Hopp til innhold

Oppgaver og aktiviteter

Aritmetiske og geometriske rekker

Her kan du jobbe med oppgaver om aritmetiske og geometriske rekker.

1.1.30

På teorisiden utledet vi formelen for summen av de n første leddene i ei aritmetisk rekke ved å se på S5, og skrev: "Resonnementet ovenfor gjelder om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5."

Utled formelen for Sn direkte, uten å sette inn et bestemt tall.

Løsning

Vi skriver summen av rekka på to måter:

Sn = a1+a2+...+an-1+anSn = an+an-1+...+a2+a1

Vi legger sammen de to venstresidene og de to høyresidene:

Sn+Sn  = a1+a2+...+an-1+an+an+an-1+...+a2+a12Sn = a1+an+a2+an-1+...+an-1+a2+an+a1

Vi observerer at summen inne i alle parentesene er den samme, altså at vi har

a1+an+a2+an-1+...+an-1+a2+an+a1=na1+an

Dette betyr at vi kan utlede formelen ferdig slik:

2Sn = na1+anSn = n·a1+an2

1.1.31

Utled formelen for sum av geometrisk rekke på samme måte som vi utledet formelen for sum av aritmetisk rekke.

Løsning

Sn = a1+a2+a3+...+an-1+an= a1+a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1

Vi multipliserer hver side av likhetstegnet med k:

k·Sn = k·a1+a2+a3+...+an-1+an= k·a1+a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1= a1· k+a1·k2++...a1·kn-2+a1·kn-1+a1·kn

Vi finner så differansen  k·Sn-Sn:

k·Sn-Sn =           a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1+a1·kn-(a1+a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1)=            a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1+a1·kn-a1-a1·k-a1·k2-...-a1·kn-2-a1·kn-1Dette gir videre

k·Sn-Sn = a1·kn-a1sn(k-1) = a1(kn-1)Sn = a1·kn-1k-1

1.1.32

Vi har gitt ei aritmetisk rekke der  a1=1  og  d=6.

a) Finn en eksplisitt formel for an.

Løsning

Vi bruker den generelle formelen for an i ei aritmetisk rekke:

an = a1+d(n-1)= 1+6(n-1)= 1+6n-6= 6n-5

b) Finn summen av de 100 første leddene ved hjelp av CAS.

Løsning
Utsnitt av CAS i GeoGebra. Linje 1 finner summen av rekka gitt ved 6 n minus 5 fra n lik 1 til 100. Svaret er 29800. Skjermutklipp.

c) Finn et uttrykk for summen av de n første leddene i rekka.

Løsning

Vi løser for hånd:

Sn = n·a1+an2= n·1+6n-52= n· 6n-42= n·(3n-2)= 3n2-2n

Vi kan også bruke GeoGebra:

Utsnitt av CAS i GeoGebra. Vi finner summen av rekka gitt ved 6 n minus 5 fra n lik 1 til n. Svaret er 3 n opphøyd i 2 minus 2 n. Skjermutklipp.

d) Finn summen av de 100 første leddene i rekka ved hjelp av uttrykket du fant i c), uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Vi setter inn 100 for n:

S100 = 3·1002-2·100= 3·10 000-200= 30 000-200= 29 800

1.1.33

Vi har gitt rekka  2+4+8 +...

a) Forklar at dette er ei geometrisk rekke.

Løsning

Vi har at hvert ledd er dobbelt så stort som det forrige, altså er  an=an-1·2. Det betyr at vi har ei geometrisk rekke der  a1=2  og  k=2.

b) Finn en eksplisitt formel for ledd nummer n i rekka.

Løsning

an = a1·kn-1= 2·2n-1= 2n

c) Undersøk om tallene 128 og 192 er ledd i rekka.

Løsning

Vi må undersøke om vi får heltallig n dersom vi setter formelen for an lik 128 og 192. Siden  an=2n, må vi undersøke om tallene er en toerpotens:

128 = 2·64= 2·2·32= 2·2·2·16= 2·2·2·2·8= 2·2·2·2·2·4= 2·2·2·2·2·2·2= 27

192 = 2·96= 2·2·48= 2·2·2·24= 2·2·2·2·12= 2·2·2·2·2·6= 2·2·2·2·2·2·3= 26·3

Vi ser her at 128 er et ledd i rekka, mens 192 ikke er det.

d) Finn en formel for summen av de n første leddene i rekka.

