Avstand punkt–linje. Vektorfunksjoner

De tre punktene i eksempelet i arealmetoden er $$ A\left(0,7,2\right)$$, $$ B\left(4,0,2\right)$$ og $$ C\left(3,5,1\right)$$, og linja skal gå gjennom $$ B$$ og $$ C$$. Vi lager en parameterframstilling for denne linja, som vi kaller $$ l_{BC}$$.

En retningsvektor for linja er

$$ \overrightarrow{BC}=\left[3-4,5-0,1-2\right]=\left[-1,5,-1\right]$$

Bruker vi $$ B$$ som fast punkt til parameterframstillingen, får vi

$$ l_{BC}:\left\{\begin{array}{l}x=4-t\\ y=5t\\ z=2-t\end{array}\right.$$

Dette er parameterframstillingen som er brukt i eksempelet i skalarproduktmetoden. Det er derfor samme linje som er brukt i de to eksemplene. Siden det er det samme punktet $$ A(0,7,2)$$ vi skulle finne avstanden til, blir det samme avstand vi kommer fram til i de to eksemplene.

Siden vi ikke har oppgitt noen parameterframstilling for linja, kan det være enklest å bruke arealmetoden.

Uten hjelpemidler:

Vi setter

$$ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}=\left[1-\left(-3\right),1-1,3-0\right]=\left[4,0,3\right]$$

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4^2+0^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

$$ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}=\left[1-\left(-3\right),1-1,3-0\right]=\left[4,-2,2\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\end{array}& =& [0·2-\left(-2\right)·3,\\ & & 3·4-2·4,\\ & & 4·\left(-2\right)-4·0]\\ & =& \begin{array}{l}\left[6,4,-8\right]\end{array}\end{array}$$

$$ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\sqrt{6^2+4^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{36+16+64}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}h & =& \frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{2\sqrt{29}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{29}\end{array}$$

Avstanden fra $$ C$$ til linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$ er $$ \frac{2}{5}\sqrt{29}$$.

Med hjelpemidler:

Tegn hjelpefigur.

Vi setter

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a} & =& \overrightarrow{CD}=\left[1-0,-2-0,6-6\right]=\left[1,-2,0\right]\\ \left|\overrightarrow{a}\right| & =& \sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+0^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\ & & \\ \overrightarrow{b} & =& \overrightarrow{CA}=\left[2-0,0-0,0-6\right]=\left[2,0,-6\right]\\ & & \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} & =& [-2·\left(-6\right)-0·0,0·2-\left(-6\right)·1,1·0-2·\left(-2\right)]\\ & =& \left[12,6,4\right]\\ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right| & =& \sqrt{{12}^2+6^2+4^2}\\ & =& \sqrt{144+36+16}\\ & =& \sqrt{196}\\ & =& 14\end{array}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}h & =& \frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{14}{\sqrt{5}}=\frac{14}{5}\sqrt{5}\end{array}$$

Avstanden fra $$ A$$ til linja gjennom $$ C$$ og $$ D$$ er $$ \frac{14}{5}\sqrt{5}$$.

Med hjelpemidler:

Uten hjelpemidler:

Vi setter $$ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{CD}=\left[1,-2,0\right]$$ som i a).

$$ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{CB}=\left[0-0,4-0,0-6\right]=\left[0,4,-6\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\end{array}& =& [-2·\left(-6\right)-4·0,\\ & & 0·0-\left(-6\right)·1,\\ & & 1·4-0·\left(-2\right)]\\ & =& \begin{array}{l}\left[12,6,4\right]\end{array}\end{array}$$

Dette er det samme resultatet for kryssproduktet som i oppgave a). Avstanden fra $$ B$$ til linja gjennom $$ C$$ og $$ D$$ er derfor den samme som avstanden fra $$ A$$ til linja gjennom $$ C$$ og $$ D$$, det vil si $$ \frac{14}{5}\sqrt{5}$$.

Linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$ må derfor være parallell med linja gjennom $$ C$$ og $$ D$$. Firkanten $$ ABCD$$ er derfor et trapes.

