Oppgave

Plan i rommet

Her kan du øve på grunnleggende oppgaver med plan i rommet. Løs oppgavene uten hjelpemidler om ikke annet er angitt.

4.2.40

Planet $α$ er gitt ved likningen $- x + 3 y + 2 z - 8 = 0$ .

a) Skriv opp en normalvektor $\vec{n}$ til planet $α$ .

Løsning

Vi leser av koeffisientene foran $x, y$ og $z$ i planlikningen. En normalvektor til planet $α$ er derfor

$\vec{n} = [- 1, 3, 2]$

b) Finn et punkt i planet.

Tips til oppgaven

Start med å velge en $x$ -koordinat og en $y$ -koordinat.

Løsning

Vi velger $x = 0$ og $y = 0$ . Når vi setter disse verdiene inn i planlikningen, får vi en likning for $z$ der løsningen er den $z$ -koordinaten til punktet $(0, 0, z)$ som er slik at punktet ligger i planet $α$ .

$\begin{array}{rcl} - 0 + 3 \cdot 0 + 2 z - 8 & = & 0 \\ 2 z & = & 8 \\ z & = & 4 \end{array}$

Punktet $(0, 0, 4)$ ligger i planet $α$ .

c) Vis at vektoren $\vec{p} = [0, - 1, \frac{3}{2}]$ er parallell med planet $α$ .

Løsning

Vi har at $\vec{p} ∥ α \Leftrightarrow \vec{p} ⊥ \vec{n}$ og videre at $\vec{p} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow \vec{p} \cdot \vec{n} = 0$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{p} \cdot \vec{n} & = & [0, - 1, \frac{3}{2}] \cdot [- 1, 3, 2] \\ = & 0 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot 2 \\ = & 0 - 3 + 3 \\ = & 0 \end{array}$

Vektoren $\vec{p} = [0, - 1, \frac{3}{2}]$ er dermed parallell med planet $α$ .

d) Vis at vektoren $\vec{m} = [3, - 9, - 6]$ er en normalvektor til planet $α$ .

Løsning

Vi kan vise dette ved å vise at $\vec{m} ∥ \vec{n}$ . Da må vi ha at

$\begin{array}{rcl} \vec{m} & = & k \cdot \vec{n} \\ [3, - 9, - 6] & = & k \cdot [- 1, 3, 2] \\ 3 & = & k \cdot (- 1), - 9 = k \cdot 3, - 6 = k \cdot 2 \\ k & = & - 3, k = - 3, k = - 3 \end{array}$

Vi får samme løsning for $k$ , derfor er $\vec{m} ∥ \vec{n}$ . Da er $\vec{m}$ en normalvektor til planet $α$ .

e) Adrian løste forrige oppgave på denne måten:

Dersom $\vec{m} = [3, - 9, - 6]$ er en normalvektor til planet $α$ , må vi ha at $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ . Det betyr at $\vec{m} \cdot \vec{p} = 0$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{m} \cdot \vec{p} & = & [3, - 9, - 6] \cdot [0, - 1, \frac{3}{2}] \\ = & 3 \cdot 0 - 9 \cdot (- 1) - 6 \cdot \frac{3}{2} \\ = & 0 + 9 - 9 \\ = & 0 \end{array}$

Vektoren $\vec{m} = [3, - 9, - 6]$ er dermed en normalvektor til planet $α$ .

Vurder framgangsmåten til Adrian.

Løsning

Det er riktig at dersom $\vec{m}$ er en normalvektor til planet $α$ , må vi ha at $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ siden $\vec{m}$ da må stå normalt på alle vektorer som er parallelle med planet $α$ . Matematisk kan vi skrive at

$\vec{m}$ er en normalvektor til planet $\Rightarrow \vec{m} ⊥ \vec{p}$ .

Problemet er at Adrian gjør det motsatte:

$\vec{m} ⊥ \vec{p} \Rightarrow$ $\vec{m}$ er en normalvektor til planet.

Han trekker den konklusjonen at dersom vektorene står vinkelrett på hverandre, må $\vec{m}$ være en normalvektor til planet. Det er ikke tilfelle, for det er ikke bare normalvektorer til et plan som står normalt på én bestemt vektor som er parallell med planet. Vi har derfor ikke ekvivalens mellom de to utsagnene. Vi kan derfor ikke si at en vektor er en normalvektor til et plan bare fordi den står normalt på en vektor som er parallell med planet.

f) Finn en ny likning for planet $α$ ved hjelp av $\vec{m}$ .

