Oppgaver og aktiviteter

Andre typer modeller og mønstre

Oppgave 3.3.60 og 3.3.61 gjør du uten hjelpemidler, men resten oppgavene kan du løse med hjelpemidler.

3.3.60

Vi har tallrekka $3 + 7 + 11 + 15 + . . .$

a) Hvilket mønster følger denne tallrekka? Hva blir de to neste leddene?

Løsning

Differansen mellom hvert ledd er 4. De to neste leddene blir 19 og 23.

b) Vis at ledd nummer $n$ i tallrekka er gitt ved formelen $a_{n} = 4 n - 1$ .

Løsning

Vi kan sette opp tallene i et mønster.

Tall nummer 1: $3 = 4 \cdot 1 - 1$

Tall nummer 2: $7 = 4 \cdot 2 - 1$

Tall nummer 3: $1 = 4 \cdot 3 - 1$

Tall nummer 4: $15 = 4 \cdot 4 - 1$

For å finne tall nummer 4 ser vi at vi må multiplisere 4 med 4 og trekke fra 1. På samme måte finner vi tall nummer $n$ ved å multiplisere $n$ med 4 og trekke fra 1.

3.3.61

Vi har tallrekka $2 + 4 + 8 + 16 + . . .$

a) Hvilket mønster følger denne tallrekka? Hva blir de to neste leddene?

Løsning

Hvert ledd multipliseres med 2 for å finne det neste leddet i rekka. De neste to leddene blir 32 og 64.

b) Vis at ledd nummer $n$ i tallrekka er gitt ved formelen $a_{n} = 2^{n}$ .

Løsning

Vi kan sette opp tallene i et mønster.

Tall nummer 1: $2 = 2^{1}$

Tall nummer 2: $4 = 2 \cdot 2 = 2^{2}$

Tall nummer 3: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$

Tall nummer 4: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$

Vi ser at for hvert nytt ledd i tallrekka må vi multiplisere med 2. Tall nummer $n$ får vi ved å multiplisere $n$ antall 2-tall med hverandre, som er det samme som $2^{n}$ .

3.3.62

Retangeltall R1, R2, R3. Illustrasjon. — Retangeltall

Rektangeltallene kan framstilles slik figuren viser.

Vi kaller det første rektangeltallet $R_{1} = 2$ , det neste rektangeltallet kaller vi $R_{2} = 6$ , det tredje rektangeltallet kaller vi $R_{3} = 12$ og så videre.

a) Forklar hva vi gjør for å komme fra en figur til den neste. Hva er mønsteret i det vi gjør?

Løsning

For å komme fra et tall til det neste, legger vi til en kolonne og en rad.

b) Forklar at det fjerde rektangeltallet inneholder 20 prikker.

Løsning

Det øker med én rad og én kolonne for hvert tall. Det fjerde rektangeltallet har dermed 4 rader og 5 kolonner.

Tallet blir dermed $R_{4} = 4 \cdot 5 = 20$ .

c) Gitt tabellen nedenfor.

Rektangeltall nummer	1	2	3	4	5	6	8
Antall prikker	2	6	12	20	30	42	72

Plott punktene i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver antall prikker i rektangeltallene. La $x$ være nummeret på rektangeltallet, og la $P (x)$ være antall prikker i tallet.

Løsning

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet. Ved å prøve med ulike regresjonstyper får vi at andregradsfunksjonen

$P (x) = x^{2} + x$

passer helt perfekt med verdiene i tabellen.

Grafen til funksjonen P av x er lik x i andre pluss x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 8. I tillegg er punktene fra tabellen i oppgaven plottet inn. Skjermutklipp. — Sammenhengen mellom rektangeltallnummer og antall prikker i rektangeltallet

3.3.63

Vinkelsummen i en trekant er 180°, i en firkant er vinkelsummen 360°, og i en femkant er vinkelsummen 540°.

a) Lag en formel som viser vinkelsummen i en mangekant med n antall sider.