Med hjelpemidler:

Uten hjelpemidler:

Dersom linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$ er parallell med linja gjennom $$ C$$ og $$ D$$, må vi ha at $$ \overrightarrow{AB}=k·\overrightarrow{CD}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB} & =& \left[0-2,4-0,0-0\right] \\ & =& \left[-2,4,0\right]\\ & =& -2\left[1,-2,0\right]\\ & =& -2\overrightarrow{CD}\end{array}$$

De to vektorene er dermed parallelle, og $$ ABCD$$ er et trapes.

Med hjelpemidler:

Hvordan vet vi egentlig at vektorene er parallelle ut ifra dette? Vi vet det siden likningen har en løsning. Dersom likningen ikke har løsning, finnes det ingen verdi for $$ k$$ som gjør at $$ \overrightarrow{AB}=k·\overrightarrow{CD}$$, og da kan ikke vektorene være parallelle.

Uten hjelpemidler:

En generell vektor mellom $$ A$$ og et vilkårlig punkt $$ P$$ på $$ m$$ er

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP} & =& \left[-4+2t-\left(-3\right),1+t-2,-2-2t-\left(-1\right)\right]\\ & =& \left[-1+2t,-1+t,-1-2t\right]\end{array}$$

For at lengden av $\overrightarrow{AP}$ skal bli så kort som mulig, skal $\overrightarrow{AP}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er $$ {\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-2\right]$$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}\perp {\overrightarrow{v}}_l \iff \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l& = & 0\end{array}$$

Dette gir videre

$$ \begin{array}{rcl} \left[-1+2t,-1+t,-1-2t\right]·\left[2,1,-2\right] & =& 0\\ \left(-1+2t\right)·2+\left(-1+t\right)·1+\left(-1-2t\right)·\left(-2\right) & =& 0\\ -2+4t-1+t+2+4t & =& 0\\ 9t & =& 1\\ t & =& \frac{1}{9}\end{array}$$

Vi setter denne $t$-verdien inn i uttrykket for $\overrightarrow{AP}$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}& = & \left[-1+2·\frac{1}{9},-1+\frac{1}{9},-1 -2·\frac{1}{9}\right]=\left[-\frac{7}{9},-\frac{8}{9},-\frac{11}{9}\right]\\ & & \\ \left|\overrightarrow{AP}\right|& =& \sqrt{{\left(-\frac{7}{9}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{9}\right)}^2+{\left(-\frac{11}{9}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{\frac{49}{81}+\frac{64}{81}+\frac{121}{81}}\\ & =& \sqrt{\frac{234}{81}}\\ & =& \sqrt{\frac{26}{9}}\\ & =& \frac{\sqrt{26}}{3}\end{array}$$

Avstanden fra punktet $A$ til linja $$ m$$ er $$ \frac{\sqrt{26}}{3}$$.

Med hjelpemidler:

I linje 4 setter vi opp skalarproduktet mellom $$ \overrightarrow{AP}$$ og retningsvektoren for $$ m$$, som vi finner ved å derivere r(t), og setter det lik 0.

I linje 5 har vi brukt kommandoen "HøyreSide" for å hente inn $$ t$$-verdien. På denne måten får vi et mest mulig automatisk oppsett som er enkelt å gjenbruke.

Uten hjelpemidler:

En generell vektor mellom origo og et vilkårlig punkt $$ P$$ på $$ m$$ er det samme som posisjonsvektoren til $$ P$$, og vi får

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP} & =& \left[-4+2t,1+t,-2-2t\right]\end{array}$$

Vi krever at $$ \overrightarrow{OP}·{\overrightarrow{v}}_m=0$$ er $$ {\overrightarrow{v}}_m$$ er en retningsvektor for $$ m$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl} \left[-4+2t,1+t,-2-2t\right]·\left[2,1,-2\right]& = & 0\\ \left(-4+2t\right)·2+\left(1+t\right)·1+\left(-2-2t\right)·\left(-2\right)& =& 0\\ -8+4t+1+t+4+4t& =& 0\\ 9t& =& 3\\ t& =& \frac{1}{3}\end{array}$$

Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}& = & \left[-4+2·\frac{1}{3},1+\frac{1}{3},-2 -2·\frac{1}{3}\right]=\left[-\frac{10}{3},\frac{4}{3},-\frac{8}{3}\right]\\ & & \\ \left|\overrightarrow{AP}\right|& =& \sqrt{{\left(-\frac{10}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{3}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{\frac{100}{9}+\frac{16}{9}+\frac{64}{9}}\\ & =& \sqrt{\frac{180}{9}}\\ & =& \sqrt{20}\\ & =& 2\sqrt{5}\end{array}$$

Avstanden fra origo til linja $$ m$$ er $$ 2\sqrt{5}$$.

