Rekker og matematiske bevis – blandede oppgaver

a) Vi kan se på dette som ledd i en aritmetisk følge der
$$ a_1=3 000$$ og $d=300$. Vi får altså følgende eksplisitte formel for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ a_n & =& 3 000+300\left(n-1\right)\\ & =& 3 000+300n-300\\ & =& 300n+2 700\end{array}$$

b) Vi har at 2017 er år 1, det betyr at 2022 er år 6. Vi må først finne $$ a_6$$ for så å finne $$ S_6$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_6 & =& 300·6+2 700\\ & =& 4 500\\ S_6 & =& \frac{6·\left(a_1+a_6\right)}{2}\\ & =& \frac{6·\left(3 000+4 500\right)}{2}\\ & =& 3·7 500\\ & =& 22 500\end{array}$$

Forhandleren selger altså 22 500 sykler i denne perioden.

c) Vi setter uttrykket for $$ a_n$$ lik 3 900 og løser likningen for $$ n$$:

$$ \begin{array}{rcl}300n+2 700 & =& 3 900\\ 300n & =& 1 200\\ n & =& 4\end{array}$$

Vi ser at forhandleren selger 3 900 sykler årlig i år 4, altså i 2020.

d) Vi må bruke det vi vet om formelen for summen og formelen for ledd nummer $$ n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 2 700+300n\\ S_n & =& \frac{n·\left(a_1+a_n\right)}{2}\\ 32 400 & =& \frac{n·\left(3 000+2 700+300n\right)}{2}\\ 64 800 & =& 5 700n+300n^2 \end{array}$$

Vi løser likningen i GeoGebra og får to løsninger (se neste løsningsboks for detaljer), $$ n=-27$$ og $$ n=8$$.

Siden $$ n$$ må være positiv, kan vi bare bruke den ene løsningen, og vi finner at forhandleren har solgt 32 400 sykler etter 8 år, altså i år 2024.

Her viser vi bare CAS-vinduet, forklaringene finner du i løsningsboksen over.

a) Vi kan gjøre dette på flere måter. Vi velger å observere at for hvert tall legges det på en rad med en prikk mer enn den lengste raden i det forrige tallet. Det vil si at

$$ T_5=T_4+5=10+5=15$$

og

$$ T_6=T_5+6=15+6=21$$

b) Vi observerer at vi i begge tilfellene over legger til en rad med like mange prikker som nummeret på tallet i følgen. Vi har altså en rekursiv formel som er slik:

$$ a_n=a_{n-1}+n$$

c) Vi viser to ulike løsninger.

Regresjon i GeoGebra:

Vi legger inn tallene vi kjenner, i regnearket, og vi velger polynomregresjon, grad 2:

Dette gir oss modellen $$ f\left(x\right)=0,5x^2+0,5x$$, altså er en eksplisitt formel for trekanttallene

$$ T_n=0,5n^2+0,5n$$

Legg merke til at ved bruk av denne metoden er det viktig å være nøye på å sjekke at modellen faktisk passer akkurat!

Ved regning:

Vi tegner en figur der vi slår sammen to like trekanttall og får rektangler som har høyde lik høyden på trekanttallet og lengde som er en enhet lengre enn høyden:

Vi ser at vi kan finne antall prikker i disse firkantene ved å multiplisere $$ n$$ med $$ n+1$$. Hvis vi så deler på 2, får vi antall prikker i halve figuren, som altså er trekanttallene:

$$ T_n=\frac{n·\left(n+1\right)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$$

a) Vi må først legge inn variabler for trekanttallene som skal legges sammen, og for summen av trekanttallene. Så må vi ha en variabel for hvor mange trekanttall vi skal legge sammen, denne kan vi innhente fra brukeren. Så lager vi ei løkke der vi legger til så mange trekanttall vi skal ha. Til sist skriver vi ut summen.

b) Programmet:

1T = 1
2S = 1
3n = int(input("Hvor mange trekanttall vil du summere?"))
4
5for i in range(1,n):
6    T = T + i+1
7    S = S + T
8    
9print(f"Summen av de {n} første trekanttallene er {S}.")

a) Vi har at rekka konvergerer dersom $$ -1<k<1$$. Vi finner $$ k$$ og konvergensområdet:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{e^x}{1}=e^x$$