Løsning

Vi bruker formelen for sum av geometrisk rekke:

Sn = a1·kn-1k-1= 2·2n-12-1= 2(2n-1)= 2n+1-2

e) Finn ut hva n må være hvis  Sn=126.

Løsning

Sn = 1262n+1-2 = 1262n+1 = 1282·2n = 1282n = 642n = 26n = 6

1.1.34

Vi har gitt ei geometrisk rekke med kvotient  k=4  og  a3=4.

a) Finn et uttrykk for ledd nummer n i rekka.

Løsning

Vi må først finne a1:

a3 = a1·k24 = a1·42a1 = 442a1 = 14

Så finner vi formelen for an:

an = a1·kn-1= 14·4n-1= 4-1·4n-1= 4n-2

b) Finn summen av de 100 første leddene i rekka.

Løsning

Vi bruker CAS:

Utsnitt fra CAS i GeoGebra. Linje 1 finner summen av rekka gitt ved 4 opphøyd i parentes n minus 2 parents slutt fra 1 til 100. Svaret er gitt som tilnærmet lik 1,339 multiplisert med 10 opphøyd i 59. Skjermutklipp.

c) Finn summen av de n første leddene i rekka digitalt og for hånd.

Løsning

Vi løser først digitalt, i CAS:

CAS i GeoGebra. Linje 1 finner summen av rekka gitt ved 4 opphøyd i parentes n minus 2 parentes slutt fra 1 til n. Svaret er gitt ved 1 tolvdel multiplisert med 4 opphøyd i n minus 1 tolvdel. Skjermutklipp.

Deretter løser vi for hånd:

Sn = a1·kn-1k-1= 14·4n-14-1= 14·4n-13= 112·4n-1



1.1.35

Vi har gitt rekka  3-4+163-649 +...

a) Forklar at dette er ei geometrisk rekke og finn kvotienten k.

Løsning

Vi deler hvert ledd på det foregående:

a4a3 = -649:163=-64·39·16=-43a3a2 = 163:-4=-163·4=-43a2a1  = (-4)3=-43

Vi ser at forholdet er konstant, og vi har at  k=-43.

b) Finn eksplisitte formler for an og Sn.

Løsning

an = a1·kn-1= 3·-43n-1

Sn = a1·kn-1k-1= 3·-43n-1-43-1= 3·-43n-1-73= 3·-37·-43n-1= -97·-43n-1

1.1.36

a) Vi har ei aritmetisk rekke der  S10 = 230  og  a1=5. Finn en eksplisitt formel for an.

Løsning

Vi bruker formelen for sum av aritmetisk rekke og finner a10:

S10 = 10·a1+a102230 = 10·5+a1022305 = 5+a10a10 = 46-5a10 = 41

Så bruker vi den generelle formelen for an i ei aritmetisk rekke og finner d:

a10 = a1+9d41 = 5 + 9d9d = 36d = 4

Dette gir

an = a1 + d(n-1)= 5+4(n-1)= 5+4n-4= 4n+1

b) Vi har ei aritmetisk rekke der  S5=135  og  d=8. Finn en eksplisitt formel for an.

Løsning

Vi begynner med å uttrykke a5 ved a1:

a5 = a1 + 4d= a1+4·8= a1 +32

Så bruker vi formelen for sum av aritmetisk rekke:

S5 = 5·a1+a52135 = 5·a1+a1+32227 = 2a1+32227 = a1+16a1 = 27-16=11

Vi får følgende formel for an:

an = a1+d(n-1)= 11+8(n-1== 8n+3

c) Vi har ei geometrisk rekke med  S6=634  og  k=2. Finn en eksplisitt formel for an.

Løsning

Vi bruker formelen for sum av geometrisk rekke og finner a1:

S6 = a1·k6-1k-1634 = a1·26-12-1634 = 63a1a1 = 14

Vi finner den eksplisitte formelen:

an = 14·2n-1= 2-2·2n-1= 2n-3

1.1.37

Vi har gitt rekka  3+7+11+15 +...

a) Forklar hva slags rekke vi har her.

