Parameterframstillinger for linjer og kurver i rommet

Rett linje i tre dimensjoner

Den interaktive figuren nedenfor viser ei rett linje i et tredimensjonalt koordinatsystem. Det er to punkter $$ A$$ og $$ B$$ på linja. Du kan dra i bildet for å se linja fra forskjellige kanter.

Posisjonsvektoren for et punkt på linja

Vi ønsker å beskrive denne linja matematisk. I to dimensjoner kan vi beskrive ei rett linje med én likning: formelen $$ y=ax+b$$ der $$ a$$ og $$ b$$ er konstanter. Det går ikke an å sette opp én tilsvarende likning for ei linje i tre dimensjoner.

Vi kan bruke vektorer til å beskrive linja matematisk. Gitt to punkter $A$ og $B$. La $P$ være et vilkårlig punkt på linja gjennom $A$ og $B$. Da vil det alltid finnes en skalar $t$ slik at

$\overrightarrow{AP}=t·\overrightarrow{AB}$

Vi kan få punktet $$ P$$ til å flytte seg hvor som helst på linja ved å velge riktig verdi for $$ t$$. Posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$ til punktet $$ P$$ kan vi skrive ved hjelp av posisjonsvektoren $$ \overrightarrow{OA}$$ til punktet $$ A$$ som

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & =& \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\end{array}$$

Når vi endrer verdien på $t$ gradvis, vil $P$ flytte seg langs linja. Da har vi funnet den matematiske beskrivelsen av linja som vi var på jakt etter. Vi kaller $\overrightarrow{OP}$ for posisjonsvektoren som beskriver linja gjennom $A$ og $B$.

Tenk over

Fins det bare én unik posisjonsvektor som beskriver linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$?

Retningsvektor

Legg merke til at $$ \overrightarrow{AB}$$ er en vektor som er parallell med linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$. Vi sier derfor at $$ \overrightarrow{AB}$$ er en retningsvektor for linja. Vi kan bruke hvilken som helst vektor som er parallell med linja som retningsvektor for linja.

Eksempel

Ei linje $$ l$$ går gjennom punktene $A\left(3, 4, 2\right)$ og $B\left(5, 8, 10\right)$.

En posisjonsvektor $\overrightarrow{OP}$ for linja $$ l$$ er

$$ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[5-3, 8-4, 10-2\right]\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[2, 4, 8\right]\\ & =& \left[3+2t, 4+4t, 2+8t\right]\end{array}\end{array}$$

Parameterframstilling

I stedet for å beskrive linja ved hjelp av vektorer kan vi bruke en parameterframstilling av linja. Den tilsvarende parameterframstillingen for linja over blir

$$ x=3+2t, y=4+4t, z=2+8t$$

Dette inneholder den samme informasjonen om linja som posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$, men er skrevet på en annen måte uten vektornotasjon. Parameterframstillingen av linja kan også skrives slik:

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=4+4t\\ z=2+8t\end{array}\right.$$

Tenk over

Kan du tenke deg hvorfor parameterframstillingen i eksempelet over gir ei rett linje?

Parameterframstilling ut fra punkt og retningsvektor

I stedet for å kjenne to punkter på ei linje er det nok å kjenne ett punkt $A\left(x_0,y_0,z_0\right)$ på linja og en retningsvektor $$ \overrightarrow{v_l}=\left[a,b,c\right]$$ for linja.

En posisjonsvektor for denne linja blir

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{v_l}\\ & =& \left[x_0, y_0, z_0\right]+t·\left[a, b, c\right]\\ & =& \left[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct\right]\end{array}$$

Den tilsvarende parameterframstillingen for linja blir

$$ x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$$

eller

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$$

Test deg selv

Ei rett linje $$ l$$ går gjennom punktet $$ \left(-2,5,1\right)$$. Vektoren $$ \left[3,2,-4\right]$$ er parallell med linja.

Kan du skrive opp en parameterframstilling for linja?

Eksempel

Ei rett linje $$ l$$ er gitt ved parameterframstillingen

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3t\\ z=1-t\end{array}\right.$$

Vi skal finne en retningsvektor til linja $$ l$$ og et punkt på linja.

For å finne retningsvektoren må vi lese av koeffisientene $$ a, b$$ og $$ c$$ foran $$ t$$-leddene. Vi får at retningsvektoren er $$ \left[2,3,-1\right]$$.

Et punkt på linja finner vi enklest ved å lese av $$ x_0,y_0$$ og $$ z_0$$ i parameterframstillingen. Et punkt på linja blir derfor $$ \left(-1,0,1\right)$$.

Vi kan også finne et punkt på linja ved å sette en bestemt $$ t$$-verdi inn i parameterframstillingen. Ved å velge $$ t=1$$ får vi punktet

$$ \left(2·1,1+2,1^2-1\right)=\left(2,3,0\right)$$

Tenk over

Når vi finner punktet på linja ved å lese av $$ x_0,y_0$$ og $$ z_0$$ , har vi egentlig valgt en bestemt $$ t$$-verdi. Hvilken?

GeoGebra

Det er vanskelig å lage skisser for hånd av rette linjer i tre dimensjoner. I GeoGebra får vi tegnet linja i eksempelet over ved å bruke kommandoen "Kurve". Vi velger å kalle kurven $$ r$$ og tegne den for $$ t\in \left[0,5\right]$$. I algebrafeltet kan vi da skrive

r=Kurve(-1+2t,3t,1-t,t,0,5)

I kommandoen skriver vi først inn vektorkoordinatene, så må vi angi at det er $$ t$$ som er parameteren. Til slutt skriver vi inn grensene for $$ t$$, som er 0 og 5. Det er verdt å nevne at vi må ha med disse grensene når vi bruker kommandoen "Kurve". Hvis den aktuelle oppgaven eller situasjonen ikke gir en avgrensning, må vi derfor velge en.

For å tegne punktet på linja der $$ t=0$$ kan vi skrive

A=r(0)

Dersom en eller flere av likningene i en parameterframstilling ikke er av første grad, vil generelt ikke parameterframstillingen gi ei rett linje, men en kurve som bøyer seg.

Eksempel

Vi har gitt parameterframstillingen

$$ k:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+2\\ z=t^2-1\end{array}\right.$$

På bildet har vi brukt parameterframstillingen og kommandoen "Kurve" til å tegne en kurve for $$ t\in \left[0,3\right]$$. Som bildet viser, får vi ikke ei rett linje, men en parabelformet kurve.

Prøv selv

Bruk parameterframstillingen

$$ x=2\sin t, y=2\cos t, z=0.2t$$

til å tegne en kurve for $$ t\in \left[0,6\pi \right]$$. Hva får du?