Funksjonsanalyse og modellering – blandede oppgaver

Her kan det være lurt å velge $$ x$$ lik alderen på bilen.

Åpne CSV-fila i et regneark og kopier cellene over i regnearkdelen til GeoGebra.

Før du gjør det, må du på forhånd passe på at Excel leser punktum som desimalskilletegn. Velg "Fil" på menylinja i Excel, deretter "Alternativer" og så "Avansert". Ta bort markeringen ved "Bruk systemskilletegn", ta bort det som står i feltet "Desimalskilletegn", og skriv et punktum der. Trykk på "OK".

$$ \begin{array}{rcl}\cos 2x & =& {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ & =& {\cos }^{2}x-\left(1-{\cos }^{2}x\right)\\ & =& 2{\cos }^{2}x-1\end{array}$$

Dette gir

$$ {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$$

Funksjonen blir

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 3{\cos }^{2}x-\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x\\ & =& 3\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x\right)-\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x+\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}\end{array}$$

Et ledd med en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon med samme argument (slik som her) kan slås sammen til en enkel sinusfunksjon. Du finner framgangsmåten på teorisiden "Sammenslåing av trigonometriske funksjoner".

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x+\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}\\ & =& A\sin \left(2x+𝜑\right)\end{array}$$

der

$$ \left(a,b\right)=\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{3}{2}\right)$$

og

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}\\ & =& \sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}\\ & =& \sqrt{\frac{12}{4}}\\ & =& \sqrt{3}\end{array}$$

og

$$ \tan 𝜑=\frac{b}{a}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$$

Siden $$ \left(a,b\right)$$ ligger i 2. kvadrant, må $$ 𝜑$$ gjøre det også. Vi får

$$ 𝜑=\frac{2\pi }{3}$$

og funksjonen $$ f$$ kan skrives som

$$ f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Grafen vil ha toppunkter der

$$ \begin{array}{rcl}\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right) & =& 1\\ 2x+\frac{2\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+k·2\pi \\ 2x & =& \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ & =& -\frac{\pi }{6}+k·2\pi \\ & =& \frac{11\pi }{6}+k·2\pi \\ x & =& \frac{11\pi }{12}+k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$$

$$ y$$-verdien til toppunktene blir

$$ \sqrt{3}·1+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$$

Grafen vil ha bunnpunkter midt imellom toppunktene, det vil si når

$$ \begin{array}{rcl}x & =& \frac{11\pi }{12}+k·\pi -\frac{\pi }{2}\\ & =& \frac{11\pi }{6}+k·\pi -\frac{6\pi }{12}\\ & =& \frac{5\pi }{12}+k·\pi \end{array}$$

$$ y$$-verdien til bunnpunktene blir

$$ \sqrt{3}·\left(-1\right)+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Vi får at

• toppunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{11\pi }{12}+k·\pi ,\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)$$

• bunnpunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{5\pi }{12}+k·\pi ,\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)$$

På linje 6 og linje 7 sjekker vi at vi får samme svar for topp- og bunnpunktene som i oppgave d).

Vi lager et program som går systematisk gjennom de aktuelle funksjonsverdiene og plukker ut største og minste funksjonsverdi.

1def T(x):
2  return 0.6*x**3 - 8*x**2 + 28*x + 42
3  
4topp, bunn = 0, 1000
5x_min, x_maks = 1, 8
6x_topp, x_bunn = x_min, x_min
7
8for i in range(x_min, x_maks + 1):
9  if T(i) > topp:
10    x_topp = i
11    topp = T(i)
12  if T(i) < bunn:
13    x_bunn = i
14    bunn = T(i)
15    
16print(f"Aleksander trente mest den {x_topp}. februar, og da trente han i {topp:.1f} minutter.")
17print(f"Han trente minst den {x_bunn}. februar, og da trente han i {bunn:.1f} minutter.")

Vi får denne utskriften:

"Aleksander trente mest den 2. februar, og da trente han i 70.8 minutter.
Han trente minst den 6. februar, og da trente han i 70.8 minutter."

