Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde og verdimengde
Vi skal illustrere hva en funksjon er, med noe vi kan kalle en funksjonsmaskin. Vi tenker oss at vi putter en tallverdi inn i maskinen og får en tallverdi ut på den andre siden. Det som foregår inni maskinen, er den matematiske funksjonen.
🤔 Tenk over: Hva tror du har skjedd inni de to funksjonsmaskinene? Prøv å forklare med ord hvilke operasjoner som har blitt gjort.
Vi kaller den verdien vi legger inn i funksjonen, for den uavhengige variabelen. Oftest bruker vi
I forklaringen over beskrev vi sammenhengen mellom to variabler, x og y, først med ord, og så viste vi med regning. Sammenhengen mellom en uavhengig og en avhengig variabel kan beskrives på flere forskjellige måter. Vi sier at vi representerer funksjonen på ulike måter. Vi skal ta for oss fire ulike måter å representere en matematisk funksjon på, med utgangspunkt i et eksempel.
Tenk deg at du er på en joggetur der du holder en konstant fart. Etter joggeturen er du interessert i å finne ut hvor langt du har løpt ved ulike tidspunkter.
Hvor langt har du løpt etter
Hvor langt har du løpt etter
Hvor langt har du løpt etter
Vi lar den totale strekningen være 16 000 m og den totale tida være 100 minutter.
Vi kan finne ut hvor langt vi har løpt per minutt:
Dette innebærer at hvis du vet hvor lenge du har løpt, kan du finne ut hvor langt du har løpt, og vi sier at strekningen er en funksjon av tida. Da blir strekningen vi har løpt etter t minutter,
Tekst
Vi kan beskrive funksjonen
Funksjonsuttrykk
Når du kjenner den konstante farten, 160 meter per minutt, kan du regne ut hvor lang strekning,
Uttrykket til høyre for likhetstegnet,
Etter 10 minutter har du løpt 1 000 meter, og etter 50 minutter har du løpt 8 000 meter. Vi leser
Tabell
Sammenhengen mellom tida og strekningen du har løpt, kan også representeres i en tabell. Verditabellen nedenfor viser et utvalg av sammenhørende verdier for den uavhengige og den avhengige variabelen, det vil si
|
|
---|---|
Denne tabellen inneholder bare noen av de verdiene som hører sammen, så uten mer kjennskap til sammenhengen, vet vi ikke sikkert hvordan sammenhengen er i resten av definisjonsområdet. Oftest kan vil likevel bruke tabellen til å si noe om sammenhengen mellom de to variablene.
Graf
Den siste av de fire måtene å representere sammenhengen mellom de to størrelsene tida (
Legg merke til at vi har navn på aksene som viser både de matematiske navnene på variablene,
Definisjonsmengde og verdimengde er to viktige begreper når vi jobber med funksjoner. Disse to mengdene sier noe om hvilke tall som kan puttes inn i og komme ut av funksjonsmaskinen.
Definisjonsmengde
Joggeren i eksempelet vårt jogget i 100 minutter, det vil si 1 time og 40 minutter. Det vil si at det bare er i denne tida vi kan si noe om hvilken strekning som er tilbakelagt. Funksjonen vår vil ikke kunne si noe om hvor joggeren var ti minutter før joggeturen begynte, og siden joggeturen var slutt etter 100 minutter, vet vi heller ikke noe om hva som skjer etter denne tida. Det betyr at funksjonen kun gjelder for dette intervallet. Matematisk kan vi skrive
Definisjonsmengden forteller oss hvilke verdier vi kan putte inn i funksjonen.
Verdimengde
Joggeren i eksempelet løper 16 000 m i løpet av de 100 minuttene som inngår i definisjonsmengden til funksjonen. Den minste verdien vi kan regne ut, er hvis vi sjekker hvor langt joggeren har løpt etter 0 minutter, det vil si 0 m. Den største verdien vi kan få ut, er 16 000 m, som er avstanden joggeren har tilbakelagt etter 100 minutter. Negative verdier eller verdier høyere enn 16 000 m er umulig å få ut av funksjonen vår, siden funksjonen bare er definert for
Verdimengden forteller oss hvilke verdier vi kan få ut av funksjonen.
Øverst i denne artikkelen sammenliknet vi en funksjon med en maskin som får inn et tall, gjør noe med det og så gir et nytt tall i den andre enden. For at denne maskinen ikke skal bli forvirret og gå i stykker, må det være slik at hver gang vi putter et bestemt tall inn i maskinen, får vi alltid det samme tallet ut. Det vil si at hvis vi for eksempel putter inn tallet 2 og får ut tallet 4 én gang, må vi få 4 hver gang vi putter inn 2. Vi sier at en funksjon er entydig.
🤔 Tenk over: Hvilke av grafene nedenfor tror du kan være representasjoner av funksjoner?
🤔 Tenk over: Vi sier at hver x-verdi kun kan gi én y-verdi. Men gjelder dette også den andre veien, tror du?