Løsning

Vi ser at vinkelsummen øker med 180° fra trekant til firkant og fra firkant til femkant. Vi får videre at

vinkelsummen til en trekant er $180 ° = 1 \cdot 180 °$
vinkelsummen til en firkant er $360 ° = 2 \cdot 180 °$
vinkelsummen til en femkant er $540 ° = 3 \cdot 180 °$

Vi får at vi må multiplisere 180° med et tall som er 2 mindre enn antall kanter i mangekanten. Formelen for vinkelsummen $V$ i en $n$ -kant blir derfor

$V = (n - 2) \cdot 180 °$

I en regulær mangekant er vinklene like store. For eksempel er vinklene i en regulær trekant 60°, i en regulær firkant er vinklene 90°, og i en regulær femkant er vinklene 108°.

b) Finn et uttrykk som viser vinkelen i en regulær femkant og en regulær sjukant. Kan du tenke deg hva som kan være en formel for vinkelen i en regulær $n$ -kant?

Løsning

Figuren viser en regulær femkant der det i tillegg går linjestykker fra hvert hjørne til sentrum i femkanten. Vinklene mellom en sidekant og et linjestykke kalles u, og vinkelen mellom to nabo-linjestykker kalles w. Illustrasjon.

Vi kaller vinkelen i en regulær femkant for $v$ . En regulær femkant består av 5 helt like (kongruente) likebeinte trekanter. I hver trekant er $u + u + w = 2 u + w = 180 °$ . Er du enig i at $v = 2 u$ ? Da kan vi skrive

$\begin{array}{rcl} v + w & = & 180 ° \\ v & = & 180 ° - w \end{array}$

Hvis vi ser på sentrum i femkanten, har vi også at $5 w = 360 °$ . Dette gir

$w = \frac{360 °}{5}$

Setter vi dette inn i likningen over, får vi at

$v = 180 ° - \frac{360 °}{5}$

Vi kan regne ut svaret til 108°, men her er poenget å komme fram til en formel.

Hvis vi gjør det samme som over med en regulær sjukant, får vi at

$v = 180 ° - \frac{360 °}{7}$

Vi får derfor at vinkelen $v$ i en regulær $n$ -kant blir

$v = 180 ° - \frac{360 °}{n}$

3.3.64

Sammenhengen mellom temperatur målt i fahrenheit, $F$ , og celsius, $C$ , er gitt ved formelen

$F = 1, 8 C + 32$

a) Hvor mange grader fahrenheit har vi når vi har 0 grader celsius?

Løsning

$F = 1, 8 C + 32 = 1, 8 \cdot 0 + 32 = 32$

Vi har 32 grader fahrenheit ved 0 grader celsius.

b) Løs formelen med hensyn på $C$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} F & = & 1, 8 C + 32 \\ 1, 8 C & = & F - 32 \\ C & = & \frac{F - 32}{1, 8} \end{array}$

c) Hvor mange grader celsius har vi når temperaturen er 65 grader fahrenheit?

Løsning

$\begin{array}{rcl} C & = & \frac{F - 32}{1, 8} \\ = & \frac{65 - 32}{1, 8} = \frac{33}{1, 8} = 18, 33 \end{array}$

Ved 65 grader fahrenheit har vi godt og vel 18 grader celsius.

3.3.65

Skriv opp alle oddetallene til og med 29. Det første tallet er 1. Hva er summen av de to neste oddetallene? Hva er summen av de tre neste? Fortsett etter samme mønster. Ser du noe mønster i summene du får?

$\underset{1}{\underset{︸}{1}} \underset{8}{\underset{︸}{3 5}} \underset{?}{\underset{︸}{7 9 11}} 13 . . .$

Løsning

$\begin{matrix} n & a^{n} & a^{n} & a^{n} \\ 1 & 1 & 1 & 1^{3} \\ 2 & 3 + 5 & 8 & 2^{3} \\ 3 & 7 + 9 + 11 & 27 & 3^{3} \\ 4 & 13 + 15 + 17 + 19 & 64 & 4^{3} \\ 5 & 21 + 23 + 25 + 27 + 29 & 125 & 5^{3} \end{matrix}$

Summene utgjør kubikktallene, $n^{3}$ .

