Arealsetningen for trekanter

Vi skal finne arealet av et trekantet lekeområde ABC hvor AB er 60 m, AC er 50 m og vinkel A er 57 grader.

Løsning

Vi kjenner arealformelen for en trekant:$T=\frac{g·h}{2}$.

Høyden h deler trekanten i to rettvinklede trekanter. I den venstre rettvinklede trekanten blir høyden h motstående katet til vinkel A. Hypotenusen blir siden AC. Da kan vi sette opp

$\begin{array}{rcl} \sin A& = & \frac{\mathrm{Motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{h}{AC}\\ & & \\ \sin 57°& =& \frac{h}{50}\\ & & \\ h& =& 50·\sin 57°\end{array}$

Når vi setter dette inn i arealformelen for trekanten, får vi

$T=\frac{g·h}{2}=\frac{60·50·\sin 57°}{2}=\frac{1}{2}·60·50·\sin 57°\approx 1 300$

Arealet av lekeområdet er $1 300 {\mathrm{m}}^2$.

Se på eksempelet over og skriv ned med hele setninger hvordan vi regnet ut arealet til trekanten. Klikk på boksen nedenfor for å se forslag til tekst.

Denne framgangsmåten kan brukes i alle lignende situasjoner. Vi kan da lage en generell formel for arealet av en trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Med samme framgangsmåte som i eksempelet over, får vi

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{h}{b}\\ & & \\ h& =& b·\sin A\end{array}$

Vi får da at

$\begin{array}{rcl} T& = & \frac{c·h}{2}\\ & & \\ & =& \frac{c·b·\sin A}{2}\\ & & \\ & =& \frac{1}{2}·c·b·\sin A\end{array}$

Kan vi bruke formelen over uansett hvor stor vinkelen mellom de to aktuelle sidene er? Vi ser på en trekant hvor vinkelen u mellom de to sidene p og q er større enn 90 grader, slik som figuren til venstre nedenfor.

Vi har også lagd en hjelpefigur der vi har tegnet inn høyden i trekanten når vi har valgt p som grunnlinje.

Bruk hjelpefiguren og finn en formel for høyden h i trekanten ut i fra vinkelen v og siden q.

Vi har videre at $u+v=180° \Rightarrow v=180°-u$

Vinklene 𝑢 og 𝑣 i trekanten over er dermed supplementvinkler som har samme sinusverdi. Da har vi altså at

$\sin v=\sin u$

Arealet av trekanten blir da

$T=\frac{1}{2}p·h=\frac{1}{2}p·q \sin v=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Formelen for arealet vi kom fram til over, gjelder altså også her, og dermed for alle trekanter.

Arealsetningen for trekanter

La 𝑢 være vinkelen mellom to sider p og q i en trekant.

Arealet av trekanten er gitt ved formelen

$T=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Regn ut arealet av trekant ABC når

$AB = 4,5 \mathrm{cm}, AC = 2,8 \text{cm}$ og $\angle A=101°$

Løsning

Her bruker vi arealsetningen direkte, og vi bruker GeoGebra til å regne ut arealet.

$Arealet=\frac{1}{2}·AB·AC·\sin A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{2}·4.5·2.8·\sin \left(101°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 6.18\end{array}}$

Hvis vi vil, kan vi sette utregningen lik variabelen "Arealet" og ta med enhetene.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Arealet}:=\frac{1}{2}·4.5 \mathrm{cm}·2.8 \mathrm{cm}·\sin \left(101°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx \mathrm{Arealet}:=6.18 {\mathrm{cm}}^2\end{array}}$

Arealet er $6,2 {\mathrm{cm}}^2$.