Siden $$ e^x\ge 0$$ for alle $$ x$$, kan vi se på ulikheten $$ e^x<1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{e}^x & <& 1\\ \ln e^x & <& \ln 1\\ x & <& 0\end{array}$$

Konvergensområdet er $$ x<0$$.

b) Vi finner først et uttrykk for summen ved hjelp av formelen for summen av konvergente geometriske rekker:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-e^x}\end{array}$$

For å finne den største verdien må vi se på grenseverdien til uttrykket når $$ x\to 0^{-}$$:

$$ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1-e^x}=\frac{1}{1-1}=\infty $$

Vi ser at uttrykket ikke har noen grenseverdi, altså kan summen av rekka bli uendelig stor.

Husk at innenfor konvergensområdet vil hver $$ x$$ likevel gi en bestemt sum.

a)

1. Vi legger merke til at tallet under brøkstreken øker med 2 for hvert ledd, og vi får
   
   $$ $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}$$

2. Vi legger merke til at nevnerne er det dobbelte av tallets nummer i rekka, det vil si at vi har en eksplisitt formel slik: $$ a_n=\frac{1}{2n}$$

3. $$ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \frac{1}{2n}-\frac{1}{2\left(n-1\right)}\\ a_n & =& a_{n-1}+\frac{1·\left(n-1\right)}{2n\left(n-1\right)}-\frac{1·n}{2n\left(n-1\right)}\\ & =& a_{n-1}+\frac{n-1-n}{2n\left(n-1\right)}\\ & =& a_{n-1}-\frac{1}{2n^2-2n}\end{array}$$

b)

1. Vi legger merke til at nevnerne er kvadrattall. Vi får dermed
   
   $$ $ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{25}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{36}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{49}}$$$

2. Siden nevnerne er kvadrattall, får vi følgende eksplisitte formel: $$ a_n=\frac{1}{n^2}$$

3. $$ $ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \frac{1}{n^2}-\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}\\ a_n & =& a_{n-1}+\frac{1·{\left(n-1\right)}^2}{n^2{\left(n-1\right)}^2}-\frac{1·n^2}{n^2{\left(n-1\right)}^2}\\ & =& a_{n-1}+\frac{n^2-2n+1-n^2}{n^2\left(n^2-2n+1\right)}\\ & =& a_{n-1}-\frac{2n-1}{n^4-2n^3+n^2}\\ & & \end{array}$$$

c)

1. Vi legger merke til at både teller og nevner øker med 1 for hvert ledd:
   
   $$ $ \frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{7}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{8}}$$$

2. Vi legger merke til at telleren i hvert ledd er lik $$ n+1$$, mens telleren er lik $$ n+2$$. Vi får at
   $$ a_n=\frac{n+1}{n+2}$$.

3. $$ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \frac{n+1}{n+2}-\frac{\left(n-1\right)+1}{\left(n-1\right)+2}\\ a_n & =& a_{n-1}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\ & =& a_{n-1}+\frac{{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{n·\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ & =& a_{n-1}+\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{n^2+3n+2}\\ & =& a_{n-1}+\frac{1}{n^2+3n+2}\end{array}$$

d)

1. Vi legger merke til at hvert ledd er lik kvadratrota av det neste tallet i rekka:
   
   $$ $ 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\mathbf{4}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{6}}$$$

2. Vi ser at hvert ledd er kvadratrota til leddets nummer i rekka:
   
   $$ a_n=\sqrt{n}$$

3. $$ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\\ a_n & =& a_{n-1}+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\end{array}$$

Tabellen viser utslippene i de seks aktuelle årene.

Summen av utslippene danner ei geometrisk rekke der

$$ a_1=1 000, k=1-\frac{p}{100} $$ og $n=6$.

