Skjæring og vinkel mellom linje og plan

Skjæring med $$ xy$$-planet ($$ z=0$$):

$$ \begin{array}{rcl}z & =& 0\\ 6t & =& 0\\ t & =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 2-t=2-0=2\\ y & =& 3+3t=3+3·0=3\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom $$ m$$ og $$ xy$$-planet er $$ \left(2,3,0\right)$$.

Skjæring med $$ xz$$-planet ($$ y=0$$):

$$ \begin{array}{rcl}y & =& 0\\ 3+3t & =& 0\\ 3t & =& -3\\ t & =& -1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 2-t=2-\left(-1\right)=3\\ z & =& 6t=6·\left(-1\right)=-6\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom $$ m$$ og $$ xz$$-planet er $$ \left(3,0,-6\right)$$.

Skjæring med $$ yz$$-planet ($$ x=0$$):

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 0\\ 2-t & =& 0\\ t & =& 2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}y & =& 3+3t=3+3·2=3+6=9\\ z & =& 6t=6·2=12\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom $$ m$$ og $$ yz$$-planet er $$ \left(0,9,12\right)$$.

Vi får de samme svarene som i oppgave a).

En normalvektor til $$ xy$$-planet er $$ \overrightarrow{n}={\overrightarrow{e}}_z=\left[0,0,1\right]$$. En retningsvektor for $$ m$$ er $$ \overrightarrow{v}=\left[-1,3,6\right]$$, som vi leser direkte fra parameterframstillingen. Vi løser oppgaven med CAS.

Vinkelen mellom $$ m$$ og $$ xy$$-planet er 0,49.

Vi setter parameterframstillingen for $$ l$$ inn i planlikningen for $$ \alpha $$.

$$ \begin{array}{rcl}2x-2y+z-2 & =& 0\\ 2\left(1-t\right)-2·0+1+t-2 & =& 0\\ 2-2t+t-1 & =& 0\\ -t+1 & =& 0\\ t & =& 1\end{array}$$

Så setter vi løsningen inn i parameterframstillingen for $$ l$$. Skjæringspunktet mellom $$ l$$ og $$ \alpha $$ er

$$ \left(1-1,0,1+1\right)=\left(0,0,2\right)$$

Vi får det samme svaret som i oppgave a).

En normalvektor til $$ \alpha $$ er $$ \overrightarrow{n}=\left[2,-2,1\right]$$, og en retningsvektor for $$ l$$ er $$ \overrightarrow{v}=\left[-1,0,1\right]$$, som vi leser direkte fra parameterframstillingen. Vi løser oppgaven med CAS.

Vinkelen mellom $$ l$$ og $$ \alpha $$ er 0,24.

Vi setter parameterframstillingen for $$ l$$ inn i planlikningen for $$ \alpha $$.

$$ \begin{array}{rcl}2x-2y+z-2 & =& 0\\ 2\left(t-1\right)-2·t+3-2 & =& 0\\ 2t-2-2t+3-2 & =& 0\\ 0t-1 & =& 0\\ 0t & =& 1\end{array}$$

Likningen har ingen løsning. Det betyr at linja er parallell med, og ikke sammenfallende med, planet. Det finnes ingen skjæringspunkter.

Vi får det samme med CAS, det vil si ingen løsning.

Vi setter parameterframstillingen for $$ m$$ inn i planlikningen for $$ \alpha $$.

$$ \begin{array}{rcl}2x-2y+z-2 & =& 0\\ 2\left(1-t\right)-2·\left(-1-t\right)+\left(-2\right)-2 & =& 0\\ 2-2t+2+2t-2-2 & =& 0\\ 0t & =& 0\end{array}$$

Likningen har uendelig mange løsninger. Det betyr at det er uendelig mange skjæringspunkter mellom linja og planet, som igjen betyr at linja ligger i planet.

Vi får det samme med CAS, det vil si uendelig mange løsninger.

Skjæring med $$ xy$$-planet vil si at $$ z=0$$. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}z & =& 0\\ 2\sin t & =& 0\\ t & =& n·\pi , n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}$$

Vi får uendelig mange skjæringspunkter mellom kurven $$ k$$ og $$ xy$$-planet. Skjæringspunktene blir

$$ \left(-3+\frac{1}{2}·n·\pi ,2+n·\pi ,0\right)=\left(-3+\frac{n}{2}\pi ,2+n·\pi ,0\right)$$

Vi kan bestemme parameteren $$ t$$ når vi vet at $$ x=3$$.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 3\\ 2+t & =& 3\\ t & =& 3-2\\ t & =& 1\end{array}$$

I skjæringspunktet må $$ z=0$$. Det gir

$$ \begin{array}{rcl}z & =& 0\\ -1+s·1 & =& 0\\ s & =& 1\end{array}$$

Linja $$ l$$ skjærer $$ xy$$-planet for $$ x=3$$ når $$ s=1$$.

I oppgave a) fikk vi at vilkåret er oppfylt for $$ s=1$$. Da blir parameterframstillingen til $$ l$$

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=-1+t\end{array}\right.$$

En retningsvektor for $$ l$$ er da $$ \overrightarrow{v}=\left[1,-1,1\right]$$. En normalvektor til $$ xy$$-planet er $$ \overrightarrow{n}=\left[0,0,1\right]$$. Med CAS får vi

Vinkelen mellom $$ l$$ og $$ xy$$-planet er 0,62.

En algoritme for programmet kan se slik ut:

• Legg koordinatene til retningsvektoren til linja i ei liste.

• Legg koordinatene til normalvektoren til planet i ei liste.

• Regn ut vinkelen mellom $$ \overrightarrow{v}$$ og $$ \overrightarrow{n}$$ ved hjelp av formelen $$ \cos u=\frac{\overrightarrow{n}·\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{n}\right|·\left|\overrightarrow{v}\right|}$$.

Tips til programmet:

• Bruk kommandoen "numpy.arccos()" til å regne ut vinkelen.

• Bruk kommandoen "numpy.dot()" til å regne ut skalarproduktet mellom $$ \overrightarrow{v}$$ og $$ \overrightarrow{n}$$.

• Regn ut lengden av vektorene ved å ta kvadratrota av skalarproduktet av vektorene med seg selv.

Programmet kan se slik ut:

1import numpy as np
2      # legger koordinatene til vektorene i listene n og v
3n = (2,-2,1)
4v = (-1,0,1)
5      # regner ut skalarproduktet mellom n og v
6n_prikk_v = np.dot(n,v)
7      #regner ut lengden av n og lengden av v
8abs_n = np.sqrt(np.dot(n,n))
9abs_v = np.sqrt(np.dot(v,v))
10
11u = np.arccos(n_prikk_v/abs_n/abs_v)
12
13print(f"Vinkelen mellom planet og linja er {abs(np.pi/2 - u):.2f}.")