Konvergens og divergens i uendelige geometriske rekker
Sum av uendelige geometriske rekker
På figuren ser du et stort kvadrat med sidelengder lik 2 og areal lik 4. Det store blå rektanglet, som vi kaller , er halvparten av kvadratet og har dermed arealet 2.
Det røde kvadratet, som vi kaller
Hvor stort er arealet av
Løsning
Vi ser at hver figur er halvparten så stor som den forrige, så vi har at
Hvis vi legger sammen arealene til de fargede firkantene, får vi summen av ei endelig geometrisk rekke, der
Men hva skjer hvis vi fortsetter å legge til halvparten av det som står igjen av kvadratet? Summen av de 10 første leddene i rekka er
Summen av de 30 første leddene i rekka er
Hvis vi regner ut summen av de 100 første leddene, får vi
Det skal ikke så mange ledd til før summen blir tilnærmet lik tallet 4. Det er begrenset hvor mange sifre vi kan ta med i svaret, derfor får vi svaret avrundet til 4 når vi får mange nok ledd.
Uansett hvor mange ledd vi tar med, vil aldri summen overstige tallet 4. Prøv selv, og tenk over hvorfor det må være sånn.
Forklaring
Vi legger hele tida til halvparten av det som er igjen av kvadratet. Det betyr at summen aldri kan bli høyere enn arealet til kvadratet, som er 4.
Vi kan forklare dette matematisk ved å se på grenseverdien til uttrykket for summen av den endelige geometrisk rekka:
Når
Konvergens og divergens
I eksemplet over ser vi at summen til den uendelige geometriske rekka nærmer seg en bestemt verdi når
La oss se på hva som skjer med summen av ei geometrisk rekke der
Hva skjer med grenseverdien til
Forklaring
Vi ser at leddet
Det virker altså som at det er verdien av
Vi legger merke til at det bare er leddet
Hvilke verdier tror du er de kritiske verdiene for
Forklaring
Vi vet fra potensregningen at
Tilfeller der den geometriske rekka divergerer
Vi begynner med å se på alle de tilfellene der summen til den uendelige geometriske rekka ikke går mot noen bestemt verdi, altså at den divergerer. Vi viser at grenseverdien
Når 𝙠 = –1
Vi setter inn
Summen vil bli
Når 𝙠 < –1 eller 𝙠 > 1
Vi ser på hva som skjer med grenseverdien til summen når vi lar
Når
Når
Når 𝙠 = 1
Når
Dette betyr at dersom
Tilfeller der den geometriske rekka konvergerer
Vi har nå ett område igjen å undersøke. Vi ser på grenseverdien til summen av den geometriske rekka dersom
Rekka går altså mot en bestemt sum og er derfor konvergent. Vi kan nå formulere en setning som oppsummerer:
Ei uendelig geometrisk rekke der
Geometriske rekker med variable kvotienter
Til nå har vi bare jobbet med geometriske rekker der kvotienten er et gitt tall. I den uendelige geometriske rekka
er kvotienten
Dobbeltulikheten kan løses som to enkle ulikheter:
Løsning av ulikhetene
Venstre ulikhet:
Vi har to kritiske punkter, der hvor telleren er null,
og der hvor nevneren er null:
Vi tester for
Vi får løsningen
Høyre ulikhet:
Som for den venstre ulikheten begynner vi med å finne de to kritiske punktene:
Vi tester for
Vi får løsningen
Ønsker du ytterligere oversikt over løsningene, kan du tegne fortegnsskjema.
Den venstre ulikheten gir at
Den høyre ulikheten gir at
Rekka konvergerer i det intervallet som oppfyller begge disse ulikhetene samtidig. For å få oversikt kan vi tegne en figur:
Det betyr at rekka konvergerer når
Disse verdiene kalles konvergensområdet til rekka.
Vi kan nå finne summen av rekka ved hjelp av formelen for sum av konvergerende geometriske rekker:
Summen er en funksjon av