Løsning

Vi bruker koordinatene til $\vec{m}$ og punktet $(0, 2, 1)$ fra oppgave b), setter dette inn i den generelle planlikningen og skriver likningen så enkelt som mulig.

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 3 (x - 0) - 9 (y - 2) - 6 (z - 1) & = & 0 \\ 3 x - 9 y + 18 - 6 z + 6 & = & 0 \\ 3 x - 9 y - 6 z + 24 & = & 0 \\ x - 3 y - 2 z + 8 & = & 0 \end{array}$

g) Vis at dette er samme likning som den som er gitt øverst i oppgaven.

Løsning

Den opprinnelige planlikningen var $- x + 3 y + 2 z - 8 = 0$ . Vi ser at hvis vi multipliserer likningen med $- 1$ , endres koeffisienten foran $x$ til 1, som vi har i likningen i f). Vi prøver.

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y + 2 z - 8 & = & 0 \\ - 1 (- x + 3 y + 2 z - 8) & = & - 1 \cdot 0 \\ x - 3 y - 2 z + 8 & = & 0 \end{array}$

Vi ender opp med fasitsvaret i oppgave f), så de to likningene er samme likning.

4.2.41

a) Et plan har normalvektoren $\vec{n} = [2, - 1, 3]$ og går gjennom punktet $(- 1, 3, 1)$ .

Finn likningen for planet uten hjelpemidler.

Løsning

Vi bruker den generelle planlikningen

$a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) = 0$

der $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ er et punkt i planet og planet har normalvektor $\vec{n} = [a, b, c]$ . Likningen for planet blir

$\begin{array}{rcl} 2 (x - (- 1)) + (- 1) (y - 3) + 3 (z - 1) & = & 0 \\ 2 x + 2 - y + 3 + 3 z - 3 & = & 0 \\ 2 x - y + 3 z + 2 & = & 0 \end{array}$

Kontroller gjerne svaret ved å sette punktet inn i planlikningen.

b) Et plan har normalvektoren $\vec{n} = [5, 2, - 3]$ og går gjennom punktet $(2, - 4, 2)$ .

Finn likningen for planet uten hjelpemidler.

Løsning

Likningen for planet blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 5 (x - 2) + 2 (y - (- 4)) + (- 3) (z - 2) & = & 0 \\ 5 x - 10 + 2 y + 8 - 3 z + 6 & = & 0 \\ 5 x + 2 y - 3 z + 4 & = & 0 \end{array}$

Kontroller gjerne svaret ved å sette punktet inn i planlikningen.

c) Lag et program som finner likningen til et plan ut ifra et punkt i planet og en normalvektor til planet.

Løsning

En algoritme for programmet kan være følgende:

Skriv inn koordinatene til normalvektoren i ei liste kalt n.
Skriv inn koordinatene til punktet i ei liste kalt P.
Sett en variabel d lik ‑(n[0]*P[0]+n[1]*P[1]+n[2]*P[2]).
Lag en passende utskrift av planlikningen.

Programmet kan se slik ut:

python

1n = [2,-1,3]
2P = [-1,3,1]
3        # regner ut konstanten i planlikningen
4d = -(n[0]*P[0]+n[1]*P[1]+n[2]*P[2]) 
5
6print(f"Likningen for planet er {n[0]}x {n[1]:+}y {n[2]:+}z {d:+} = 0.")

Legg merke til at i utskriften har vi formatert med + tre steder. Dette gjør at fortegnet til variabelen blir skrevet ut uansett om det er pluss eller minus.

d) Ligger punktet $(0, - 2, 0)$ i planet i oppgave b)?

Løsning

Vi setter punktet inn i planlikningen.

$5 \cdot 0 + 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot 0 + 4 = - 4 + 4 = 0$

Punktet ligger i planet.

e) Punktet $A (- 5, 3, s)$ ligger i planet i oppgave b). Bestem $s$ .

Løsning

Vi setter punktet $A$ inn i likningen for planet. Vi får

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot (- 5) + 2 \cdot 3 - 3 \cdot s + 4 & = & 0 \\ - 25 + 6 - 3 s + 4 & = & 0 \\ - 3 s & = & 15 \\ s & = & - 5 \end{array}$

f) Løs oppgave b), d) og e) med GeoGebra.

