Oppgave

Rekker

Her kan du jobbe med oppgaver om rekker.

1.1.20

På teorisiden om rekker har vi lagd et program som regner ut summen av de 20 første leddene i rekka $a_{n} = 2^{n - 1}$ ved hjelp av den eksplisitte formelen for $a_{n}$ .

a) Lag et program som regner ut det samme ved hjelp av en rekursiv formel.

Løsning

Rekka vil være gitt ved den rekursive formelen $a_{n} = 2 \cdot a_{n - 1}$ og $a_{1} = 1$ .

Vi lager en variabel for dagslønna og en variabel for den samlede lønna. Her må vi kjøre løkka 19 ganger, siden vi starter med lønna på dag 1.

python

1dagslonn = 1     #lønn per dag
2samletlonn = 1    #variabel for samlet lønn
3dager = 20       #antall dager
4
5
6for n in range(dager-1):   
7    dagslonn = dagslonn*2   
8    samletlonn = samletlonn + dagslonn  
9    
10print(f"Samlet lønn blir {samletlonn} kr.")

b) Finn $S_{20}$ i CAS i GeoGebra.

Løsning

Her må vi bruke den eksplisitte formelen.

Skjermutklipp fra CAS. Det står Sum parentes 2 opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt komma n komma 1 komma 20 parentes slutt. Svaret er gitt som 1048575. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

1.1.21

Leddene i ei uendelig rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}}$ .

a) Finn de tre første leddene for hånd.

Løsning

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{(1 + n)^{2}} \\ a_{1} & = & \frac{1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \\ a_{2} & = & \frac{1}{(1 + 2)^{2}} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ a_{3} & = & \frac{1}{(1 + 3)^{2}} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} \end{array}$

b) Lag et program som skriver ut de 20 første leddene.

Løsning

python

1a_n = 0
2antall = 1
3Leddene = []
4
5for n in range(1,21):
6    a_n = 1/(1+n)**2
7    Leddene.append(a_n)
8    antall = antall+1
9    
10print(Leddene)

c) Utvid programmet slik at det også skriver ut de 20 første summene, det vil si $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ og så videre.

Løsning

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 1
4Leddene = []
5Summene = []
6
7for n in range(1,21):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Leddene.append(a_n)
11    Summene.append(Sum)
12    antall = antall+1
13
14print(Leddene)
15print(Summene)

Legg merke til at disse programmene bare er helt grunnleggende, og at utskriftene ikke er lette å tyde.

Her kommer en versjon med overskrifter og litt færre desimaler. Kanskje kan du noen andre triks for å få det til å se bedre ut?

Python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 1
4Leddene = ["a_n"]
5Summene = ["S_n"]
6
7for n in range(1,21):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Leddene.append(a_n)
11    Summene.append(Sum)
12    antall = antall+1
13
14
15
16for i in range(0,21):
17    if i == 0:
18        print(f"{Leddene[i]:<6} {Summene[i]:<6}")
19    else:
20        print(f"{Leddene[i]:.4f} {Summene[i]:.4f}")
21

I linje 18 har vi lagt inn en formatering for å få raden med overskrifter til å bli like bred som radene med ledd og summer.

d) Finn summen, både eksakt og avrundet til 10 desimaler, når $n \to \infty$ ved hjelp av CAS i GeoGebra.

Løsning

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. Linje 1 finner summen av rekka 1 delt på parentes 1 pluss n parentes slutt opphøyd i 2 fra n er lik 1 til uendelig. Svaret er gitt ved 1 delt på 6 ganger med pi opphøyd i 2 minus 1. Linje 2 runder av svaret til 0,6449340668. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

e) Utvid programmet ditt fra c) slik at du får skrevet ut leddene fra $a_{290}$ til $a_{300}$ og tilsvarende summer og leddene fra $a_{990}$ til $a_{1000}$ og tilsvarende summer. Beskriv sammenhengen mellom disse og svaret du fikk i d).