Vi løser i CAS:

Vi ser at bedriften må redusere utslippene sine med 7,35 prosent i året for å nå målet om 5 000 tonn på de neste seks årene.

a) Vi ser først på rentebeløpene. Her ser vi at $$ a_1=10 000$$. Vi ser at renta synker med 500 kroner per år, altså har vi ei aritmetisk rekke der $$ d=-500$$. Vi får da at renta i år $$ n$$ er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 10 000 -500(n-1)\\ & =& 10 000-500n+500\\ & =& 10 500-500n \end{array}$$

Når det gjelder terminbeløpene, er forskjellen den samme: Beløpet synker med 500 kroner per år. Vi får ei aritmetisk rekke med $$ a_1=20 000$$ og $$ d=-500$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 20 000-500\left(n-1\right)\\ & =& 20 000-500n+500\\ & =& 20 500-500n\end{array}$$

b) Vi bruker rekka som beskriver terminbeløpene, og finner summen av de 20 første leddene:

Vi ser at vi må betale tilbake til sammen 305 000 kroner hvis vi tar opp dette lånet.

c) Forslag til program:

1lånebeløp = int(input("Hvor stort beløp skal du låne?"))
2    #henter inn lånebeløpet
3rente = float(input("Hvor mange prosent er den årlige renta på?"))
4    #henter inn renta
5terminer = int(input("Hvor mange terminer skal du ha?"))
6    #henter inn antall terminer
7
8
9avdrag = int(lånebeløp/terminer)          #regner ut avdraget
10År = ["År"]                               #lager ei liste for år nummer
11Terminbeløp=["Terminbeløp"]               #lager liste for terminbeløpene
12Rente = ["Rente per termin"]              #lager liste for rentebeløpene
13Totalbeløp = ["Totalt innbetalt til nå"]  #lager ei liste for samlet innbetaling til nå
14Totalrente = ["Total rente til nå"]       #lager ei liste for total rente til nå
15
16for i in range(terminer+1):             #lager ei løkke med lengden til antall terminer
17    År.append(i+1)                      #legger til et år for hver gang løkka kjører
18    Terminbeløp.append(int(avdrag +lånebeløp*(rente/100)))
19                                        #finner terminbeløpene og legger dem i lista
20    Rente.append(int(lånebeløp*(rente/100)))
21    if i == 0:
22        Totalbeløp.append(Terminbeløp[1])
23        Totalrente.append(int(lånebeløp*(rente/100)))
24    else:
25        Totalbeløp.append(Totalbeløp[i]+Terminbeløp[i+1])
26        Totalrente.append(Totalbeløp[i+1]-avdrag*(i+1))
27    lånebeløp = lånebeløp-avdrag
28                                #legger sammen nytt terminbeløp og tidligere totalbeløp
29                                #finner total rente til nå ved å trekke avdragene fra
30                                #totalbeløpene
31    
32for i in range(terminer+1):
33  print(f"{År[i]:<4}{Terminbeløp[i]:<12}{Rente[i]:<20}{Totalrente[i]:<20}{Totalbeløp[i]:<15}")
34                                # skriver ut alle utregningene

a) Vi finner $$ k$$ og undersøker når $$ -1<k<1$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4\lg x}{2}=2\lg x$$

Konvergensområdet:

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccc}-1& <& 2\lg x& <& 1\\ -\frac{1}{2}& <& \lg x& <& \frac{1}{2}\\ {10}^{-\frac{1}{2}}& <& {10}^{\lg x}& <& {10}^{\frac{1}{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{10}}& <& x& <& \sqrt{10}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi finner et uttrykk for summen:

$$ S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{2}{1-2\lg x}$$

b) $$ k=\frac{a_2}{a_1}$ =\frac{2x^2}{4x}=\frac{x}{2}$$$

$$ \begin{array}{ccccc}-1& <& \frac{x}{2}& <& 1\\ -2& <& x& <& 2\end{array}$$

Konvergensområdet er $$ -2<x<2$$.

Summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{4x}{1-{\displaystyle \frac{x}{2}}}\\ & =& \frac{4x·2}{1·2-{\displaystyle \frac{x·2}{2}}}\\ & =& \frac{8x}{2-x}\end{array}$$

c) $$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2^x}{1}=2^x$$

Vi skal ha at $$ -1<2^x<1$$. Siden $$ 2^x>0$$ for alle $$ x$$, kan vi bare se på $$ 2^x<1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{2}^x & <& 1\\ \lg 2^x & <& \lg 1\\ x·\lg 2 & <& 0\\ x & <& 0\end{array}$$

Konvergensområdet blir $$ x<0$$.