Med hjelpemidler:

Her har vi gjenbrukt CAS-oppsettet fra oppgave a). Siden punktet er origo, trenger vi strengt tatt ikke lage oss en $$ \overrightarrow{OP}$$, men kan bruke $$ r\left(t\right)$$ direkte i beregningene i linje 4 og 5.

Uten hjelpemidler:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{BP} & =& \left[-4+2t-\left(-2\right),1+t-2,-2-2t-\left(-4\right)\right]\\ & =& \left[-2+2t,-1+t,2-2t\right]\end{array}$$

Vi krever at $$ \overrightarrow{BP}·{\overrightarrow{v}}_m=0$$ der $$ {\overrightarrow{v}}_m$$ er en retningsvektor for $$ m$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl} \left[-2+2t,-9+t,-2-2t\right]·\left[2,1,-2\right]& = & 0\\ \left(-2+2t\right)·2+\left(-1+t\right)·1+\left(2-2t\right)·\left(-2\right)& =& 0\\ -4+4t-1+t-4+4t& =& 0\\ 9t& =& 9\\ t& =& 1\end{array}$$

Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{BP}& = & \left[-2+2·1,-1+1,2 -2·1\right]=\left[0,0,0\right]\end{array}$$

Lengden av $$ \overrightarrow{0}$$ er 0. Avstanden mellom $$ B$$ og $$ m$$ er 0, som må bety at $$ B$$ ligger på linja $$ m$$.

Med hjelpemidler:

Uten hjelpemidler:

I $$ xy$$-planet er $$ z$$-koordinaten lik 0. Det betyr at

$$ \begin{array}{rcl}z & =& 0\\ -2-2t & =& 0\\ 2t & =& -2\\ t & =& -1\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom linja $$ m$$ og $$ xy$$-planet blir

$$ \left(-4+2·\left(-1\right),1+\left(-1\right),0\right)=\left(-6,0,0\right)$$

Det betyr at dette punktet også er skjæringspunkt mellom linja og $$ xz$$-planet siden $$ y$$-koordinaten også er 0. Det betyr videre at linja har skjæringspunktet $$ \left(-6,0,0\right)$$ med $$ x$$-aksen.

Med hjelpemidler:

I linje 6 bruker vi kommandoen "z" for å plukke ut $$ z$$-koordinaten til r(t) og setter den lik 0.

Uten hjelpemidler:

I $$ yz$$-planet er $$ x$$-koordinaten lik 0. Det betyr at

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 0\\ -4+2t & =& 0\\ 2t & =& 4\\ t & =& 2\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom linja $$ m$$ og $$ yz$$-planet blir

$$ \left(0,1+2,-2-2·2\right)=\left(0,3,-6\right)$$

Med hjelpemidler:

En generell vektor mellom $$ A$$ og et vilkårlig punkt $$ P$$ på $$ l$$ er

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP} & =& \left[1-2t-3,4+t-3,2-0\right]\\ & =& \left[-2-2t,t+1,2\right]\end{array}$$

For at lengden av $\overrightarrow{AP}$ skal bli så kort som mulig, skal $\overrightarrow{AP}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er $$ {\overrightarrow{v}}_l=\left[-2,1,0\right]$$.

Vi krever at $$ \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l=0$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl} \left[-2-2t,t+1,2\right]·\left[-2,1,0\right] & =& 0\\ \left(-2-2t\right)·\left(-2\right)+\left(t+1\right)·1+2·0 & =& 0\\ 4+4t+t+1 & =& 0\\ 5t & =& -5\\ t & =& -1\end{array}$$

Vi setter denne $t$-verdien inn i uttrykket for $\overrightarrow{AP}$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP} & =& \left[-2-2t,t+1,2\right]\\ & =& \left[-2-2·\left(-1\right),-1+1,2\right]\\ & =& \left[0,0,2\right]\end{array}$$

Siden $\overrightarrow{AP}$ bare har én koordinat som er forskjellig fra 0, får vi at $$ \left|\overrightarrow{AP}\right|=2$$.