Løsning

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 1
4Leddene = ["a_n"]
5Summene = ["S_n"]
6
7for n in range(1,1001):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Leddene.append(a_n)
11    Summene.append(Sum)
12    antall = antall+1
13
14print("a_290 - a_300")
15
16for i in range(291,301):
17    print(f"{Leddene[i]:.5f} {Summene[i]:.5f}")
18
19print("a_990 - a_1000")
20
21for i in range(991,1001):
22    print(f"{Leddene[i]:.6f} {Summene[i]:.5f}")

Resultatet av utskriften blir slik (med 5 og 6 desimaler):

$\begin{matrix} a_{290} - a_{300} \\ 0.00001 & 0.64152 \\ 0.00001 & 0.64153 \\ 0.00001 & 0.64154 \\ 0.00001 & 0.64155 \\ 0.00001 & 0.64156 \\ 0.00001 & 0.64157 \\ 0.00001 & 0.64158 \\ 0.00001 & 0.64160 \\ 0.00001 & 0.64161 \\ 0.00001 & 0.64162 \end{matrix}$

$\begin{matrix} a_{990} - a_{1000} \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64394 \end{matrix}$

Vi ser at leddene blir mindre og mindre, og at summen nærmer seg sakte, men sikkert den summen vi fant i oppgave d).

f) Utfordring: Kan du lage et program som finner ut hvor mange ledd du må ha for at summen skal være lik den summen du fikk i oppgave d) med en nøyaktighet på 7 desimaler?

Løsning

Hvis vi skal ha en nøyaktighet på 7 desimaler, altså en sum på 0,6449340, må vi finne ut når summen passerer 0,64493405 (fordi vi da måtte ha rundet opp til 0,6449341).

Programmet kan se slik ut:

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 1
4
5
6while Sum < 0.64493405:
7    a_n = 1/(1+antall)**2
8    Sum = Sum + a_n
9    antall = antall+1
10
11print(f"Vi trenger {antall-1} ledd for å få summen med 7 desimalers nøyaktighet.")

Tok programmet langt tid å kjøre? Ikke så rart, kanskje, siden vi trenger hele 59 128 516 ledd i rekka for å komme til denne summen.

Kanskje du klarer å finne et mer effektivt program?

1.1.22

Leddene i ei uendelig rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ .

a) Skriv opp de fem første leddene i rekka.

Løsning

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{n^{2}} \\ a_{1} & = & \frac{1}{1^{2}} = 1 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \\ a_{3} & = & \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ a_{4} & = & \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} \\ a_{5} & = & \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} \end{array}$

b) Finn $S_{5}$ og $S_{50}$ .

Løsning

Vi bruker GeoGebra og runder av:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. Linje 1 finner summen av rekka 1 delt på n opphøyd i 2 fra 1 til 5, svaret er 1,4636111111. Linje 2 finner summen av den samme rekka fra 1 til 50. Svaret er 1,6251327336. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

c) Finn den eksakte summen av rekka når $n \to \infty$ .

Løsning

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra, ei linje. Linje 3 finner summen av rekka 1 delt på n opphøyd i 2 fra 1 til uendelig. Svaret er gitt som en seksdel pi opphøyd i 2. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

1.1.23

Leddene i ei uendelig rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{n}$ .

a) Skriv opp de fem første leddene i rekka.

Løsning

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{n} \\ a_{1} & = & \frac{1}{1} = 1 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2} \\ a_{3} & = & \frac{1}{3} \\ a_{4} & = & \frac{1}{4} \\ a_{5} & = & \frac{1}{5} \end{array}$

b) Finn $S_{50}$ og $S_{100}$ .

Løsning

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. Linje 1 finner summen av rekka 1 delt på n fra 1 til 50, svaret er 4,4992053383. Linje 2 finner summen av den samme rekka fra 1 til 100, svaret er 5,1873775176. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

c) Finn summen av rekka når $n \to \infty$ .

Løsning

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra, ei linje. Linje 3 finner summen av rekka 1 delt på n fra 1 til uendelig. Svaret er uendelig. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

d) Sammenlign resultatet i c) med resultatet i 1.1.22 c). Beskriv hva som er forskjellen mellom disse to.

Løsning

I 1.1.22 c) var svaret et tall, mens i denne oppgaven er svaret uendelig. Det betyr at summen av rekka som er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n}$ , vil fortsette å vokse, mens summen av rekka som er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ , vil gå mot en bestemt sum.

Dette betyr at rekka i 1.1.22 konvergerer, mens rekka i 1.1.23 ikke gjør det. Dette vil du lære mer om når du kommer til artikkelen "Konvergens og divergens i uendelige geometriske rekker".

1.1.20

1.1.21

1.1.22

1.1.23

Regler for bruk av teksten "Rekker"