Vi lager et program som summerer funksjonsverdiene for alle $$ x$$-verdiene.

1def T(x):
2  return 0.6*x**3 - 8*x**2 + 28*x + 42
3  
4x_min, x_maks = 1, 8
5sum = 0
6
7for i in range(x_min, x_maks + 1):
8  sum = sum + T(i)
9    
10print(f"Aleksander trente til sammen i {sum/60:.1f} timer.")

Vi får denne utskriften: "Aleksander trente til sammen i 8.2 timer."

Vi skriver tallene inn i regnearket i GeoGebra, markerer tallene og velger "Regresjonsanalyse".

Siden verdien på bilen faller mindre og mindre, kan en eksponentiell modell passe godt. Vi velger regresjonsmodellen "Eksponentiell" og ser at grafen stemmer ganske bra med tallene i tabellen. En matematisk modell som passer godt med tallene, er

$$ V\left(x\right)=604 581·0,{85}^x$$

der $$ x$$ er antall år etter 2012.

Siden modellen er en eksponentialfunksjon, reduseres bilen i verdi med en fast prosent hvert år. Siden vekstfaktoren er 0,85, synker bilen i verdi med 15 prosent hvert år.

Vi velger å løse oppgaven med CAS.

Bilens verdi ble halvert etter litt over 4 år, det vil si utpå våren i 2016.

Vi vet at en slik eksponentialfunksjon synker raskere jo mindre $$ x$$ er. Oppgaven spør derfor etter momentan vekstfart når $$ x=0$$.

Vi velger å løse oppgaven med CAS.

Bilen synker mest i verdi når den er helt ny, og da synker den i verdi per år med 98 200 kroner, eller nesten 100 000 kroner.

Oppgaven spør etter den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen i intervallet $$ \left[0,10\right]$$.

I gjennomsnitt sank bilen i verdi hvert år de 10 første årene med 48 500 kroner, eller nesten 50 000 kroner.

Oppgaven spør etter når den momentane vekstfarten til funksjonen er lik den gjennomsnittlige vekstfarten, altså når den er lik svaret i forrige oppgave.

I året 2016 var verditapet per år omtrent lik det gjennomsnittlige verditapet de 10 første årene.

Vi leser inn datafila med metoden "read_csv" fra biblioteket "pandas". Vi skriver ut resultatet av importen for å sjekke at importen gikk greit (linje 13). Så bruker vi metoden "curve_fit" fra biblioteket "scipy" og velger å gjøre en sinusregresjon på tallene. (Vi kunne også valgt en tredjegradsfunksjon som modell.) Regresjonen feiler hvis vi ikke spesifiserer startverdier for regresjonskonstantene med kodeordet p0 (linje 19). Det holder å sette nye startverdier for A og for k. Nedenfor finner du fullstendig kode.

1from pandas import read_csv
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def modell(x,A,k,fi,d):
8    return A*np.sin(k*x + fi) + d
9
10        # leser inn datafila
11data = read_csv("nedboer.csv", sep=";", header = None)
12
13        # lager nye kolonneoverskrifter til datatabellen
14data.columns = ["Timer_etter_midnatt", "Nedbør_i_mm"]
15
16        # lager lister av måledataene
17timer = list(data.Timer_etter_midnatt)
18nedboer = list(data.Nedbør_i_mm)
19
20        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
21konstanter,kovarians = curve_fit(modell, timer, nedboer,p0 = [0.5,0.3,1,1])
22
23        # henter ut konstantene fra lista konstanter
24A, k, fi, d = konstanter
25
26        # lager utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
27print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.3f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}.")
28
29        # lager x- og y-verdier for modellen til plottingen av den
30x = np.arange(0,24+0.1, 0.1)
31modellverdier = modell(x,A,k,fi,d)
32
33        # plotter måledataene    
34plt.plot(timer,nedboer,'.', label = "Målinger")
35
36        # plotter modellen
37plt.plot(x, modellverdier, "brown", label = "Modell")
38plt.grid(True)
39plt.title("Nedbør gjennom et døgn")
40plt.xlabel("Timer etter midnatt")
41plt.ylabel("Nedbør (mm/t)")
42
43        # lager forklaringsboks og flytter den øverst til høyre
44plt.legend(bbox_to_anchor=(1,1))
45
46        # endrer på skalaen på x-aksen til å passe bedre med klokka
47plt.xticks(np.arange(min(timer)-1, max(timer)+1, 2.0))
48plt.show()

Programmet gir denne utskriften:

"Funksjonen blir $$ f\left(x\right)=-0,507\sin \left(0,325x+1,70\right)+1,48$$."

Vi tar utgangspunkt i programmet i oppgave a), fjerner den koden som har med plotting av grafen å gjøre, og legger til koden nedenfor.

1        # lager variabler til å regne ut et integral som en rektangelsum
2x_start = 0
3delta_x = 0.001
4x_verdi = x_start
5integral = 0
6
7        # lager while-løkke for å summere rektanglene
8while x_verdi <= 24:
9  integral = integral + modell(x_verdi,A,k,fi,d)*delta_x
10  x_verdi = x_verdi + delta_x
11
12print(f"Nedbørsmengden dette døgnet var {integral:.1f} mm regnet ut som integral ved hjelp av modellen.")
13
14        # summerer målingene
15print(f"Nedbørsmengden dette døgnet var {sum(nedboer)} mm regnet ut fra måledataene.")

Koden gir utskriften nedenfor:

"Nedbørsmengden dette døgnet var 34.2 mm regnet ut som integral.
Nedbørsmengden dette døgnet var 34.5 mm regnet ut fra måledataene."

Her kan vi ikke bruke gjennomsnittsverdien til sinusfunksjonen, det vil si konstantleddet, som mål på gjennomsnittlig nedbør per time siden perioden til funksjonen ikke går opp i 24 timer. Vi bruker tallene fra forrige oppgave og setter inn koden nedenfor i programmet.

1print(f"Gjennomsnittlig nedbør per time ut ifra modellen er {integral/24:.2f} mm.")
2print(f"Gjennomsnittlig nedbør per time ut ifra målingene er {sum(nedboer)/24:.2f} mm.")

Koden gir utskriften nedenfor:

"Gjennomsnittlig nedbør per time ut ifra modellen er 1.43 mm.
Gjennomsnittlig nedbør per time ut ifra målingene er 1.44 mm."

Vi kan finne toppunktet på sinusfunksjonen med numeriske metoder. Men det er enklere å bruke at funksjonen har et toppunkt når argumentet til sinusfunksjonen er $$ \frac{3\pi }{2}$$ (siden konstanten $$ A$$ er negativ). Dette gir at funksjonen har toppunkt for

$$ x=\frac{{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-𝜑}{k}$$

For å finne største verdi for nedbør i målingene bruker vi listekommandoene "max()" og "index()".

Vi setter inn koden nedenfor i programmet.

1        # finner toppunktet til modellen
2nedboer_maks_modell = (3*np.pi/2-fi)/k
3print(f"Det regnet mest {nedboer_maks_modell:.2f} timer etter midnatt etter modellen,")
4print(f"og da regnet det {modell(nedboer_maks_modell,A,k,fi,d):.2f} mm per time.")
5        # finner største tall for nedbør i målingene
6maks_nedboer = max(nedboer)
7        #finner plasseringen til største tall for nedbør i målingene
8maks_nedboer_indeks = nedboer.index(maks_nedboer)
9print(f"Det regnet mest {timer[maks_nedboer_indeks]} timer etter midnatt etter målingene,")
10print(f"og da regnet det {maks_nedboer} mm per time.")

Koden gir denne utskriften:

"Det regnet mest 9.28 timer etter midnatt etter modellen,
og da regnet det 1.99 mm per time.
Det regnet mest 10 timer etter midnatt etter målingene,
og da regnet det 2.1 mm per time."

Vi kopierer måledataene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer og bruker regresjonsverktøyet med valget "Sin". Modellfunksjonen blir

$$ f\left(x\right)=1,482+0,507\sin \left(0,325x-1,45\right)$$

Legg merke til at funksjonsuttrykket ikke er det samme som vi fikk med regresjon med Python, men funksjonene kan skrives om til den andre ved å bruke at $$ A\sin \left(kx+𝜑\right)=-A\sin \left(kx+𝜑\pm \pi \right)$$.

Bruk av måledataene

Vi finner total nedbørsmengde ved å markere alle tallene for nedbør og velge "Sum" fra verktøyknappen Σ eller ved å bruke formelen =Sum(B1:B24) (dersom tallene er i disse cellene). Vi får at det regnet totalt 34,5 mm dette døgnet. Den største målingen kan vi finne ved å markere tallene og velge "Maksimum" fra den samme verktøyknappen eller bruke formelen =Maks(B1:B24). I begge tilfeller får vi at den største måleverdien er 2,1 mm. Den gjennomsnittlige nedbøren per time kan vi finne ved å markere tallene og velge "Gjennomsnitt" fra den samme verktøyknappen eller bruke formelen =gsnitt(B1:B24). I begge tilfeller får vi at i gjennomsnitt regnet det 1,438 mm per time.

Bruk av modellen

Vi bruker CAS.

Vi får at den totale nedbørsmengden er 34,2 mm ifølge modellen. I gjennomsnitt regnet det 1,43 mm per time dette døgnet. Det regnet mest 9,3 timer etter midnatt, og da regnet det 1,99 mm per time. Dette er de samme tallene som vi fikk ved å bruke Python.

Vi åpner GeoGebra-fila, markerer tallene i regnearkdelen og velger regresjonsanalyseverktøyet. Der velger vi sinusregresjon. En modell $$ T_1$$for temperaturen dette døgnet er

$$ T_1\left(x\right)=27,0+5,99\sin \left(0,262x-2,36\right)$$

Vi finner perioden $$ p$$ ut ifra konstanten $$ k$$ (frekvensen) foran $$ x$$ i argumentet til sinusfunksjonen med formelen $$ p=\frac{2\pi }{k}$$.

Perioden er 24,0 timer eller ett døgn.

Den nye funksjonen $$ T_2\left(x\right)$$ må ha samme periode og faseforskyvning som $$ T_1\left(x\right)$$ siden topp- og bunnpunktet skal være på samme sted. Det betyr at koeffisientene inne i argumentet til sinusfunksjonen skal være uendret.

Vi må regne ut ny likevektslinje $$ d$$ og amplitude $$ A$$.

Perioden til begge funksjonene er så godt som ett døgn. Da er konstandleddet $$ d$$ i funksjonene et mål på gjennomsnittstemperaturen siden funksjonen svinger like mye opp som ned når vi går et helt antall perioder bortover.

På det første feriestedet var gjennomsnittstemperaturen 27,0 °C. På det andre feriestedet var gjennomsnittstemperaturen 26,0 °C. I gjennomsnitt var det derfor 1 grad varmere på det første feriestedet enn det andre dette døgnet.

Vi skal komme fram til en generell sinusfunksjon

$$ h\left(t\right)=A\sin \left(kt+𝜑\right)+d$$

for høyden $$ h$$ til punktet over bakken. Perioden $$ p$$ til sinusfunksjonen må være det samme som den tida det tar for hjulet å rotere én omdreining. Da har bilen kjørt med farten $$ v$$ en strekning lik omkretsen $$ O$$ av hjulet.

$$ p=\frac{O}{v}=\frac{\pi d}{v}$$

Frekvensen $$ k$$ blir

$$ k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi d}{v}}}=\frac{2v}{d}=\frac{2·10 \mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,52 \mathrm{m}}=38,46 {\mathrm{s}}^{-1}$$