Løsning

Vi har her ei aritmetisk rekke fordi differansen mellom hvert ledd er lik.

15-11 = 411-7 = 47-3 = 4

b) Finn en eksplisitt formel for ledd nummer n i rekka.

Løsning

Vi har at  a1=3  og at  d=4. Vi får da

an = a1+d(n-1)= 3+4(n-1)= 3+4n-4= 4n-1

c) Vis for hånd at 79 er tall nummer 20 i rekka.

Løsning

Vi setter den eksplisitte formelen for an lik 79:

4n-1 = 794n = 80n = 804n = 20

d) Finn n slik at summen  Sn=78. Gjør dette for hånd, i CAS og ved hjelp av programmering.

Løsning

For hånd:

Vi finner et generelt uttrykk for Sn og setter dette lik 78:

Sn = n·a1+an2= n·3+4n-12= n·4n+22= n(2n+1)= 2n2+nSn = 782n2+n = 782n2+n-78 = 0n = -1±12-4·2·782·2= -1±1+6244= -1±254

n=-1-254=-264=-6,5    n=-1+254=244=6

Vi må ha hele, positive løsninger, så dermed er  n=6  når summen er 78.

I CAS:

Utklipp fra CAS i GeoGebra. Linje 1 løser likningen summen av 4 n minus 1 fra n lik 1 til n er lik 78. Svaret er gitt som n lik minus 13 delt på 2 og n lik 6. Skjermutklipp.

I Python:

python

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4sum = 3
5
6while sum != 78:
7    a_n = a_n + d
8    sum = sum + a_n
9    n = n+1
10
11print(f"Summen er lik 78 når n er lik {n}.")

e) Modifiser programmet du lagde i d). Bruk det til å finne ut om tallene 79, 97, 171, 779, 997, 1 711, 7 799 og 9 870 er ledd i rekka, og hvilke nummer i rekka de i så fall er. Her kan det være lurt å først tenke nøye gjennom hva du må endre og legge til i programmet før du begynner å programmere.

Løsning

Vi har her valgt å bygge videre på det programmet vi har lagd som legger alle leddene i rekka inn i ei liste Så sjekker vi om våre tall ligger i den lista. Vi skal både undersøke om tallet er et ledd i rekka, og i så fall hvilket nummer det er. Vi legger tallene vi skal sjekke, i ei egen liste. Først finner vi alle tallene som er ledd i rekka, og skriver ut dem, så skriver vi ut de tallene som ikke er ledd i rekka.

python

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4Leddene = [3]
5Tallene = [79,97,171,779,997,1711,7799,9870]
6
7while a_n < 10000:
8    a_n = a_n + d
9    Leddene.append(a_n)
10
11for i in range(len(Leddene)):
12    if Leddene[i] in Tallene:
13        print(f"{Leddene[i]} er tall nummer {i+1} i rekka.")
14
15for i in range (len(Tallene)):
16    if Tallene[i] not in Leddene:
17        print(f"{Tallene[i]} er ikke et tall i rekka.")

Husk at dette er én måte å gjøre det på. Gjorde du det på en annen måte? Hvis det virket, er det supert! Man kan for eksempel velge å undersøke om den eksplisitte formelen for an gir heltallige n.

f) Utvid programmet og bruk det til å finne ut om Sn kan være lik 79, 97, 171, 779, 997, 1711, 7799 og 9870, og finn ut hvor mange ledd du i så fall må ha i rekka for å få disse summene.

Løsning

Her utvider vi programmet fra den forrige oppgaven og lager ei egen liste med summene. Så undersøker vi dem på samme måte.

python

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4sum = 3
5Leddene = [3]
6Tallene = [79,97,171,779,997,1711,7799,9870]
7Summene = [3]
8
9while a_n < 10000:
10    a_n = a_n + d
11    Leddene.append(a_n)
12    sum = sum + a_n
13    Summene.append(sum)
14
15for i in range(len(Leddene)):
16    if Leddene[i] in Tallene:
17        print(f"{Leddene[i]} er tall nummer {i+1} i rekka.")
18
19for i in range (len(Tallene)):
20    if Tallene[i] not in Leddene:
21        print(f"{Tallene[i]} er ikke et tall i rekka.")
22
23for i in range(len(Leddene)):
24     if Summene[i] in Tallene:
25        print(f"Summen er {Summene[i]} hvis det er {i+1} ledd i rekka.")
26        
27for i in range (len(Tallene)):
28    if Tallene[i] not in Summene:
29        print(f"Summen kan ikke bli {Tallene[i]}.")

