Andre matematiske bevis

I tidligere matematikkundervisning har du kanskje lært at i en rettvinklet trekant der vinklene er $$ 90°, 60°$$ og $$ 30°$$, vil hypotenusen være dobbelt så lang som den korteste kateten. Her skal vi bevise denne setningen gjennom et geometrisk bevis der vi bruker figuren som støtte.

Vi har gitt en trekant $$ ABC$$ der $$ \angle A=30°, \angle B=90°$$ og $$ \angle C=60°$$. Påstanden vi skal bevise, er at i en slik trekant er $$ AC=2BC$$.

Fra hjørnet $$ B$$ til motstående side trekker vi ei linje til punktet $$ D$$ slik at $$ \angle CBD=60°$$.

Siden to av vinklene i $$ △BCD$$ er $$ 60°$$, har vi også at den siste vinkelen er $$ 60°$$. En trekant der alle vinklene er $$ 60°$$, er likesidet. Det betyr at $$ CD=BD=BC$$.

Vi har at $$ \angle DBA = \angle CBA-\angle CBD = 90°-60°=30°$$. Dette gir at $$ △ABD$$ er en likebeint trekant siden to av vinklene er like store. Det betyr at vi har $$ AD=BD$$, som igjen betyr at vi har $$ AD=BC$$.

Vi har til slutt at $$ AC=AD+DC=BC+BC=2BC$$, som var det vi skulle vise.

I fagartikkelen "Utforsking av grenseverdier" i R1 er det kort beskrevet hvordan matematikere bruker de to greske bokstavene epsilon ($$ \epsilon $$) og delta ($$ \delta $$) i for å definere grenseverdier. Her skal vi se litt nærmere på denne metoden. Slike bevis vil du møte i høyere utdanning dersom du velger å studere matematikk videre. I R2 er et av kompetansemålene at du skal kunne "analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis". Et epsilon-delta-bevis er utenfor det vi forventer at du skal kunne føre selv, men å kunne analysere, forstå og forklare de bærende idéene i et slikt bevis er nyttig.

Vi ser på et eksempel først.

Vi skal vise at

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\left(3x+4\right)=10$$

Den intuitive definisjonen av denne grenseverdien er at hvis vi kan få verdien av uttrykket $$ 3x+4$$ så nærme 10 vi ønsker dersom vi lar $$ x$$ være nær nok til 2, er grenseverdien til uttrykket 10. (Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at vi kan få uttrykket til å bli nøyaktig 10 dersom vi setter inn nøyaktig 2 for $$ x$$. Det er det som skjer med uttrykket når vi lar $$ x$$ nærme seg 2 vi er ute etter her.)

Vi kan formulere dette på følgende måte: Dersom vi gjør avstanden mellom $$ x$$ og 2, det vil si uttrykket $$ \left|x-2\right|$$, tilstrekkelig liten, vil forskjellen mellom $$ 3x+4$$ og 10, det vil si uttrykket $$ \left|3x+4-10\right|$$, bli så liten vi ønsker. Med en enda mer matematisk notasjon får vi dette:

Dersom det for ethvert tall $$ \epsilon >0$$ finnes et tall $$ \delta >0$$ slik at $$ $ \left|3x+4-10\right|$<\epsilon $$ og $$ \left|x-2\right|<$ \delta $$$, er $$ $ \underset{x\to 2}{\lim }\left(3x+4\right)=10$$$.

Vi vet ut fra det vi kan fra før om grenseverdier, at grenseverdien er 10. Så hvordan kan vi finne $$ \epsilon $$ og $$ $ \delta $$$ slik at vi kan bevise det?

Vi starter med å se på hva som skal til for at $$ $ \left|3x+4-10\right|$<\epsilon $$:

$$ $ \begin{array}{rcl}\left|3x+4-10\right| & <& \epsilon \\ \left|3x-6\right|& < & \epsilon \\ 3\left|x-2\right|& <& \epsilon \\ \left|x-2\right|& <& \frac{\epsilon }{3}\\ & & \end{array}$$$

Vi ser nå at dersom $$ $ \left|3x+4-10\right|$<\epsilon $$, er $$ $ \left|x-2\right|<$ \frac{\epsilon }{3}$$$$. Kravet var at vi skulle kunne finne en $$ $ $ \delta $$$$ slik at $$ $ \left|x-2\right|<$ \delta $$$$ for alle $$ $ \epsilon $$$. Det betyr at vi kan sette $$ $ $ \delta $$=\frac{$ \epsilon $}{3}$$, og så har vi det vi trenger. Legg merke til at vi her kan gjøre $$ \epsilon $$ så liten vi bare vil, for siden $$ $ $ \delta $$$$ er avhengig av $$ $ \epsilon $$$, kan vi alltid finne en $$ $ \delta $$$ slik at betingelsen er oppfylt.

Vi skal bruke et epsilon-delta-bevis for å bevise den første grenseverdisetningen:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a}{\lim } \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)& =& \underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\lim } g\left(x\right)\end{array}$$

Vi setter

$$ $ \begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)=b\end{array}$$$ og $$ $ \begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim } g\left(x\right)\end{array}=c$$$

Vi skal vise at dette innebærer at

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a}{\lim } \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)& =& b+c\end{array}$$$

Dette kan vi gjøre ved å vise at det alltid finnes en $$ \epsilon >0$$ og en $$ \delta >0$$ slik at $$ $ \left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-(b+c)\right|$<\epsilon $$ og $$ \left|x-a\right|<$ \delta $$$.

Siden grenseverdiene til $$ f\left(x\right)$$ og $$ g\left(x\right)$$ er oppgitt til $$ b$$ og $$ c$$, vet vi at det finnes en $$ {\epsilon }_1>0$$ og en $$ {\delta }_1>0$$ slik at $$ $ \left|f\left(x\right)-b\right|$<{\epsilon }_1$$ og $$ \left|x-a\right|<{$ \delta $}_1$$, og at det finnes en $$ {\epsilon }_2>0$$ og en $$ {\delta }_2>0$$ slik at $$ $ \left|g\left(x\right)-c\right|$<{\epsilon }_2$$ og $$ \left|x-a\right|<{$ \delta $}_2$$.

Dette medfører at

$$ \begin{array}{ccc}2·\left|x-a\right|& <& {$ {$ \delta $}_1+\delta $}_2\\ \left|x-a\right|& <& \frac{{$ {$ \delta $}_1+\delta $}_2}{2}\end{array}$$

og at

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}\left|f\left(x\right)-b\right|+$ $ \left|g\left(x\right)-c\right|$$& <& {\epsilon }_1+{\epsilon }_2\\ \left|f\left(x\right)-b+g\left(x\right)-c\right|& <& {\epsilon }_1+{\epsilon }_2\\ \begin{array}{c}\left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-\left(c+b\right)\right|\end{array}& <& {\epsilon }_1+{\epsilon }_2\end{array}\begin{array}{}\\ \end{array} \\ \end{gathered}$$

(Overgangen mellom linje 2 og 3 skal du vise i en oppgave.)

Hvis vi nå setter $$ \delta =\frac{{\delta }_1+{\delta }_2}{2}$$ og $$ $ $ $ \epsilon ={\epsilon }_1$+{\epsilon }_2$$$$, er beviset fullført.