3.3.66 Bytur i Kristiansand

Figur med flere kvadrater. Seks kvadrater i midten er grønne. Rundt disse seks grønne kvadratene er det en ramme på fjorten hvite kvadrater. Punkt A ligger øverst til venstre der hjørnene på et grått hjørnekvadrat og et grønt hjørnekvadrat møtes. Punkt B ligger nederst til høyre der hjørnene på et grått hjørnekvadrat og et grønt hjørnekvadrat møtes. Punkt A og B er merket med blått. Illustrasjon. — Kvadraturen

Gatebildet i sentrum av Kristiansand, kvadraturen, er regelmessig bygd opp med rette gater der gater som krysser hverandre danner vinkler på omtrent 90 grader. "Kvartalene", områdene avgrenset av gater, har tilnærmet form av rektangler.

Vi tenker oss nå byen enda mer regelmessig slik at alle "kvartaler" har en kvadratisk grunnflate.

Tenk deg at du skal gå fra gatehjørne A til gatehjørne B.

a) Hvor mange forskjellige "korteste veier" er det mellom A og B?

Løsning

Vi tegner opp alle muligheter og finner av figuren nedenfor at det er 10 forskjellige "korteste veier".

Figur sammensatt av 10 ulike figurer som hver viser 6 kvadrater satt sammen i mønster 2 ganger 3 og ulike måter å komme fra øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne på om man går langs sidekantene på kvadratene. Illustrasjon.

Det er seks "kvartaler" (grønne kvadrater) i rektanglet som dannes av gatehjørnene A og B, som er start- og sluttpunktene for turen.

b) Er det andre muligheter for formen til rektanglet som dannes av gatehjørnene A og B når det skal inneholde seks "kvartaler"? Hvor mange "korteste veier" får vi da? Lag tegninger som viser disse veiene.

Løsning

Figur som viser 6 grønne kvadrater satt sammen etter hverandre. Øverste venstre hjørne og nederste høyre hjørne er markert. Illustrasjon.

Vi kan sette sammen kvadratene etter hverandre. Det blir nå 7 "korteste veier".

Figur sammensatt av 7 ulike figurer som hver viser 6 grønne kvadrater satt sammen etter hverandre og ulike måter å komme fra øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne på når man går langs sidekantene på kvadratene. Illustrasjon.

c) Prøv å finne antall "korteste veier" når antall "kvartaler" som omsluttes av gatehjørnene A og B varierer fra 1 til 9. Skriv svarene i en tabell som den nedenfor, der vi har fylt ut svaret for 6 kvartaler ut ifra oppgave a) til c). Finner du noe mønster i dine oppdagelser?

Antall kvartaler som omsluttes	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Antall korteste veier						7 og 10

Løsning

Antall kvartaler som omsluttes	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Antall korteste veier	2	3	4	5 og 6	6	7 og 10	8	9 og 15	10 og 20

Når antall kvartaler som omsluttes, er primtall, er antall korteste veier lik antall kvartaler pluss 1. Når antall kvartaler som omsluttes er et sammensatt tall, får vi flere muligheter for antall korteste veier.

d) Kan du si noe om sammenhengen mellom antall kvartaler som omsluttes og formen på de omsluttende kvartalene?

Løsning

Når antall kvartaler som omsluttes er primtall, blir formen en lang "tarm". Når antall kvartaler som omsluttes kan faktoriseres, får vi flere muligheter. Måten tallene kan faktoriseres på, angir formen. Når vi har 6 kvartaler som ovenfor, får vi to muligheter siden 6 kan faktoriseres på 2 måter, $6 = 6 \cdot 1$ og $6 = 2 \cdot 3$ .

e) Det viser seg at tallene i Pascals talltrekant forteller hvor mange "korteste veier" som leder fra toppen og fram til et krysningspunkt i talltrekanten. Studer talltrekanten nedenfor, og se at dette stemmer med dine resultater.

Pascals talltrekant. Den første raden inneholder tallet 1. Den neste raden inneholder to ettall. Antall tall øker med 1 for hver rad nedover. Det første og det siste tallet i en rad er alltid 1. Et tall inne i trekanten er lik summen av de to nærmeste tallene i raden over. Illustrasjon. — Pascals talltrekant

Løsning

I trekanten er det markert for de tilfellene at antall kvartaler som omsluttes, er 6. Tallet 6 kan faktoriseres i $6 \cdot 1$ og $2 \cdot 3$ . Når vi legger inn disse to rektanglene i trekanten med det ene hjørnet i toppunktet, ser vi at hjørnet i de diagonale punktene nettopp gir tallene 7 og 10. Ser du at det stemmer for de andre resultatene også?

f) Utvid Pascals talltrekant (eller finn en variant som er stor nok på internett), og finn ut hvor mange former 12 kvartaler kan danne, og hvor mange forskjellige "korteste veier" de enkelte har.