Avstanden fra punktet $A$ til linja $$ l$$ er 2.

I $$ xz$$-planet er $$ y=0$$. Skjæringspunktet mellom linja og $$ xz$$-planet må derfor ha $$ y$$-koordinaten 0.

$$ \begin{array}{rcl}y & =& 0\\ 4+t & =& 0\\ t & =& -4\end{array}$$

Skjæringspunktet er

$$ \left(1-2·\left(-4\right),0,2\right)=\left(9,0,2\right)$$

I $$ xy$$-planet er $$ z=0$$. Siden $$ z$$-koordinaten i parameterframstillingen til linja $$ l$$ er konstant lik 2, har ikke linja noe skjæringspunkt med $$ xy$$-planet.

Når $$ z$$-koordinaten ikke inneholder parameteren, vil avstanden fra $$ xy$$-planet være konstant lik $$ z$$-koordinaten. Det betyr at linja er parallell med $$ xy$$-planet.

Ved å sette $$ t=-1$$ får vi punktet

$$ \left(1-2·\left(-1\right),4+\left(-1\right),2\right)=\left(3,3,2\right)$$

$$ A$$ har de samme koordinatene bortsett fra $$ z$$-koordinaten. Det betyr at avstanden mellom $$ A$$ og punktet er lik forskjellen i $$ z$$-koordinat, det vil si 2. Litt upresist kan vi si at punktet $$ A$$ ligger rett under punktet $$ \left(3,2,2\right)$$ på linja.

En generell vektor mellom $$ A$$ og et vilkårlig punkt $$ P$$ på $$ l$$ er

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP} & =& \left[2+t-1,3-t-2,s+2t-0\right]\\ & =& \left[t+1,-t+1,s+2t\right]\end{array}$$

For at lengden av $\overrightarrow{AP}$ skal bli så kort som mulig, skal $\overrightarrow{AP}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er $$ {\overrightarrow{v}}_l=\left[1,-1,2\right]$$.

Vi krever at $$ \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l=0$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{l}\left[t+1,-t+1,s+2t\right]\end{array}·\left[1,-1,2\right]& = & 0\\ \left(t+1\right)·1+\left(-t+1\right)·\left(-1\right)+\left(s+2t\right)·2& =& 0\\ t+1+t-1+2s+4t& =& 0\\ 6t& =& -2s\\ s& =& -3t\end{array}$$

Vi setter denne $$ s$$-verdien inn i uttrykket for $\overrightarrow{AP}$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP} & =& \left[t+1,-t+1,-3t+2t\right]\\ & =& \left[t+1,-t+1,-t\right]\end{array}$$

Lengden av denne vektoren skal være lik 3. Det gir

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AP}\right| & =& 3\\ \left|\left[t+1,-t+1,-t\right]\right| & =& 3\\ \sqrt{{\left(t+1\right)}^2+{\left(-t+1\right)}^2+{\left(-t\right)}^2} & =& 3\\ \sqrt{t^2+2t+1+t^2-2t+1+t^2} & =& 3\\ \sqrt{3t^2+2} & =& 3\\ 3t^2+2 & =& 9\\ 3t^2 & =& 7\\ t^2 & =& \frac{7}{3}\\ t & =& \sqrt{\frac{7}{3}} \vee t=-\sqrt{\frac{7}{3}}\\ t & =& \sqrt{\frac{3·7}{3·3}} \vee t=-\sqrt{\frac{3·7}{3·3}}\\ t & =& \frac{1}{3}\sqrt{21} \vee t=-\frac{1}{3}\sqrt{21}\end{array}$$

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}s & =& -3t\\ s & =& -3·\left(-\frac{1}{3}\sqrt{21}\right) \vee s=-3·\frac{1}{3}\sqrt{21}\\ s & =& \sqrt{21} \vee s=-\sqrt{21}\end{array}$$

Løsning med CAS: