Analyse av funksjoner med derivasjon og integrasjon
Prøv å løse så mange oppgaver som mulig uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS etterpå.
FM-1
Funksjonen er gitt ved
I denne oppgaven skal vi gjøre mest mulig uten hjelpemidler.
a) Finn nullpunktene til funksjonen.
Løsning
Nullpunkter:
b) Finn eventuelle stasjonære punkter til funksjonen og avgjør hva slags type stasjonære punkter det er.
Løsning
Vi finner de stasjonære punktene der den deriverte er 0.
Stasjonære punkter:
Den deriverte er en andregradsfunksjon med positivt tall foran
er positiv nårf ' x x < - 2 er negativ nårf ' x - 2 < x < 0 er positiv nårf ' x x > 0
Da har vi et toppunkt når
Vi får
et toppunkt i
- 2 , 4 et bunnpunkt i
0 , 0
Alternativ løsning
Siden
Vi kan tegne fortegnslinje for
Vi får
et toppunkt i
- 2 , 4 et bunnpunkt i
0 , 0
c) Finn krumningsforholdene til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkter og likningen for eventuelle vendetangenter.
Løsning
Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.
Vi må sjekke om
Vi kan tegne fortegnsskjema, men det er ikke nødvendig. Den andrederiverte skifter fortegn for
Dette betyr at
grafen vender den hule siden ned når
x < - 1 grafen vender den hule siden opp når
x > - 1 vi har et vendepunkt i
- 1 , f - 1 = - 1 , 2
For å finne vendetangenten må vi regne ut
Vi bruker ettpunktsformelen for å finne vendetangenten.
Vendetangenten er
d) Vi antar nå at funksjonen viser hvor mange liter vann som renner i en bekk per sekund. Hvor mye vann rant det til sammen på de tre sekundene i intervallet
Løsning
Dette betyr at vi skal finne samlet mengde for funksjonen i dette intervallet. Det er det samme som integralet av funksjonen i intervallet. Samlet mengde i intervallet
Totalt rant det
e) Hva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet
Løsning
Gjennomsnittsverdien
(Vi brukte resultatet i forrige oppgave i utregningen.)
FM-2 (bare for R2)
Vi bruker samme funksjon som i forrige oppgave:
a) Hvor lang er grafen i dette intervallet?
Løsning
Lengden
Vi løser dette integralet med CAS i GeoGebra.
Buelengden er 8,81 dm.
b) Tegn omdreiningslegemet til funksjonen
Løsning
Først avgrenser vi funksjonen med kommandoen g(x)=f(x),-2≤x≤1
i algebrafeltet. Deretter skriver vi Overflate(g,2π,xAkse)
.
c) Omdreiningslegemet i forrige oppgave skal brukes til å lage et fat med toppen mot venstre. Fatet skal lages i glass. Hvor mye glass går med til foten dersom den skal være av massivt glass?
Løsning
Foten utgjør den delen av funksjonen
Volumet av glassmengden som trengs, er 9,25 dm3 eller 9,25 L.
Denne oppgaven er mye enklere med CAS ...
d) Omtrent hvor mye vil fatet romme?
Løsning
Dersom veggene i fatet er tynne, blir dette omtrent lik volumet av omdreiningslegemet i intervallet
Fatet vil romme omtrent 37 L.
e) Fatet skal belegges utvendig med gull. Hvor stort areal skal dekkes av gull?
Løsning
Dette blir det samme som overflaten av omdreiningslegemet i hele intervallet, det vil si i
Et areal på 108,67 dm2 skal dekkes med gull.
f) Hvorfor får vi problemer med å lage dette fatet nøyaktig etter oppskriften i praksis?
Løsning
Fra oppgave a) og b) har vi at funksjonen
FM-3
Funksjonen
Svar på så mange spørsmål som mulig uten hjelpemidler.
a) Finn nullpunktene til funksjonen.
Løsning
Nullpunkter:
b) Finn eventuelle stasjonære punkter til funksjonen og avgjør hva slags type stasjonære punkter det er.
Løsning
Vi finner de stasjonære punktene der den deriverte er 0.
Stasjonære punkter:
Siden
Den deriverte er negativ på begge sider av nullpunktet
Vi får
et terrassepunkt i
0 , 0 et bunnpunkt i
1 , - 1
c) Finn krumningsforholdene til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkter og likningen for eventuelle vendetangenter.
Løsning
Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.
Vi finner nullpunktene til
Vi tester med
Vi kan tegne fortegnsskjema hvis vi vil, men det er ikke nødvendig. Den andrederiverte skifter fortegn for begge nullpunktene, så vi har to vendepunkt, ett for
Dette betyr at
grafen vender den hule siden opp når
, og nårx < 0 x > 2 3 grafen vender den hule siden ned når
0 < x < 2 3 vi har vendepunkt i
og i0 , 0 2 3 , - 16 27
Siden vendepunktet i origo er et terrassepunkt, vil likningen for tangenten der være
For å finne vendetangenten i det andre vendepunktet må vi regne ut
Vi bruker ettpunktsformelen for å finne vendetangenten, som blir
d) Hva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet
Løsning
Vi har at
Vi regner dette med CAS siden vi skal integrere
Gjennomsnittsverdien
e) Bare for R2: Hva er buelengden til grafen til funksjonen i intervallet
Løsning
Lengden
Vi løser dette integralet med CAS i GeoGebra.
f) Bare for R2: Finn volumet og overflatearealet av det omdreiningslegemet du får når grafen til
Løsning
Vi har fra a) og b) at funksjonen
Volumet til omdreiningslegemet er 1,49, mens overflaten er 7,77.