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er n definert med koordinatene 5, 2 og minus 3. På linje 2 er P definert med koordinatene 2, minus 4 og 2. På linje 3 er alfa definert med kommandoen Normalplan med argumentene P og n. Svaret er alfa kolon er lik 5 x pluss 2 y minus 3 z er lik minus 4. På linje 4 er B definert med koordinatene 0, minus 2 og 0. På linje 5 er n multiplisert med B regnet ut til minus 4. På linje 6 er A definert med koordinatene minus 5, 3 og s. På linje 7 er n multiplisert med A satt lik minus 4. Svaret med Løs er s er lik minus 5. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Når vi skal sjekke om punktet $B$ ligger i et plan, setter vi vanligvis inn koordinatene til punktet inn i planlikningen. Dette kan vi gjøre ved å regne ut x(n)·x(B)+y(n)·y(B)+z(n)·z(B) og sjekke om det er lik $- 4$ . Vi har brukt kortformen av dette, som er n·B. Vi har gjort tilsvarende i linje 7.

g) Lag et program som tar utgangspunkt i likningen for planet $α$ og koordinatene til punktet $B$ , og som finner ut om punktet ligger i planet eller ikke.

Løsning

En algoritme for programmet kan være følgende:

Legg konstantene $a, b, c$ og $d$ fra planlikningen inn i lista plan.
Legg inn koordinatene til punktet i lista punkt.
Opprett en variabel d for utregningen av leddene $a x + b y + c z$ i planlikningen.
Hvis variabelen d har samme verdi som -plan[3]: Skriv til skjermen at punktet ligger i planet.
Hvis ikke: Skriv til skjermen at punktet ikke ligger i planet.

Programmet kan se slik ut:

python

1plan = [5,2,-3,4]
2punkt = [0,-2,0]
3
4d = plan[0]*punkt[0] + plan[1]*punkt[1] + plan[2]*punkt[2]
5        # Tester om d = -plan[3]
6if d == -plan[3]:
7  print("Punktet ligger i planet.")
8else:
9  print("Punktet ligger ikke i planet.")

4.2.42

Løs deloppgavene uten hjelpemidler dersom det ikke står noe annet.

a) Vi har gitt punktene $A (3, 0, 0), B (0, 4, 0)$ og $C (0, 0, 4)$ .

Finn en likning for planet $α$ gjennom de tre punktene.

Løsning

Vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ vil være en normalvektor for planet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [0 - 3, 4 - 0, 0 - 0] \\ = & [- 3, 4, 0] \\ \vec{A C} & = & [0 - 3, 0 - 0, 4 - 0] \\ = & [- 3, 0, 4] \end{array}$

Så må vi regne ut vektorproduktet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} & = & [- 3, 4, 0] \times [- 3, 0, 4] \\ = & [4 \cdot 4 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 3) - 4 \cdot (- 3), ((- 3) \cdot 0 - (- 3) \cdot 4)] \\ = & [16, 12, 12] \\ = & 4 [4, 3, 3] \end{array}$

Vi velger å bruke $[4, 3, 3]$ som normalvektorer for planet $α$ og $A (3, 0, 0)$ som et punkt i planet. Planlikningen for $α$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 4 (x - 3) + 3 (y - 0) + 3 (z - 0) & = & 0 \\ 4 x - 12 + 3 y + 3 z & = & 0 \\ 4 x + 3 y + 3 z - 12 & = & 0 \end{array}$

b) Finn en parameterframstilling for planet $α$ .

Løsning

Vi trenger et punkt i planet og to ikke-parallelle vektorer som er parallelle med planet. Vi bruker $A$ som et punkt i planet og vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ . Vi har at

$A = (3, 0, 0), \vec{A B} = [- 3, 4, 0], \vec{A C} = [- 3, 0, 4]$

Da blir en parameterframstilling for planet $α$

$α : {\begin{cases} x = 3 - 3 s - 3 t \\ y = 0 + 4 s + 0 t \\ z = 0 + 0 s + 4 t \end{cases} = {\begin{cases} x = 3 - 3 s - 3 t \\ y = 4 s \\ z = 4 t \end{cases}$

c) Sjekk om punktet $P (1, 1, 2)$ ligger i planet $α$ .