Igjen: Gjorde du det på en annen måte? Kanskje mer effektivt? Så bra!

1.1.38

Ei geometrisk rekke er gitt ved  a1=6  og  k=3.

a) Lag et program som skriver ut de 50 første leddene og summene i rekka.

Løsning

Vi må først finne den eksplisitte formelen for rekka:

an = a1·kn-1= 6·3n-1

Så kan vi lage følgende program:

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 0
4Leddene = ["a_n"]
5Summene = ["S_n"]
6
7for n in range(1,51):
8    antall = antall+1
9    a_n = 6*3**(n-1)
10    Sum = Sum + a_n
11    Leddene.append(a_n)
12    Summene.append(Sum)
13
14for i in range(0,51):
15        print(f"{Leddene[i]:<27}{Summene[i]:<27}")

Koden i linje 15 er for å få fine kolonner. Du kan velge å erstatte linjene 14 og 15 med print(Leddene) og print(Summene) hvis du ikke trenger en pen utskrift.

b) Modifiser programmet slik at en bruker kan undersøke om et gitt tall kan være et ledd i rekka eller en sum av rekka.

Løsning

Her må vi først hente inn tallet brukeren vil undersøke. Så må vi gå gjennom listene våre, sjekke om tallet er i noen av dem og skrive ut resultatet.

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 0
4Leddene = ["a_n"]
5Summene = ["S_n"]
6
7for n in range(1,51):
8    antall = antall+1
9    a_n = 6*3**(n-1)
10    Sum = Sum + a_n
11    Leddene.append(a_n)
12    Summene.append(Sum)
13 
14tallet = int(input("Hvilket tall vil du sjekke?"))
15
16for i in range(len(Leddene)):
17    if tallet == Leddene[i]:
18        print(f"{tallet} er ledd nummer {i} i rekka.")
19    if tallet == Summene[i]:
20        print(f"{tallet} er summen av de {i} første leddene i rekka.")
21
22if tallet not in Leddene:
23    print(f"{tallet} er ikke et ledd i rekka.")
24if tallet not in Summene:
25    print(f"{tallet} kan ikke være en sum av denne rekka.")

1.1.39

I ei rekke er  a5=8  og  a8=64.

a) Forklar at denne rekka kan være både aritmetisk og geometrisk.

Løsning

Når vi bare kjenner to ledd i rekka, vet vi ikke nok om mønsteret til å si sikkert hva slags rekke vi har med å gjøre.

Det kan være ei aritmetisk rekke, da finner vi differansen slik:

a8 = a5+3d64 = 8 +3d56 = 3dd = 563

Eller det kan være en geometrisk følge, da finner vi kvotienten slik:

a8 = a5·k364 = 8·k3k = 6483=2

b) Finn en eksplisitt formel for an i begge tilfeller.

Løsning

Hvis det er ei aritmetisk rekke:

a1  =  a5-4d= 8-4·563= 243-2243= -2003

an = a1 + d(n-1)= -2003+563(n-1)= -2003+563n-563= 563n-2563= 1356n-256

Hvis det er ei geometrisk rekke:

a5 = a1·k48 = a1·24a1 = 816=12

an = a1·kn-1= 12·2n-1= 2n-2

c) Bestem n når  Sn=511,5  i den geometriske rekka. Finn den tilsvarende Sn i den aritmetiske rekka.

Løsning

Vi finner først en formel for Sn:

Sn = a1·kn-1k-1= 12·2n-12-1=12·2n-1

Så setter vi uttrykket lik 551,5:

12(2n-1) = 511,52n-1 = 10232n = 10242n = 210n = 10

Vi finner S10 i den aritmetiske rekka:

S10 = 10·a1+a102= 5(a1+a10)= 5(-2003+563·10-2563)= 53(-200+560-256)= 5·1043=5203

CC BY-SASkrevet av Tove Annette Holter, Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 22.11.2021

Læringsressurser

Grunnleggende om følger og rekker