Hopp til innhold

Oppgaver og aktiviteter

Konvergens og divergens i uendelige geometriske rekker

Her får du jobbe med grunnleggende oppgaver om rekker som enten konvergerer eller divergerer.

1.1.40

Undersøk om de geometriske rekkene under konvergerer eller divergerer. Dersom de konvergerer: Finn summen de konvergerer mot.

a) 1+13+19 + ...

Løsning

Vi finner k:

a2a1=131=13

Siden vi har at -1<13<1, vet vi at rekka konvergerer. Vi finner summen:

S = a11-k= 11-13= 123=32

b) n=13·0,5n-1

Løsning

Vi leser her ut av formelen at k=0,5. Vi har at -1<0,5<1, så dermed har vi ei konvergerende rekke. Vi finner summen:

S = a11-k= 31-0,5= 30,5= 6

c) n=10,5·3n-1

Løsning

Her leser vi ut fra formelen at k=3. Vi har at k>1, altså har vi ei divergerende rekke. Vi kan ikke finne noen sum av den uendelige rekka.

d) n=10,5n-1·3

Løsning

Vi observerer at dette er den samme rekka som i b), altså konvergerer den, og summen er 6.

e) n=113n-1

Løsning

Vi har her ei geometrisk rekke med a1=1 og k=13.

Dette er den samme rekka som i a), og summen er dermed 32.

f) n=113n

Løsning

Vi skriver om uttrykket for an:

an = 13n= 13·13n-1

Vi ser at vi har ei geometrisk rekke med a1=13 og k=13.

Vi har at -1<13<1, så rekka konvergerer.

Vi finner summen:

S = 131-13= 1323= 12

Her kan vi også legge merke til at dette er det samme som rekka i e) multiplisert med 13:

n=113n = n=113·13n-1= 13n=113n-1= 13·32= 12


g) 3-1+13-19 + ...

Løsning

Vi finner k:

a2a1=-13=-13

Vi har at -1<-13<1, så rekka konvergerer. Vi finner summen:

S = 31--13= 343= 94

h) n=115n-2

Løsning

Vi skriver om uttrykket for an:

an = 15n-2= 15-1·15n-1= 5-1-1·15n-1= 5·15n-1

Vi har dermed at -1<k<1, og vi kan finne summen:

S = a11-k= 51-15= 545= 254

1.1.41

Finn konvergensområdet til rekkene, og finn et uttrykk for summen i hvert tilfelle.

a) 1+x+x2+x3 +...

Løsning

Vi finner først k:

k=a2a1=x1=x

Vi må ha at -1<k<1. Det betyr at konvergensområdet for rekka er -1<x<1.

Summen av rekka blir da

S = a11-k = 11-x

b) x-x2+x3-x4 +...

Løsning

Vi finner først k:

k=a2a1=-x2x=-x

Dette gir det samme konvergensområdet som i a), altså -1<x<1. Vi finner summen:

S = a11-k= x1-(-x)= x1+x

c) 2+4x+8x2 +...

Løsning

k=a2a1=4x2=2x

Vi må løse dobbeltulikheten

-1<2x<1

Vi deler dobbeltulikheten i to og løser de to enkle ulikhetene hver for seg.

-1<2x2x<10<2x+12x-1<00<2+xx 2-xx<0                          

Venstre ulikhet:

Vi har to kritiske punkter, x=-2 og x=0. Vi undersøker hvor ulikheten er oppfylt, ved å teste for x=-3, x=-1 og x=1.

2+(-3)-3 = -1-3>02+(-1)-1 = 1-1<02+11 = 31>0

Vi har at venstre ulikhet har løsningen

x, -20, 

Høyre ulikhet:

Vi har to kritiske punkter, x=2 og x=0. Vi undersøker for x=-1, x=1 og x=3:

2-(-1)-1 = 3-1<02-11 = 11>02-33 = -13<0

Vi har at høyre ulikhet har løsningen

x, 02, 

Vi må finne det området som oppfyller begge ulikhetene samtidig. Vi tegner en figur for å få oversikt:

Ei tallinje der punktene minus 2, 0 og 2 er tegnet inn. Vi ser løsningsområdet for venstre ulikhet med rødt (mindre enn minus 2 og større enn 0) og løsningsområdet for høyre ulikhet med grønt (mindre enn 0 og større enn 2). Den blå linja markerer området som er felles, nemlig mindre enn minus 2 og større enn 2. Illustrasjon.