Summen:

$$\begin{gathered} S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-2^x} \\ \end{gathered}$$

d) $$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{$ \frac{1}{\left(\ln x^2\right)}$}{\frac{1}{\ln x}}=\frac{1}{{\left(\ln x\right)}^2}·\frac{\ln x}{1}=\frac{1}{\ln x}$$

Vi må løse følgende ulikhet:

$$ -1<\frac{1}{\ln x}<1$$

Vi deler ulikheten i to og løser ulikheten til venstre først:

$$ \begin{array}{rcl}-1 & <& \frac{1}{\ln x}\\ 0 & <& 1+\frac{1}{\ln x}\\ 0 & <& \frac{\ln x+1}{\ln x}\end{array}$$

Vi observerer at vi ikke kan løse ulikheten ved å multiplisere med $$ \ln x$$, siden vi ikke kan vite om uttrykket er positivt eller negativt. Vi løser den korresponderende likningen:

$$ \begin{array}{rcl}0 & =& \frac{\ln x+1}{\ln x}\\ \ln x+1 & =& 0\\ e^{\ln x} & =& e^{-1}\\ x & =& \frac{1}{e}\end{array}$$

Vi har at uttrykket $$ \frac{\ln x+1}{\ln x}$$ kan skifte fortegn i nullpunktet og i punktet der uttrykket ikke er definert, det vil si nullpunktet til nevneren:

$$ \begin{array}{rcl}\ln x & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$$

Vi sjekker fortegnet for $$ x=\frac{1}{e^2}=e^{-2},x=\frac{2}{e} \mathrm{og} x=e$$:

$$ \frac{\ln {\displaystyle e^{-2}}+1}{\ln {\displaystyle e^{-2}}}=\frac{-2+1}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}>0$$

$$ \frac{\ln {\displaystyle \frac{2}{e}}+1}{\ln {\displaystyle \frac{2}{e}}}=\frac{\ln 2-\ln e+1}{\ln 2-\ln e}=\frac{\ln 2}{\ln 2-1}<0$$

$$ \frac{\ln e+1}{\ln e}=\frac{1+1}{1}=2>0$$

Den venstre ulikheten er oppfylt for $$ 0<x<\frac{1}{e}$$ og $$ x>1$$.

Vi løser ulikheten til høyre:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{\ln x} & <& 1\\ \frac{1}{\ln x}-1 & <& 0\\ \frac{1-\ln x}{\ln x} & <& 0\end{array}$$

Vi gjør som i den venstre ulikheten og finner nullpunktet til telleren:

$$ \begin{array}{rcl}1-\ln x & =& 0\\ \ln x & =& 1\\ x & =& e\end{array}$$

Vi undersøker for $$ x=\frac{1}{e}=e^{-1}, x = 2$$ og $$ x=e^2$$.

$$ \frac{1-\ln e^{-1}}{\ln e^{-1}}=\frac{1-\left(-1\right)}{-1}=\frac{2}{-1}-2<0$$

$$ \frac{1-\ln 2}{\ln 2}>0$$

$$ \frac{1-\ln e^2}{\ln e^2}=\frac{1-2}{2}=\frac{-1}{2}<0$$

Den høyre ulikheten er dermed oppfylt for $$ 0<x<1$$ og $$ x>e$$. Vi ser at hele ulikheten dermed er oppfylt for $$ 0<x<\frac{1}{e}$$ og $$ x>e$$ som også er konvergensområdet til rekka.

Summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{ {\displaystyle \frac{1}{\ln x}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}}\\ & =& \frac{1}{\ln x-1}\end{array}$$

Vi bruker formelen for summen av ei konvergerende geometrisk rekke:

a)

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ 4 & =& \frac{2}{1-k}\\ 4\left(1-k\right) & =& 2\\ 4-4k & =& 2\\ 2 & =& 4k\\ k & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ 16 & =& \frac{a_1}{1-{\displaystyle \frac{1}{8}}}\\ 16 & =& \frac{8}{7}{a}_1\\ a_1 & =& 16·\frac{7}{8}=14\end{array}$$

a) Siden vi starter med et gitt antall smittede og hver av dem smitter i snitt 2,4 personer, kan vi bruke ei rekke med $$ a_1=$$ antall smittede ved oppstart og $$ k=2,4$$.

b)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 10·2,4^{n-1}\end{array}$$

c) Vi har at $$ n$$ står for antall perioder på 5 dager. Vi har også at $$ n=1$$ betyr at det har gått 0 dager, altså er $$ n$$ 1 større enn antall perioder. Dette gir at $$ n=\frac{25}{5}+1=6$$.

