Hopp til innhold

Fagstoff

Aritmetiske og geometriske rekker

Aritmetiske og geometriske rekker har spesielle egenskaper slik som de korresponderende følgene.

Hva er ei aritmetisk rekke?

Som vi har sett, får vi ei rekke ved å legge sammen leddene i en følge. Dersom vi legger sammen leddene i en aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke.

Et eksempel på ei slik rekke er

2+5+8+11+ ...

Vi ser at differansen d mellom et ledd og det foregående leddet er 3.

Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer n, an, i en aritmetisk tallfølge ved formelen

an=a1+n-1d

Denne formelen gjelder på samme måte for ledd nummer n i ei aritmetisk rekke.

Summen av ei endelig aritmetisk rekke

Vi har sett hvordan vi kan regne ut summer av rekker ved hjelp av digitale hjelpemidler dersom vi kjenner den eksplisitte formelen for an. For noen typer av rekker finnes det kjente formler også for summen av de n første leddene. Det gjelder blant annet de aritmetiske rekkene.

Vi ønsker å finne en formel for summen av de n første leddene i ei aritmetisk rekke. Vi finner først en formel for summen av de 5 første leddene.

Vi skriver summen av de 5 første leddene på to måter: først leddene i stigende rekkefølge, så leddene i synkende rekkefølge.

S5=a1+a2+a3+a4+a5S5=a5+a4+a3+a2+a1

Vi summerer venstresidene og høyresidene og får

S5+S5=(a1+a5)+(a2+a4)+(a3+a3)+(a4+a2)+(a5+a1)

I parentesene på høyresiden vil de blå leddene til venstre i hver parentes øke med d for hver parentes fra venstre mot høyre, mens de røde leddene til høyre i parentesene vil avta med d. Det betyr at summene i hver av parentesene er like.

(a1+a5)=(a2+a4)=(a3+a3)=(a4+a2)=(a5+a1)

Høyresiden blir da lik  5·a1+a5, og siden venstresiden kan skrives som  2·S5, får vi at

2·S5=5·a1+a5

Ved å dividere med 2 på begge sider av likhetstegnet får vi

S5=5·a1+a52

Resonnementet over gjelder også om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Den generelle utledningen skal du gjøre i en oppgave.

Summen av de n første leddene i ei aritmetisk rekke er gitt ved formelen

Sn=n·a1+an2

Hva er ei geometrisk rekke?

Tilsvarende som for ei aritmetisk rekke får vi ei geometrisk rekke ved å summere leddene i en geometrisk følge. Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer n i en geometrisk følge ved hjelp av formelen

an=a1·kn-1

Denne formelen gjelder også for ledd nummer n i ei geometrisk rekke. Et eksempel på ei uendelig geometrisk rekke kan være

3+9+27+81+243+729+2187+6561+...

Vi ser at  a1=3, og vi kan finne k ved å dele hvilket som helst ledd med det foregående. Vi velger å dele a2a1:

k=a2a1=93=3

Summen av ei endelig geometrisk rekke

Også for geometriske rekker kan vi finne en formel for summen av de n første leddene. Vi finner først summen av de 5 første leddene.

Vi har at

S5 = a1+a2+a3+a4+a5=a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4

Vi multipliserer begge sidene i likningen med k:


k·S5 = k·(a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4)=a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5

Vi finner så differansen mellom k·S5 og S5:

k·S5-S5 =                 a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5 -(a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4)=              a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5 -a1-a1·k-a1·k2-a1·k3-a1·k4

Her opptrer de fleste leddene i par der vi har ledd med samme verdi, men motsatt fortegn. Det gjør at de faller bort. Dette gir

k·S5-S5 = a1·k5-a1S5(k-1)=a1(k5-1)S5=a1·k5-1k-1

Vi kan ikke ha en brøk med null i nevneren. Derfor gjelder formelen bare når  k1. Dersom  k=1, blir alle leddene i rekka like. Summen av rekka blir da  S5=5·a1.

Resonnementet over gjelder på samme måte om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Vi får derfor formelen under.

Summen av de n første leddene i ei geometrisk rekke er gitt ved formelen

Sn=a1·kn-1k-1   når k1

Når  k=1, blir  Sn=n·a1.

Denne generelle formelen skal du utlede i en oppgave.

Regneeksempel

Vi skal se på et eksempel der vi får vite at vi har ei aritmetisk rekke der  a1=5  og  d =7. Først skal vi regne ut S8 ved hjelp av formelen vi viste over. Etterpå skal vi finne ut om 495 er et ledd i rekka, og om det finnes en n slik at  Sn=495.

For å finne S8 trenger vi å finne a8. Den enkleste måten å gjøre det på er å først finne an:

an = a1+dn-1= 5+7n-1= 5+7n-7= 7n-2a8 = 7·8-2= 56-2=54

Så setter vi inn i formelen for S8:

S8 = 8·a1+a82 = 8·(5+54)2= 4·59= 236

For å kunne finne ut om et tall er et ledd i ei rekke (eller en følge), kan vi sette den eksplisitte formelen for an lik tallet, her 495, og vi løser likningen. Dersom vi får en heltallig n, betyr det at 495 er et ledd i rekka.

På samme måte må vi finne en heltallig n som løsning på likningen  Sn=495  for at vi kan ha en slik sum.

Tenk gjennom hvorfor vi må ha hele n før du leser videre!

Forklaring

I ei rekke har hvert ledd et nummer. Vi kan ikke ha ledd nummer 1,5 eller ledd nummer 7,1. Det kan bare være hele tall!

Vi setter an lik 495 og løser likningen:

7n-2 = 4957n = 497n = 4977n = 71

Vi ser at vi får en heltallig n og dermed har vi at 495 er et ledd i rekka. Vi ser også at det er ledd nummer 71.

Vi sjekker om det finnes en n slik at vi har  Sn=495:

Sn = n·a1+an2=  n·5+7n-22= n·7n+32495 = 7n2+3n2990 = 7n2+3n

Vi løser likningen i GeoGebra:

Likningsløsning fra CAS i GeoGebra. Likningen er 990 er lik 7 multiplisert med n i andre pluss 3 n. Løsningen er gitt som to ikke-rasjonale tall. Skjermutklipp.

Vi ser at vi ikke får hele tall som løsninger, og dermed kan vi slå fast at vi ikke har en slik n. Det vil si det samme som at summen av rekka vår aldri kan bli 495.

Film om aritmetiske tallrekker

Film om geometriske rekker

CC BY-SASkrevet av Tove Annette Holter, Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 19.11.2021

Læringsressurser

Grunnleggende om følger og rekker