Dette gir oss konvergensområdet:

x, -22, 

Vi finner et uttrykk for summen:

S = a11-k= 21-2x= 2xx-2

I GeoGebra kan vi løse hele denne oppgaven med noen få tastetrykk:

CAS i GeoGebra. Linje 1 løser ulikheten minus 1 mindre enn 2 delt på x mindre enn 1. Løsningen er gitt ved x mindre enn minus 2, x større enn 2. Linje 2 finner summen av rekka gitt ved 2 ganger parentes 2 delt på x parentes slutt opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt fra og med 1 til uendelig. Svaret er gitt som 2 multiplisert med x delt på parentes x minus 2 parentes slutt. Skjermutklipp.

d) an = (2+x)n-1

Løsning

Vi starter med å finne k. Her kan vi lese den ut av formelen, vi har at k=(2+x).

Vi løser dobbeltulikheten:

-1<2+x<1-1-2<2+x-2<1-2-3<x<-1

Vi har altså at -3<x<-1 er konvergensområdet til rekka. Vi kan også skrive det slik: x-3, -1.

Vi leser ut av formelen at a1 = 1 og finner summen:

S = a11-k= 11-(2+x)= 1-1-x= -11+x

e) n=11-xn

Løsning

Vi leser ut av formelen at k=1-x og løser dobbeltulikheten:

-1<1-x<1-1-1<1-x-1<1-1-2<-x<0

Vi deler opp i to ulikheter:

-2<-x      -x<02>xx>0

Vi har at konvergensområdet er x0, 2.

For å finne a1 setter vi inn n=1:

a1 = (1-x)1=1-x

S = 1-x1-(1-x)= 1-xx

1.1.42

Ta for deg rekkene i oppgave 1.1.41, og finn ut om summen av hver rekke kan bli 1 eller 4. Oppgi også hva x må være for at det skal kunne skje. Løs oppgavene for hånd og i CAS.

Løsning a)

For hånd:

Vi setter formelen vi fant for summen lik 1:

11-x = 11 = 1-xx = 0

Vi ser at vi får summen lik 1 dersom vi setter x=0.

Vi gjør det samme med 4:

11-x = 41 = 4( 1-x)1 = 4-4x4x = 3x = 34

Vi ser at vi får summen lik 4 dersom vi setter x=34.

Når det gjelder løsning i CAS, kan vi enten bruke formelen for summen vi fant i 1.1.41 slik vi gjorde for hånd, eller vi kan bruke den eksplisitte formelen for an. Vi viser begge variantene her:

CAS i GeoGebra. Linje 1 løser likningen 1 delt på parentes 1 minus x parentes slutt er lik 1. Løsningen er gitt som x er lik 0. Linje 2 løser likningen 1 delt på parentes 1 minus x parentes slutt er lik 4. Løsningen er gitt som x er lik 3 delt på 4. Linje tre løser likningen summen av 1 multiplisert med x opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt er lik 1. Løsningen er gitt som x er lik 0. Linje 4 løser likningen summen av 1 multiplisert med x opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt er lik 4. Løsningen er gitt som x er lik 3 delt på 4. Skjermutklipp.
Løsning b)

For hånd:

x1+x = 1x = 1+x0x = 1

Her ser vi at vi ikke har noen løsning på likningen, altså kan ikke summen bli 1.

x1+x = 4x = 4(1+x)x = 4+4x3x = -4x =-43

Her finner vi en løsning på likningen, men vi ser at den ligger utenfor konvergensområdet, og derfor kan summen heller ikke bli 4.

Vi løser i CAS, her viser vi bare løsningen med summeformel:

CAS i GeoGebra. Linje 1 løser likningen summen av rekka x multiplisert med minus x opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt fra 1 til uendelig lik 1. Svaret er gitt som den tomme mengde. Linje 2 løser likningen summen av rekka x multiplisert med minus x opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt fra 1 til uendelig lik 4. Svaret er gitt som x lik minus 4 delt på 3. Skjermutklipp.

Legg merke til at GeoGebra gir deg et svar på likningen selv om denne summen ikke finnes! Antageligvis finner GeoGebra formelen for summen først, slik vi har gjort, og løser likningen med den uten å kunne ta med seg konvergensintervallet.

Løsning c)

I resten av disse oppgavene viser vi kun løsning for hånd. Se på de to foregående oppgavene hvis du ikke husker hvordan du skal løse i CAS.