Måleenheten $$ {\mathrm{s}}^{-1}$$ kalles også Hz (hertz). Amplituden $$ A$$ og likevektslinja $$ d$$ blir det samme som radien i hjulet. Modellen før vi bestemmer $$ 𝜑$$, blir

$$ h\left(t\right)=0,26\sin \left(38,46t+𝜑\right)+0,26$$

For å bestemme $$ 𝜑$$ kan vi for eksempel si at punktet på hjulet er på bakken når $$ t=0$$. Det gir

$$ \begin{array}{rcl}h\left(0\right) & =& 0\\ 0,26\sin \left(38,46·0+𝜑\right)+0,26 & =& 0\\ \sin 𝜑+1 & =& 0\\ \sin 𝜑 & =& -1\\ 𝜑 & =& \frac{3\pi }{2}\end{array}$$

Modellen blir

$$ h\left(t\right)=0,26\sin \left(38,46t+\frac{3\pi }{2}\right)+0,26$$

Løsning ved bruk av modellen

Fra $$ t=0$$ til $$ t=1$$ har vinkelen, argumentet til sinusfunksjonen, økt fra 0 til 38,46. Dette tilsvarer $$ \frac{38,46}{2\pi }=6,1$$ omdreininger.

Løsning ved bruk av farten og omkretsen til hjulet

På ett sekund kjører bilen 10 m. Vi må finne ut hvor mange hjulomkretser det går på 10 m.

$$ \frac{10}{\pi ·d}=\frac{10}{\pi ·0,52}=6,1$$

Den nye modellen for ventilen vil ha samme frekvens som modellen for punktet ytterst på dekket siden ventilen roterer like fort som punktet. Modellen vil også ha samme likevektslinje siden ventilen er like langt over høyden til sentrum i hjulet som under. Vi kan bruke samme faseforskyvning hvis vi antar at ventilen ligger på linja mellom sentrum og punktet ytterst på dekket. Den eneste forskjellen blir amplituden, som blir $$ \frac{d}{2}-7=\frac{0,52}{2}-0,07=0,19$$. Modellen blir

$$ h_v\left(t\right)=0,19\sin \left(38,46t+\frac{3\pi }{2}\right)+0,26$$

$$ f\left(85\right)$$ betyr når lyset skal slås på $$ 85=2·30+25$$ dager etter nyttår, det vil si 25. mars. Da skal lyset slås på klokka 18.39.

Ut ifra funksjonsuttrykket til $$ f$$ får vi at amplituden er 4 timer og likevektslinja er $$ y=19$$. Perioden $$ p$$ er

$$ p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi }{180}}}=2·180=360$$

Perioden er 360 dager, som er naturlig siden det er forutsatt at månedene har 30 dager slik at ett år blir $$ 12·30=360$$.

Siden vi skal finne gjennomsnittet i løpet av én periode til funksjonen, er likevektslinja målet på gjennomsnittet. Det gjennomsnittlige tidspunktet i løpet av året for når lyset slås på, er klokka 19.00.

Vi løser likningen $$ f\left(t\right)=18$$ i linje 4. Fra linje 5 får vi løsning når $$ k_1=1$$ for den første løsningen og $$ k_1=0$$ for den andre.

$$ 76=2·30+16 , 284=9·30+14$$

Lyset slås på klokka 18 den 16. mars og den 14. oktober.

Dagslyset varer lengst når lyset blir slått på senest, det vil si der funksjonen $$ f$$ har et toppunkt. Funksjonen har et toppunkt når cosinusfunksjonen har verdien $$ -1$$, det vil si når argumentet er π. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{180}·t & =& \pi \\ t & =& 180\end{array}$$

Dagslyset varer lengst 180 dager etter nyttår, det vil si den 30. juni ifølge modellen.