Vi har at $$ S_6\approx 1358$$, altså vil det være cirka 1 358 mennesker totalt som har vært eller er smittet etter 30 dager.

d) 60 dager etter dag nummer 1 har vi at $$ n=\frac{60}{5}+1=13$$. Antall smittebærende personer vil være omtrent lik $$ a_{13}$$:

$$ a_{13}=10·2,4^{12}\approx 365 200$$

Ifølge modellen har vi cirka 365 200 smittebærende personer etter 60 dager.

e) Her må vi først fastsette noen betingelser. De som ble smittet 50 dager etter dag 1 (det vil si ved $$ n=\frac{50}{5}+1=11$$), er nesten friske, men teller med i det antallet som føler seg syke nå. De som ble smittet 70 dager etter dag 1 (det vil si ved $$ n=\frac{70}{5}+1=15$$), har ennå ikke rukket å bli syke, så de teller ikke med. Vi må altså summere $$ a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}$$. Vi bruker GeoGebra:

Vi ser at det ifølge denne modellen er cirka 1 457 260 personer som fortsatt er preget av koronaen etter 70 dager.

f) Det vil avhenge veldig av hva slags område vi befinner oss i, om disse tallene er realistisk. I Norge finnes for eksempel bare én by som i det hele tatt har så mange innbyggere. Sannsynligheten for at hver person vil fortsette å smitte gjennomsnittlig 2,4 personer, er ikke så stor.

Dersom området er stort, som for eksempel en millionby i India, og kontakten mellom folk er som normalt, kan det kanskje være realistisk. Men på et tidspunkt vil nok uansett R-tallet, som vi kaller antallet mennesker hver smittet smitter videre i snitt, gå ned.

Skal R-tallet opprettholdes, må hver smittede person treffe tilstrekkelig mange mennesker som er mottakelig for smitte, og etter hvert som en befolkning har gjennomgått en sykdom, vil flere ha opparbeidet seg en viss immunitet.

a) Vi har ei aritmetisk rekke med $$ a_1=30$$ og $$ k=-3$$. Da får vi følgende formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 30-3\left(n-1\right)\\ & =& 30-3n+3\\ & =& 33-3n\end{array}$$

b) Vi finner $$ S_4$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_4}{2}\\ S_4 & =& 4·\frac{30+33-3·4}{2}\\ & =& 2·51=102 \end{array}$$

Han får 102 hummere i løpet av de første fire ukene dersom antagelsen stemmer.

a) $$ 4+5+6$$

b) Dette er ei aritmetisk rekke. Det kan vi se fordi forskjellen mellom påfølgende ledd er 1. Vi har $$ a_1=4$$ og $$ k=1$$, noe som gir følgende formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 4+1\left(n-1\right)\\ & =& 4+n-1\\ & =& n+3\end{array}$$

c) $$ a_{10} = 10+3= 13$$

Det er 13 rør i den 10. rekka ovenfra.

d)

$$ \begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& 10·\frac{a_1+a_{10}}{2}\\ & =& 5·(4+13)\\ & =& 85\end{array}$$

Det er 85 rør til sammen i de 10 øverste radene.

e)

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_n}{2}\\ 270 & =& n·\frac{4+n+3}{2}\end{array}$$

Vi løser ligningen i CAS:

Vi kan bare bruke den positive løsningen, og vi ser at det er 20 rader til sammen i stabelen.

a) Rekka er endelig, for den slutter med et tall. Den er aritmetisk fordi vi kan se at den har en fast differanse, nemlig $$ d=2$$.

b) Vi finner ut hvilket nummer det siste tallet i rekka har:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + 2(n-1)\\ & =& 1+2n-2\\ & =& 2n-1\\ & & \\ 199 & =& 2n-1\\ 200 & =& \hspace{0.17em}2n\\ n & =& 100\end{array}$$