Løsning

Vi får 3 ulike former, $12 = 12 \cdot 1 = 6 \cdot 2 = 4 \cdot 3$ , med henholdsvis 13, 28 og 35 korteste veier.

g) Utvid Pascals talltrekant, og finn ut hvor mange former 24 kvartaler kan danne, og hvor mange forskjellige "korteste veier" de enkelte har.

Løsning

Det blir 4 forskjellige former, $24 = 24 \cdot 1 = 12 \cdot 2 = 8 \cdot 3 = 6 \cdot 4$ , med henholdsvis 25, 91, 165 og 210 korteste veier.

3.3.67

Nedenfor ser du fire figurer som består av prikker. I figur 1 er det 1 prikk. I figur 2 er det 3 prikker. I figur 3 er det 6 prikker, og i figur 4 er det 10 prikker.

Bildet viser de fire første figurtallene som punkter i et rutenett. Skjermutklipp. — Figurtall

a) Hva slags geometriske former har disse figurene?

Løsning

Prikkene i hver figur (bortsett fra figur 1) danner en trekant.

b) Kan du fortsette og lage figur 5, 6, 7 og 8 etter samme mønster?

Delvis løsning

Figur 5 vil ha 5 prikker i høyden og i bredden. Figur 6 vil ha 6 prikker i høyden og i bredden og så videre.

Antall prikker i figurene kalles for trekanttall. Vi skriver $t_{1} = 1, t_{2} = 3, t_{3} = 6$ og så videre.

c) Kan du forklare hvorfor vi kan skrive

$\begin{array}{rcl} t_{1} & = & 1 \\ t_{2} & = & 1 + 2 = 3 \\ t_{3} & = & 1 + 2 + 3 = 6 \\ t_{4} & = & 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \end{array}$

og generelt

$t_{n} = 1 + 2 + 3 + . . . + n$ ?

Løsning

Formelen blir slik fordi i hver ny figur øker vi antall prikker med nummeret på figuren.

d) Fyll ut tabellen. Finner du igjen noen av tallkolonnene i Pascals talltrekant? Hva slags tall får du i kolonnen til høyre?

n	t_n	t_n+1	t_n + t_n+1
1
2
3
4
5
6
7

Løsning

n	t_n	t_n+1	t_n + t_n+1
1	1	3	4 = 2²
2	3	6	9 = 3²
3	6	10	16 = 4²
4	10	15	25 = 5²
5	15	21	36 = 6²
6	21	28	49 = 7²
7	28	36	64 = 8²

Tallkolonnene $n$ og $t_{n}$ (og dermed $t_{n + 1}$ ) finner vi igjen i talltrekanten. Vi får kvadrattallene i kolonnen til høyre.

e) Kan du finne en formel eller en matematisk modell for antall prikker i figur nummer $n$ ?

Tips til oppgaven

Tenk deg at du setter to like figurer, for eksempel figur 4, oppå hverandre.

Løsning

Figuren består av to figurer som hver er en modell av trekanttall nummer 4. Figurene er satt oppå hverandre slik at de danner et rektangel med totalt 20 prikker der prikkene som hører til hver sin trekanttallfigur har hver sin farge. Illustrasjon.

Hvis vi setter to like figurer oppå hverandre slik som bildet viser, får vi et rektangel der bredden er lik figurnummeret (her: 4), og høyden er én større enn figurnummeret. Da har vi altså dobbelt så mange prikker som figurtallet, så vi kan regne ut antall prikker i figurtall nummer 4 (og dermed trekanttall nummer 4) som

$t_{4} = \frac{5 \cdot 4}{2} (= 10)$

Antall prikker i figurtall nummer $n$ , og dermed formelen for trekanttall nummer $n$ , blir

$t_{n} = \frac{(n + 1) \cdot n}{2}$

f) Sett sammen to nabofigurer. Hva slags figur får du? Ser du noen sammenheng med den høyre kolonnen du fikk i oppgave d)?