Vi setter at den nye modellen $$ g\left(t\right)$$ skal være på formen

$$ g\left(t\right)=A\cos \left(kt+𝜑\right)+d$$

Vi antar at amplituden og likevektslinja er de samme som i modellen $$ $$$$ f$$. Den nye funksjonen $$ g$$ må ha periode på 365 dager. Det betyr at

$$ k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{365}$$

Funksjonen $$ g$$ skal bunnpunkt for $$ t=365-(31-21)=355$$. Det betyr at

$$ \frac{2\pi }{365}·355+𝜑 = 0$$

En modell som passer bedre til kalenderåret slik det er, er

$$ g\left(t\right)=19-4\cos \left(\frac{2\pi }{365}·t-\frac{142\pi }{73}\right)$$

Vi skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Vi har at den største verdien for funksjonen er når sinus er 1, og da er det første leddet i funksjonen lik amplituden til sinusfunksjonen, det vil si 6,63. Den største verdien får vi da ved å legge til det konstante leddet 12,5. Tilsvarende har funksjonen den minste verdien når sinus er $$ -1$$. Da blir det første leddet lik $$ -6,63$$.

Fra linje 1 og 2 får vi at den lengste daglengden i Bergen er 19 timer og 8 minutter, mens den korteste daglengden er 5 timer og 52 minutter (linje 3 og 4).

Vi skriver inn linja $$ y=14$$ i algebrafeltet og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" på linja og funksjonen $$ D\left(t\right)$$.

Daglengden i Bergen er 14 timer 94 dager etter nyttår og 250 dager etter nyttår.

Vi tegner den deriverte ved å skrive D'(t) i algebrafeltet og finner toppunktet til den deriverte med kommandoen Ekstremalpunkt(D'(t),50,150).

Daglengden øker mest 81 dager etter nyttår, det vil si den 22. mars, og da øker den med 0,114 timer eller omtrent 7 minutter per døgn.

Likevektslinje: Siden høyden skal måles fra likevektslinja, blir $$ d=0$$.

Amplitude: $$ A=\frac{2,4}{2}=1,2$$

Periode: Når bøyen beveger seg fra høyeste til laveste punkt, har den beveget seg en halv periode. Dette gir $$ p=4·2=8$$. Dermed er frekvensen

$$ c=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$$

Faseforskyvning: Når bøyen er på sitt høyeste punkt, har vi at sinusuttrykket er lik 1. Da må vinkelen være $$ \frac{\pi }{2}$$. Siden bøyen er på sitt høyeste punkt når $$ t=0$$, får vi

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}·0+𝜑 & =& \frac{\pi }{2}\\ 𝜑 & =& \frac{\pi }{2}\end{array}$$

Funksjonsuttrykket til $$ f$$ blir

$$ f\left(t\right)=1,2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Når funksjonen er på likevektslinja, er $$ f\left(t\right)=0$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}f\left(t\right) & =& 0\\ 1,2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& 0\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& k·\pi \\ \frac{1}{4}t & =& -\frac{1}{2}+k \\ t & =& -2+4k\end{array}$$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Vi får løsning i det aktuelle området for $$ k\in \left\{1,2,3\right\}$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& 1: t=4·1-2=2\\ k & =& 2: t=4·2-2=6\\ k & =& 3: t=4·3-2=10\end{array}$$

Bøyen er på likevektslinja etter 2 s, 6 s og etter 10 s.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(t\right) & =& 0,6\\ 1,2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& 0,6\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& \frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee \frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} = \frac{5\pi }{6}+k·2\pi \\ \frac{1}{4}t & =& \frac{1}{6}-\frac{3}{6}+2k =-\frac{1}{3}+2k\\ t & =& -\frac{4}{3}+8k\\ & & \vee \\ \frac{1}{4}t & =& \frac{5}{6}-\frac{3}{6}+2k =\frac{1}{3}+2k \\ t & =& \frac{4}{3}+8k\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Vi må se etter løsninger i intervallet $$ \left[0,10\right]$$. Den første løsningen gir oss løsning for $$ k=1$$. Den andre gir løsning for $$ k=0 \vee k=1$$. Dette gir

$$ t=-\frac{4}{3}+8=-\frac{4}{3}+\frac{24}{3}=\frac{20}{3}$$

$$ t=\frac{4}{3}$$

$$ t=\frac{4}{3}+8=\frac{4}{3}+\frac{24}{3}=\frac{28}{3}$$

Bøyen er 0,6 m over likevektslinja etter $$ \frac{4}{3} \mathrm{s}=1,3 \mathrm{s}$$, etter $$ \frac{20}{3} \mathrm{s}=6,7 \mathrm{s}$$ og etter $$ \frac{28}{3} \mathrm{s}=9,3 \mathrm{s}$$.