Det er 100 oddetall i rekka.

c)

$$ S_{100}=100·\frac{1+199}{2}=100·100=10 000$$

d)

Vi finner først summen av alle partallene som er mindre enn eller lik 200:

$$ S_{100}=100·\frac{2+200}{2}=100·101$$

Vi har at

$$ \frac{1+3+5+ ... +199}{2+4+6+ ... +200}=\frac{100·100}{100·101}=\frac{100}{101}$$

Vi får ei geometrisk rekke med $$ a_1= 5 000·1,06$$, $$ k=1,06$$ og $$ n=4$$:

$$ S_4= 23 815$$

Det står 23 815 kroner på kontoen 31. desember 2024.

a) Mengden medisin per dag kan sees på som et ledd i ei geometrisk rekke der $$ a_1=50$$ og $$ k=0,95$$. Vi finner $$ a_8$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 50·0,{95}^{n-1}\\ a_8 & =& 50·0,{95}^7=34,92\approx 34,9\end{array}$$

Dosen den 8. dagen er cirka 34,9 mg.

b) Vi finner $$ S_8$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_8 & =& a_1·\frac{k^8-1}{k-1}\\ & =& 50·\frac{0,{95}^8-1}{0,95-1}\\ & =& 336,5 \approx 337\end{array}$$

Kuren er på til sammen cirka 337 mg.

a) Beløpet forrenter seg 10 ganger, og vi får

$$ 875 000·1,{025}^{10}=1 120 073,9 \approx 1 120 074$$

Hun har cirka 1 120 074 kroner på konto 1. januar 2016 med dette tilbudet.

b) Det andre tilbudet må vi regne ut ved hjelp av ei geometrisk rekke der $$ a_1=100 000·1,025$$, $$ k=1,025$$ og $$ n=10$$:

Vi ser at via dette tilbudet sitter hun med cirka 1 148 347 kroner på konto 1. januar 2016. Det er altså tilbud 2 som er best.

c) Vi setter vekstfaktoren lik $$ x$$ og setter de to uttrykkene lik hverandre:

Vi ser at vekstfaktoren må være 1,031, altså ei rente på 3,1 prosent, dersom de to tilbudene skal være like gode.

d) Eva har altså 1 120 074 kroner på konto 1. januar 2016. Hun skal ta ut et fast beløp hver måned. Vi kjenner ikke beløpet, så vi kaller det $$ x$$. Vi ser for oss at vi regner ut nåverdiene til beløpene hun skal ta ut. Det første beløpet rekker ikke å forrente seg i det hele tatt, så $$ a_1 = x$$. Hun skal ha ti beløp, så $$ n=10$$. Siden vi regner om verdiene til nåverdier, er $$ k=\frac{1}{1,025}$$. Summen av de ti beløpene må tilsvare 1 120 074 kroner. Det gir følgende likning og løsning i GeoGebra:

Vi ser at Eva kan ta ut cirka 124 857 kroner hvert år.

a) Denne kan være vanskelig å finne fram til for hånd. Vi setter inn de første verdiene i følgende tabell i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet:

Vi prøver oss fram i GeoGebra, og en funksjon som virker å treffe bra, er $$ f\left(x\right)=0,3333x^3+0,5x^2+0,1667x$$. Vi kjenner igjen desimaltallene som avrundinger, og vi foreslår formelen $$ S_n=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$.

b) Vi skal vise at
$$ 1+4+9+ ... +n^2 = \frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$.

Trinn 1

Vi viser først at formelen gjelder for $$ n=1$$:

VS = 1

HS:
$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{3}·1^3+\frac{1}{2}·1^2+\frac{1}{6}·1 & =& \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\\ & =& \frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}\\ & =& 1\end{array}$$

Trinn 1 holder.

Trinn 2

Vi antar at $$ $ 1+4+9+... + k^2 = \frac{1}{3}{k}^3+\frac{1}{2}{k}^2+\frac{1}{6}k$$$.