Løsning

Figuren består av to figurer der den ene er en modell av trekanttall nummer 5, og den andre er en modell av trekanttall nummer 4. Figurene er satt oppå hverandre slik at de danner et kvadrat med totalt 25 prikker der prikkene som hører til hver sin trekanttallfigur har hver sin farge. Illustrasjon.

For eksempel danner figurene 5 og 4 et kvadrat. Summen av alle par av nabofigurer danner alltid et kvadrat. Derfor får vi også kvadrattallene i kolonnen til høyre i oppgave d).

g) Bruk formelen for trekanttallene, og vis at når du legger sammen to nabotrekanttall, får du alltid et kvadrattall. (Dette er en 1T-oppgave.)

Tips til oppgaven

Bruk formelen og legg sammen trekanttall $t_{n}$ og $t_{n + 1}$ . Du finner formelen for trekanttall nummer $n + 1$ ved å erstatte $n$ med $n + 1$ i formelen.

Løsning

$\begin{array}{rcl} t_{n} + t_{n + 1} & = & \frac{(n + 1) \cdot n}{2} + \frac{((n + 1) + 1) \cdot (n + 1)}{2} \\ = & \frac{(n + 1) \cdot n + (n + 2) \cdot (n + 1)}{2} \\ = & \frac{n^{2} + n + n^{2} + n + 2 n + 2}{2} \\ = & \frac{2 n^{2} + 4 n + 2}{2} \\ = & \frac{2 (n^{2} + 2 n + 1)}{2} \\ = & n^{2} + 2 n + 1 \\ = & {(n + 1)}^{2} \end{array}$

Summen blir altså et kvadrattall uansett hva $n$ er.

3.3.68

Tenk deg at en av dine forfedre i år 1900 satte inn 100 kroner i banken. Han fikk en avtale med banksjefen om en garantert årlig rente på 10 prosent. Din forfar døde, og nå viser det seg at du er den heldige arving til bankkontoen.

a) Lag en matematisk modell for hvordan pengene har vokst i banken når vi forutsetter at renta hele tida er 10 prosent. La $x$ stå for antall år etter 1900.

Løsning

Dette er prosentvis eller eksponentiell vekst. Vekstfaktoren ved 10 prosent økning er 1,1. Startsummen er 100 kroner. En modell for beløpet på kontoen etter $x$ år blir derfor

$f (x) = 100 \cdot 1, 1^{x}$

b) Vis et grafisk bilde av modellen. Hva er beløpet på kontoen i år 2021?

Løsning

Vi skriver inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra og skriver inn punktet (121, f(121)).

Grafen til funksjonen f av x er lik 100 multiplisert med 1,1 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 122. Et punkt på grafen er markert og har koordinatene 121 og 10197997,57. Skjermutklipp. — Vekst av 100 kroner satt inn år 1900 til rente på 10 prosent

I 2021 står det litt over 10 millioner på kontoen.

c) Du lar være å bruke pengene i dag og velger i stedet å la pengene stå på kontoen til du nærmer deg pensjonsalderen. Hva står på kontoen i år 2068?

Løsning

År 2068 vil si at $x = 168$ . Vi skriver inn punktet (168, f(168)).

Grafen til funksjonen f av x er lik 100 multiplisert med 1,1 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 170. Et punkt på grafen er markert og har koordinatene 121 og 10197997,57. Et annet punkt på grafen er markert og har koordinatene 168 og 899437740,35. Skjermutklipp. — Vekst av 100 kroner satt inn år 1900 til rente på 10 prosent

De 100 kronene satt inn i 1900 vil ha vokst til omtrent 900 millioner kroner i året 2068. Merk at tallene på $y$ -aksen er så store at de skrives på standardform.

d) Albert Einstein sa en gang "Renters rente-effekten er den sterkeste kraften vi kjenner". Hva mente Einstein med det?

Løsning

Albert Einstein hadde sett at når ting vokser eksponentielt, som for eksempel med penger i banken, så er veksten lenge relativt beskjeden, men når veksten først tar til, så "eksploderer" den.

Se på grafen i den forrige oppgaven. Det er ikke mye bankinnskuddet har vokst de første hundre årene, men se på de neste hundre årene.

3.3.69

Flytt på 2 piler (fyrstikker) og få 4 like kvadrater. Alle pilene skal brukes. Hver pil utgjør én side i et kvadrat.

