Så skriver vi inn normalvektoren og kaller den for eksempel n. Kommandoen for å tegne planet $$ \alpha $$ i eksempelet over blir

α:Normalplan(A,n)

Plan ut ifra tre punkter

Dersom vi går ut ifra tre punkter, skriver vi først inn punktene og bruker kommandoen

α:Plan(A,B,C)

dersom punktene heter $$ A, B$$ og $$ C$$.

Vi kan også bruke verktøyknappen for et plan ut ifra tre punkter.

Vær oppmerksom på at det finnes en kommando Plan(punkt,vektor,vektor) der planet lages ut fra et punkt i planet og to vektorer som er parallelle med planet. Denne kommandoen fungerer bare i algebrafeltet. I CAS feiltolker GeoGebra vektorene som punkter, og vi får et helt annet plan enn det vi ber om.

Legg merke til at i videoen blir kryssproduktet regnet ut på en litt annen måte enn det vi pleier å gjøre.