Funksjonen $$ v\left(t\right)$$ for farten til bøyen i loddrett retning er den deriverte av posisjonen i loddrett retning, det vil si $$ f^{\text{'}}\left(t\right)$$.

$$ v\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)=1,2\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)·\frac{\pi }{4}=0,3\pi \cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Størst fart vil si at vi må finne når fartsfunksjonen har sin største og minste verdi. Funksjonen vil ha sin største og minste verdi når cosinusfunksjonen har verdien 1 og $$ -1$$, det vil si når

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& k·\pi \\ \frac{1}{4}t & =& k-\frac{1}{2}\\ t & =& 4k-2\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Dette gir de samme løsningene som i oppgave b). Vi får at bøyen har størst fart etter 2 s, etter 6 s og etter 10 s, det vil si når bøyen krysser likevektslinja.

Funksjonen $$ a\left(t\right)$$ for den loddrette akselerasjonen til bøyen er

$$ a\left(t\right)=v^{\text{'}}\left(t\right)=-0,3\pi \sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)·\frac{\pi }{4}=-0,75{\pi }^2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Størst akselerasjon vil si at vi må finne når akselerasjonsfunksjonen har sin største og minste verdi. Funksjonen vil ha sin største og minste verdi når sinusfunksjonen har verdien 1 og $$ -1$$, det vil si når

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& \frac{\pi }{2}+k·\pi \\ \frac{1}{4}t & =& k\\ t & =& 4k\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Vi må se etter løsninger i intervallet $$ \left[0,10\right]$$. Vi får løsninger for $$ k\in \left\{0,1,2\right\}$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& 0: t=4·0=0\\ k & =& 1: t=4·1=4\\ k & =& 2: t=4·2=8\end{array}$$

Vi får at bøyen har størst akselerasjon etter 0 s, etter 4 s og etter 8 s. Dette er tidspunkter midt mellom tidspunktene der bøyen krysser likevektslinja, som betyr at bøyen er i et toppunkt eller et bunnpunkt.

Vi markerer tallene i regnearkdelen i GeoGebra og velger regresjonsanalyseverktøyet. Siden vi skal fram til en trigonometrisk funksjon, bruker vi regresjonsmodellen "Sin".

En funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen, er

$$ g\left(x\right)=1108,5+442,9\sin \left(0,520x+1,164\right)$$

Vi skriver inn modellen $$ f\left(t\right)$$ i CAS og finner nullpunktene til den dobbeltderiverte.

I linje 4 ser vi ved hvilket av nullpunktene grafen er stigende. Forbruket øker raskest i måned nummer 10, som er oktober.

Legg merke til at vi bruker sløyfeparenteser i linje 2 for å kunne legge inn begrensninger for $$ t$$.

Vi kunne også ha løst oppgaven ved å bruke at sinusfunksjonen endres raskest på likevektslinja, det vil si når argumentet til sinusfunksjonen er $$ k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Funksjonen $$ f$$ står for energiforbruk per måned. Når vi integrerer den, får vi derfor samlet mengde energiforbruk, og integralet blir derfor det totale energiforbruket året 2019. Det samlede energiforbruket var 15 547 kWh.

Det gjennomsnittlige energiforbruket per måned i 2019 var 1 296 kWh.

Vi finner kostnadene for en måned ved å regne ut $$ f\left(t\right)·p\left(t\right)$$. Når vi skal finne total kostnad for hele året, blir dette samlet mengde av produktet $$ f\left(t\right)·p\left(t\right)$$, som vi regner ut ved å integrere fra 0 til 12.

Den årlige energikostnaden er 13 941 kroner.