2xx-2 = 12x = x-2x = -2

Vi ser at x=-2 er utenfor konvergensintervallet, og summen kan ikke bli 1.

2xx-2 = 42x = 4(x-2)2x = 4x-82x = 8x = 4

Denne løsningen er innenfor konvergensintervallet. Det betyr at summen S = 4 når x = 4.

Løsning d)

-11+x = 1-1 = 1+xx = -2

Denne løsningen er innenfor konvergensintervallet, så summen blir 1 når x=-2.

-11+x = 4-1 = 4(1+x)-1 = 4+4x4x = -5x =-54=-54

Denne løsningen er også innenfor konvergensintervallet, så summen blir 4 når x=-54.

Løsning e)

1-xx = 11-x = x2x =1x = 12

1-xx = 41-x = 4x5x =1x =15


Vi ser at begge løsningene ligger innenfor konvergensområdet, og vi har at S=1 når x= 12 og S=4 når x=15.

1.1.43

Ta for deg rekkene i oppgave 1.1.41 a) og c). Avgjør hva som er den største og den minste summen rekka kan konvergere mot.

Løsning a)

Vi har at summen av rekka er gitt ved Sx=11-x, og at konvergensområdet er -1<x<1. Vi må finne eventuelle topp- og bunnpunkter innenfor konvergensområdet til rekka.

Vi deriverer funksjonen i CAS:

CAS i GeoGebra. På linje 1 står det S av x kolon er lik minus 1 delt på parentes x minus 1 parentes slutt. Linje 2 deriverer funksjonen, og svaret er gitt ved 1 delt på parentes x minus 1 parentes slutt opphøyd i 2. Skjermutklipp.

Vi legger merke til at den deriverte alltid er positiv. Det vil si at funksjonen er strengt voksende i hele konvergensintervallet. Vi kan ikke finne en bestemt høyeste verdi og laveste verdi fordi summen ikke er definert i ytterpunktene i intervallet, men vi kan finne grenseverdiene til summen.

Den laveste verdien finner vi ved å la x-1+:

limx-1+Sx=11-(-1)=12

Den høyeste verdien finner vi ved å la x1-:

limx1-11-x=10

Vi ser at vi får 0 i nevneren, men ikke i telleren. Det vil si at uttrykket ikke har noen grenseverdi, men vil gå mot uendelig.

Vi ser at nedre grenseverdi for summen av rekka er 12, mens summen ikke har noen øvre grenseverdi.

Det kan være lurt (men ikke nødvendig!) å kikke på grafen til funksjonen for å få bedre oversikt:

Grafen til funksjonen S av x er lik 1 delt på parentes 1 minus x parentes slutt i intervallet minus 1 til 1. X-verdiene går fra minus 1 til 3,5, og y-verdiene går fra 0 til 8. Grafen stiger svakt fra x er lik minus 1 og stiger svært bratt fra punktet med koordinater 0,5 og 2. Skjermutklipp.

Vi ser at det vi fant ved regning, stemmer bra med bildet av grafen.


Løsning c)

Vi har at summen er gitt ved Sx=2xx-2, og at konvergensområdet er gitt ved x, -22, .

Igjen starter vi med å derivere for å undersøke monotoniegenskapene til funksjonen:

CAS i GeoGebra. På linje 1 står det S av x kolon er lik 2 x delt på parentes x minus 2 parentes slutt. Linje 2 løser ulikheten Derivert av S mindre enn 0. Svaret er gitt som x mindre enn 2, x større enn 2. Skjermutklipp.

Vi legger merke til at den deriverte er negativ i hele konvergensområdet, det vil si at vi må lete etter den høyeste verdien der x- og der x2+. Den laveste verdien kan vi finne enten der x-2- eller der x.

Vi finner disse grenseverdiene:

limx±2xx-2=limx±2xxxx-2x=limx±21-2x=2 

limx2+2xx-2=2·22-2=40 

limx-2-2xx-2=2·(-2)-2-2=-4-4=1 

Vi har altså at den nedre grenseverdien til summen av rekka er 1, og det eksisterer ikke en øvre grenseverdi. Vi legger også merke til at summen ikke kan bli 2.

Et tips er også her å tegne grafen hvis du vil ha bedre oversikt.

CC BY-SASkrevet av Tove Annette Holter.
Sist faglig oppdatert 24.02.2022

Læringsressurser

Grunnleggende om følger og rekker