Løsning

Vi setter punktet inn i planlikningen.

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 12 = 4 + 3 + 6 - 12 = - 1$

Siden punktet $P$ ikke oppfyller planlikningen, ligger ikke $P$ i $α$ .

d) Vi har gitt punktet $Q (- 5, 2, t)$ der $t$ er en vilkårlig parameter. Bestem $t$ slik at $Q$ ligger i planet $α$ .

Løsning

Vi setter punktet inn i planlikningen. Vi får

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot (- 5) + 3 \cdot 2 + 3 \cdot t - 12 & = & 0 \\ - 20 + 6 + 3 t - 12 & = & 0 \\ 3 t & = & 26 \\ t & = & \frac{26}{3} \end{array}$

e) Et annet plan $β$ er parallelt med planet $α$ og går gjennom punktet $R (1, 2, 3)$ . Finn likningen og en parameterframstilling for planet $β$ .

Løsning

Planet $β$ må ha samme normalvektor som $α$ siden planene er parallelle. Da kan vi gå rett til den generelle planlikningen. Likningen for $β$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 4 (x - 1) + 3 (y - 2) + 3 (z - 3) & = & 0 \\ 4 x - 4 + 3 y - 6 + 3 z - 9 & = & 0 \\ 4 x + 3 y + 3 z - 19 & = & 0 \end{array}$

For å finne en parameterframstilling for planet, bruker vi $R$ som et punkt i planet. Vi kan bruke vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ siden planene $α$ og $β$ er parallelle. Vi har at

$R = (1, 2, 3), \vec{A B} = [- 3, 4, 0], \vec{A C} = [- 3, 0, 4]$

Da blir en parameterframstilling for planet $α$

$α : {\begin{cases} x = 1 - 3 s - 3 t \\ y = 2 + 4 s + 0 t \\ z = 3 + 0 s + 4 t \end{cases} = {\begin{cases} x = 1 - 3 s - 3 t \\ y = 2 + 4 s \\ z = 3 + 4 t \end{cases}$

f) Løs alle deloppgavene med GeoGebra.

Løsning

Vi løser oppgavene med CAS.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatene 3, 0 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatene 0, 4 og 0. På linje 3 er C definert med koordinatene 0, 0 og 4. På linje 4 er alfa definert med kommandoen Plan med argumentene A, B og C. Svaret er alfa kolon 16 x pluss 12 y pluss 12 z er lik 48. På linje 5 er r alfa av s og t definert som A pluss s multiplisert med Vektor av A og B pluss t multiplisert med Vektor av A og C. Svaret er r alfa av s og t kolon er lik koordinatene 3 minus 3 s minus 3 t, 4 s og 4 t. På linje 6 er P definert med koordinatene 1, 1 og 2. På linje 7 er n definert som Normalvektor av alfa. På linje 8 er n multiplisert med P regnet ut til 52. På linje 9 er Q definert med koordinatene minus 5, 2 og t. På linje 10 er n multiplisert med Q satt lik 48. Svaret med Løs er t er lik 26 tredjedeler. På linje 11 er R definert med koordinatene 1, 2 og 3. På linje 12 er beta definert som Normalplan av R og n. Svaret er beta kolon er lik 4 x pluss 3 y pluss 3 z er lik 19. På linje 13 er r beta av s og t definert som R pluss s multiplisert med Vektor av A og B pluss t multiplisert med Vektor av A og C. Svaret er r beta av s og t kolon er lik koordinatene 1 minus 3 s minus 3 t, 2 pluss 4 s og 3 pluss 4 t. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

4.2.43

a) Vi ønsker å finne likningen for $x y$ -planet. Bruk den vanlige framgangsmåten med å bruke et punkt i planet og en normalvektor til planet til å løse oppgaven.

Løsning

Vi trenger et punkt i $x y$ -planet, og da er origo enklest. En normalvektor til planet er ${\vec{e}}_{z} = [0, 0, 1]$ . Vi setter dette inn i den generelle planlikningen og får

$\begin{array}{rcl} 0 \cdot (x - 0) + 0 (y - 0) + 1 (z - 0) & = & 0 \\ z & = & 0 \end{array}$

b) Prøv å resonnere deg fram til likningen for $x y$ -planet uten å regne.