Ruteark med piler som utgjør fem kvadrater. Tre kvadrater står på den øverste raden i rutearket, og det tredje kvadratet er forbundet med et kvadrat på raden under. Dette kvadratet er igjen forbundet med et kvadrat til høyre på den samme linja. Illustrasjon.

3.3.70

Gul fotball med blå himmel som bakgrunn. Foto.

Formelen $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ viser sammenhengen mellom radius til ei kule og volumet av kula.

a) Lag en plan for hvordan du kan bruke denne modellen for å finne radius til en fotball.

Tips til oppgaven

Hva skjer når du har et kar med vann og presser ballen under vann?

b) Få tak i en fotball og utfør planen.

3.3.71

En modell for svingetida til en pendel er $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ der $T$ er svingetida, $l$ er snorlengden og $g$ er tyngdens akselerasjon, som har verdien $9, 81 m / s^{2}$ .

a) Lag deg en pendel av et lodd eller lignende. Mål svingetida for pendelen for varierende snorlengder. Lag en modell for svingetida $T$ som funksjon av snorlengden $l$ .

Tips til oppgaven

Her er det lurt å bruke regresjon med GeoGebra. Hva slags regresjonstype passer best? Hva slags type funksjon er modellen øverst i oppgaven?

b) Sammenlikn din modell med denne modellen. Hva finner du?

c) Hvor lang må snorlengden være for at du på en enkel måte kan bruke pendelen til å telle sekunder?

d) Kanskje har noen i din familie et pendelur hjemme. I så tilfelle, undersøk hvordan du kan stille dette uret til å gå riktig.

3.3.72

Tre kolonner med sju tilfeldige kort fra en kortstokk i hver kolonne. Illustrasjon.

En kortkunst: Ta ut 21 kort fra en kortstokk. Fordel disse kortene i tre kolonner med sju kort i hver kolonne. La kortene ligge med billedsida opp, og la dem ikke overlappe mer enn at det er mulig å se hvilke kort som ligger i hver kolonne. Be en venn om å velge ut og tenke på ett bestemt kort og fortelle deg i hvilken kolonne dette kortet ligger.

Så samler du inn kortene, kolonne for kolonne, men du passer på å legge kolonnen med det valgte kortet i midten.

Så legger du ut kortene igjen i 3 kolonner, men slik at de tre øverste kortene blir de første kortene i hver kolonne, de tre neste kortene blir kort nummer to i hver kolonne og så videre.

Du ber så din venn fortelle i hvilken kolonne det valgte kortet nå ligger.

Du gjentar prosedyren beskrevet ovenfor og ber din venn for tredje gang fortelle i hvilken kolonne det valgte kortet ligger.

Så samler du inn kortene, kolonne for kolonne, og du passer igjen på å legge kolonnen med det valgte kortet i midten.

Nå vil alltid det valgte kortet ligge som nummer elleve i bunken!

Du kan nå, på en kreativ og mystisk måte, fortelle din venn hvilket kort hun har valgt.

Din oppgave

Hvorfor er det slik at det valgte kortet alltid vil havne på plass nummer elleve?

Rutenett som viser ni ruter, tre vannrett og tre loddrett. Illustrasjon. — Magisk kvadrat

3.3.73 Magisk kvadrat

Klarer du å skrive inn hvert av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 i hver sin rute slik at når du summerer tallene i tre ruter, enten vannrett, loddrett eller diagonalt, så blir summen alltid den samme?

Aktuelle eksamensoppgaver på NDLA

Eksamen 2P våren 2015 del 2: oppgave 4
Eksamen 2P høsten 2014 del 2: oppgave 4
Eksamen 2P våren 2014 del 2: oppgave 6
Eksamen 2P høsten 2012 del 1: oppgave 9
Eksamen 2P høsten 2012 del 2: oppgave 7

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 24.02.2021

Andre typer modeller og mønstre

3.3.60

3.3.61

3.3.62

3.3.63

3.3.64

3.3.65

3.3.66 Bytur i Kristiansand

3.3.67

3.3.68

3.3.69

3.3.70

3.3.71

3.3.72

Din oppgave

3.3.73 Magisk kvadrat

Aktuelle eksamensoppgaver på NDLA

Regler for bruk