Følger

Tall plassert etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kaller vi en tallfølge, eller bare en følge. Ditt første møte med tallfølger var kanskje da du lærte å telle.

Tallene 1, 2, 3 og 4 er et eksempel på en følge.

Tallene i en følge kalles ledd, og leddene følger som oftest et bestemt mønster.

Endelige følger

Hvis antallet ledd i følgen er bestemt og vi har en følge med et endelig antall ledd, får vi det vi kaller for en endelig følge. To eksempler på slike endelige følger er

$2, 3, 5, 7, 11, 13$

$$ 2, 4, 6, 8, ... , 100$$

I det øverste eksempelet har vi skrevet opp alle de seks tallene som finnes i følgen. I det nederste eksempelet betyr de tre prikkene mellom 8 og 100 at vi skal fylle inn alle tallene som følger det samme mønsteret som ligger mellom disse to tallene. I begge tilfellene kjenner vi både det første og det siste leddet i følgen.

Uendelige følger

Vi kan også ha følger som fortsetter videre uten stopp. Da har vi uendelig mange ledd, og får det vi kaller uendelige følger. Et eksempel er

$1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$

De tre prikkene etter det siste leddet viser at følgen fortsetter etter det samme mønsteret. Kan du finne og beskrive med ord mønsteret i hver av de tre følgene ovenfor?

Det er vanlig å gi de enkelte leddene i en følge navn. Det første leddet kaller vi $a_1$, det andre leddet $a_2$ og så videre. Ledd nummer $n$ i tallfølgen får betegnelsen $a_n$, der $$ n$$ er et naturlig tall.

For tallfølgen $2, 4, 6, 8, ...$ er

$\begin{array}{rcl}{a}_1& = & 2\\ & & \\ a_2& =& 4\\ & & \\ a_3& =& 6\\ & & \\ a_4& =& 8\\ & ...& \end{array}$

Vi skal nå lage en formel for det $n$-te leddet, $a_n$. Vi viser to måter dette kan gjøres på.

Rekursiv formel

Vi ser at hvert ledd i tallfølgen er lik leddet foran pluss tallet 2. For eksempel er $a_4=a_3+2$. Det betyr at vi for denne følgen kan skrive at

$a_n=a_{n-1}+2$

Denne typen formel kalles rekursiv. Når vi kjenner ett ledd i følgen, gir formelen det neste leddet. Det betyr at når vi kjenner det første leddet i tallfølgen, kan vi finne resten av leddene ved hjelp av den rekursive formelen. Vi kan også ha mer kompliserte rekursive formler som bygger på at man må kjenne flere enn ett av de foregående leddene. Et kjent eksempel på dette er følgen under. Prøv om du selv kan finne sammenhengen før du klikker på boksen med forklaringen.

$$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$$

Eksplisitt formel

Vi ser igjen på følgen $$ 2, 4, 6, 8, ...$$ Det kan være tidkrevende å finne verdien til et ledd langt ute i en tallfølge for hånd ved å bruke en rekursiv formel. Da kan det være fint å kunne ha en raskere måte å for eksempel finne tall nummer 100 på.

Vi kan sette opp en tabell og se om vi kan finne en sammenheng mellom verdien på et ledd og nummeret dette leddet har i følgen:

Du ser kanskje at hvert ledd i følgen er lik tallet 2 multiplisert med leddnummeret. For eksempel er $a_4=2·4$. Det betyr at vi for denne følgen kan skrive at

$a_n=2·n$

Denne type formel kalles eksplisitt. Ved å bruke en eksplisitt formel kan vi finne verdien til et ledd i en tallfølge direkte når vi kjenner nummeret på leddnummeret.

Eksempel

Følgen $1, 4, 9, 16, ...$ består av kvadrattallene.

Kan du finne en eksplisitt formel for $$ a_n$$ i denne følgen og bruke denne formelen til å regne ut $$ a_{100}$$?

Å regne ut mange ledd i en følge er arbeidsomt å gjøre for hånd. I Python kan vi bruke ei løkke for å skrive ut alle leddene i en endelig følge, enten vi har en eksplisitt eller en rekursiv formel.

Nedenfor kan du se to programmer. Det første skriver ut de 100 første leddene i følgen av kvadrattall ved hjelp av en eksplisitt formel for $$ a_n$$, og det andre skriver ut de 100 første partallene ved hjelp av en rekursiv formel for $$ a_n$$. Kopier programmene og kjør dem, så får du se hva som skjer!

1def a(n):
2    return n**2         #definerer eksplisitt formel for a_n
3b=100                   #bestemmer antallet ledd i følgen
4A = []                  #oppretter ei tom liste for følgen
5
6for i in range(1,b+1):  #lager ei løkke som går fra og med 1 til og med b
7    A.append(a(i))      #legger leddene til i følgen
8    
9print(A)                #skriver ut følgen

1a_n = 2                 #oppretter en variabel for leddene i følgen
2b=100                   #bestemmer antallet ledd i følgen
3A = []                  #oppretter ei tom liste for følgen
4
5for i in range(1,b+1):  #lager ei løkke som går fra og med 1 til og med b
6    A.append(a_n)       #legger leddene til i følgen
7    a_n = a_n + 2
8    
9print(A)                #skriver ut følgen