Vi sjekker om dette innebærer at

$$ $ 1+4+9+... + k^2+{\left(k+1\right)}^2 = \frac{1}{3}{\left(k+1\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(k+1\right)}^2+\frac{1}{6}\left(k+1\right)$$$

VS:

$$ 1+4+9+... + k^2+{\left(k+1\right)}^2$$

$$ $ $ \begin{array}{rcl}& =& \frac{1}{3}{k}^3+\frac{1}{2}{k}^2+\frac{1}{6}k+{\left(k+1\right)}^2\\ & =& \frac{2k^3}{6}+\frac{3k^2}{6}+\frac{k}{6}+\frac{6k^2}{6}+\frac{12k}{6}+\frac{6}{6}\\ & =& \frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}\end{array}$$$$

HS:

$$ \frac{1}{3}{\left(k+1\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(k+1\right)}^2+\frac{1}{6}\left(k+1\right)$$

$$ \begin{array}{rcl}& =& \frac{2}{6}\left(k^3+3k^2+3k+1\right)+\frac{3}{6}\left(k^2+2k+1\right)+\frac{1}{6}\left(k+1\right)\\ & =& \frac{2k^3+6k^2+6k+2+3k^2+6k+3+k+1}{6}\\ & =& \frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}\\ & & \end{array}$$

HS = VS

Konklusjon

Q.e.d.

a) Vi ser at hvert tall kan finnes ved å summere de to foregående:

$$ a_3 = a_1 + a_2= 1+1 = 2$$

$$ a_4 = a_2 + a_3 = 1+2=3$$

b) Programmet definerer en funksjon for å regne ut fibonaccitall. Dersom $$ n$$ er 0 eller 1, får vi $$ n$$ tilbake. 0 er ikke med i fibonaccitallene, men vi må ha det med for utregningens skyld.

Denne typen funksjon i programmering kaller vi en rekursiv funksjon, altså en funksjon som kaller på seg selv. Når $$ n$$ er større enn eller lik 2, for eksempel $$ n=10$$ slik som i dette programmet, ser vi at funksjonen får Python til å regne seg tilbake for å finne alle de tidligere tallene i følgen for å kunne finne det siste.

c) Vi observerer (med mindre du har en svært kraftig datamaskin) at dette tar veldig lang tid. Dette er fordi at de rekursive funksjonene må regne ut alle de tidligere tallene i følgen på samme måte for å kunne finne det neste tallet. Så for hvert tall må funksjonen gå gjennom mange utregninger.

d) Vi kan lage en liste for fibonaccitallene og legge dem inn der. Da går utregningen av neste tall mye raskere enn hvis hvert tall må regnes ut via funksjonen:

1Fib=[0,1] 
2  #lager ei liste for fibonaccitallene, legger inn 0 og 1
3for i in range (2,100): 
4  #Vi lager ei løkke for å legge fibonaccitall inn i lista
5    Fib.append(Fib[i-2]+Fib[i-1]) 
6  #legger til summen av de to forrige tallene 
7
8print(Fib[40]) 
9  #printer fibonaccitall nummer 40

a) Dersom kroppen bryter ned 60 prosent av virkestoffet per døgn, har vi at vekstfaktoren er $$ 1-\frac{60}{100}=0,4$$. Vi kan se på mengden virkestoff i kroppen hver dag rett etter inntak av en tablett som summen av ei uendelig geometrisk rekke der $$ a_1=20$$ og $$ k=0,4$$.

Vi får da at mengden virkestoff i kroppen over tid blir

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{20}{1-0,4}\\ & =& \frac{20}{0,6}\approx 33,3\end{array}$$

Dermed vil konsentrasjonen av virkestoffet i kroppen bli for høy, og medisineringa er ikke trygg.

b) Vi regner på samme måte, her får vi at $$ a_1=10$$:

$$ $ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{10}{1-0,4}\\ & =& \frac{10}{0,6}\approx 16,67\\ & & \end{array}$$$

Siden det aldri vil være mer enn 16,67 mg av virkestoffet i kroppen, er denne medisineringa trygg for pasienten.

c) Vi setter $$ a_1=x$$ og løser i GeoGebra:

Vi ser at dersom vi gir 18 mg virkestoff hver dag, vil summen av rekka konvergere mot 30. Det betyr at det antakelig vil gå greit å bruke denne mengden virkestoff daglig, siden det aldri vil bli mer enn 30 mg i kroppen.