Oppgave

Programmer som deriverer funksjoner

Vi kan lage programmer som kan finne den deriverte funksjonen for de fleste funksjoner.

Et program som skal finne den deriverte funksjonen til en funksjon, må kunne ta imot funksjonen fra brukeren.

3.4.30

Den enkleste typen funksjoner å derivere er polynomfunksjoner. Vi ser på andregradsfunksjoner først.

a) Spørsmål

Hvordan ser en generell andregradsfunksjon ut?

Løsning

Vanligvis skriver vi en generell andregradsfunksjon som

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Brukeren av programmet trenger derfor bare skrive inn de tre konstantene $a, b$ og $c$ . Ut ifra disse tre må vi klare å komme fram til den deriverte.

I artiklen Hvordan finne den deriverte funksjonen ved regning har vi at $f^{'} (x)$ er den verdien uttrykket

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

nærmer seg mot når $Δ x$ går mot null.

b) Utregning

Finn den deriverte funksjonen til den generelle andregradsfunksjonen ved å bruke definisjonen over.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{Δ y}{Δ x} & = & \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ = & \frac{a {(x + Δ x)}^{2} + b (x + Δ x) + c - (a x^{2} + b x + c)}{Δ x} \\ = & \frac{a (x^{2} + 2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}) + b x + b \cdot Δ x - a x^{2} - b x - c}{Δ x} \\ = & \frac{a x^{2} + 2 a x \cdot Δ x + a {(Δ x)}^{2} + b x + b \cdot Δ x - a x^{2} - b x - c}{Δ x} \\ = & \frac{2 a x \cdot Δ x + b \cdot Δ x + a {(Δ x)}^{2}}{Δ x} \\ = & \frac{Δ x (2 a x + b + a \cdot Δ x)}{Δ x} \\ = & 2 a x + b + a \cdot Δ x \end{array}$

Nå kan vi la $Δ x$ gå mot 0 uten problemer. Da forsvinner det siste leddet, og vi får

$f^{'} (x) = 2 a x + b$

c) Algoritme

Skriv algoritmen til et program som tar imot konstantene $a, b$ og $c$ , og skriv ut både funksjonen og den deriverte funksjonen. Husk at algoritmen skal inneholde gode forklarende tekster som viser hva programmet gjør.

Løsningsforslag

Skriv til skjermen "Dette programmet deriverer en vilkårlig andregradsfunksjon.".
Skriv til skjermen "Programmet går ut ifra at funksjonen er på formen f(x) = ax^2 + bx + c.".
Skriv til skjermen "Skriv inn konstanten a:".
Ta imot verdien fra brukeren, og sett den lik variabelen a.
Skriv til skjermen "Skriv inn konstanten b:".
Ta imot verdien fra brukeren, og sett den lik variabelen b.
Skriv til skjermen "Skriv inn konstanten c:".
Ta imot verdien fra brukeren, og sett den lik variabelen c.
Regn ut produktet av 2 og variabelen a, og sett resultatet lik variabelen produkt.
Skriv til skjermen "f(x) = <a>x^2 + <b>x + <c>".
Skriv til skjermen "f´(x) = <produkt>x + <b>".

Det er brukt vinkelparenteser på de to siste linjene i algoritmen for å markere at her er det verdien av variabelen vi mener.

d) Koding

Skriv koden til programmet, og test at det fungerer slik det skal.

3.4.31

a) Utregning, algoritme og koding

Vi ønsker at brukeren skal kunne skrive inn en tredjegradsfunksjon i programmet i oppgave 3.4.30.
Gjør det samme som i hele den forrige oppgaven, men nå med en tredjegradsfunksjon.

b) Spørsmål

Trenger vi programmet i oppgave 3.4.30 når vi har lagd et tilsvarende program for tredjegradsfunksjoner?

3.4.32

Gjør det samme som over, men nå med en generell rasjonal funksjon av typen

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

3.4.33

Gjør det samme som over, men nå med funksjonen

$f (x) = a x^{- 2}$