Løsning

Det vi vet om alle punkter i $x y$ -planet, er at $z$ -koordinaten er null. Vi kan fritt velge $x$ - og $y$ -koordinatene, men må kreve at $z = 0$ . Det er det eneste kravet til et punkt i $x y$ -planet. Derfor er likningen for $x y$ -planet $z = 0$ .

c) Finn likningene for de to andre koordinatplanene.

Løsning

Vi velger den alternative løsningsmetoden fra forrige deloppgave. Det vi vet om punkter i $x z$ -planet, er at $y$ -koordinaten er null. Derfor er likningen for $x z$ -planet $y = 0$ . Ved tilsvarende argumentasjon får vi at likningen for $y z$ -planet er $x = 0$ .

4.2.44

a) Et plan $α$ går gjennom de tre punktene $A (3, 1, 0), B (0, 4, 2)$ og $C (1, 0, 4)$ . Finn likningen til planet uten hjelpemidler først og med hjelpemidler etterpå.

Løsning

Vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ vil være en normalvektor for planet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [0 - 3, 4 - 1, 2 - 0] \\ = & [- 3, 3, 2] \\ \vec{A C} & = & [1 - 3, 0 - 1, 4 - 0] \\ = & [- 2, - 1, 4] \end{array}$

Så må vi regne ut vektorproduktet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} & = & [- 3, 3, 2] \times [- 2, - 1, 4] \\ = & [3 \cdot 4 - (- 1) \cdot 2, 2 \cdot (- 2) - 4 \cdot (- 3), ((- 3) \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 3)] \\ = & [14, 8, 9] \end{array}$

Vi velger å bruke $A (3, 1, 0)$ som et punkt i planet. Planlikningen for $α$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 14 (x - 3) + 8 (y - 1) + 9 (z - 0) & = & 0 \\ 14 x - 42 + 8 y - 8 + 9 z & = & 0 \\ 14 x + 8 y + 9 z - 50 & = & 0 \end{array}$

Med CAS i GeoGebra blir det samme resultat.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatene 3, 1 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatene 0, 4 og 2. På linje 3 er C definert med koordinatene 1, 0 og 4. På linje 4 er alfa definert med kommandoen Plan med argumentene A, B og C. Svaret er alfa kolon 14 x pluss 8 y pluss 9 z er lik 50. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) Et annet plan $β$ er parallelt med planet $α$ og går gjennom punktet $Q (- 1, 1, 0)$ . Finn likningen for planet $β$ .

Løsning

Planet $β$ må ha samme normalvektor som $α$ siden planene er parallelle. Da kan vi gå rett til den generelle planlikningen. Likningen for $β$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 14 (x - (- 1)) + 8 (y - 1) + 9 (z - 0) & = & 0 \\ 14 x + 14 + 8 y - 8 + 9 z & = & 0 \\ 14 x + 8 y + 9 z + 6 & = & 0 \end{array}$

4.2.45

Et plan $α$ er gitt ved parameterframstillingen

$α : {\begin{cases} x = - 1 - 2 s + t \\ y = 3 - 3 s + 2 t \\ z = 1 + 2 s - 2 t \end{cases}$

Finn likningen for planet uten hjelpemidler.

Løsning

Vi finner enklest et punkt i planet ved å sette $s = t = 0$ . Dette gir punktet $A (- 1, 3, 1)$ . Vi leser av én vektor i planet med koeffisientene foran $s$ og en annen med koeffisientene foran $t$ . Dette gir vektorene

$\vec{a} = [- 2, - 3, 2], \vec{b} = [1, 2, - 2]$

En normalvektor til planet blir derfor

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & [- 3 \cdot (- 2) - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - (- 2) \cdot (- 2), - 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 3)] \\ = & [6 - 4, 2 - 4, - 4 + 3] \\ = & [2, - 2, - 1] \end{array}$

Da har vi alt vi trenger for å kunne bruke den generelle planlikningen til å komme fram til likningen for $α$ , som blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 2 (x - (- 1)) - 2 (y - 3) - 1 (z - 1) & = & 0 \\ 2 x + 2 - 2 y + 6 - z + 1 & = & 0 \\ 2 x - 2 y - z + 9 & = & 0 \end{array}$

4.2.40

4.2.41

4.2.42

4.2.43

4.2.44

4.2.45

Regler for bruk av teksten "Plan i rommet"