Oppgave

Andregradslikninger med abc-formelen

Alle oppgavene nedenfor unntatt de to siste skal løses uten bruk av hjelpemidler. Men alle oppgavene kan løses med CAS.

1.7.10

Løs likningene ved å bruke abc-formelen.

a) $x^{2} + 7 x = - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 7 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{- 7 + 5}{2} = - 1 \lor x_{2} = \frac{- 7 - 5}{2} = - 6 \end{array}$

Tegnet " $\lor$ " betyr "eller".

b) $x^{2} + 5 x = - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 6}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + \sqrt{1}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 \lor x_{2} = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{array}$

c) $x^{2} = 2 x + 24$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 24 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 + 10}{2} = 6 \lor x_{2} = \frac{2 - 10}{2} = - 4 \end{array}$

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du setter inn i abc-formelen.

1.7.11

Løs likningene ved å bruke abc-formelen

a) $270 x^{2} + 230 x = 540 - 40 x$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 270 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 270 x^{2} + 270 x - 540 & = & 0 : 270 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1} & = & \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \lor x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \end{array}$

b) $360 x^{2} - 360 x = - 90$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 360 x^{2} - 360 x + 90 & = & 0 : 90 \\ 4 x^{2} - 4 x + 1 & = & 0 \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \\ x_{1} & = & \frac{4 + 0}{8} \lor x_{2} = \frac{4 - 0}{8} \\ x_{1} & = & x_{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

1.7.12

Løs likningene ved å bruke abc-formelen

a) $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{1 + 3}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{array}$

b) $- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med -2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

c) $- 5 x = x^{2} + 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{1}}{- 2} \\ x_{1} & = & \frac{5 + 1}{- 2} = - 3 \lor x_{2} = \frac{5 - 1}{- 2} = - 2 \end{array}$

1.7.13

Løs likningene ved å bruke abc-formelen

a) $- x^{2} - 6 x - 8 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 6 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{4}}{- 2} \\ x_{1} & = & \frac{6 + 2}{- 2} = - 4 \lor x_{2} = \frac{6 - 2}{- 2} = - 2 \end{array}$

b) $3 x^{2} + 12 = - 12 x$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi setter inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 12 x + 12 & = & 0 | : 3 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x_{1} & = & x_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

c) $3 x^{2} + 2 = 2 x$

vis fasit

Vi må ordne likningen først.

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.7.14

Løs likningene ved å bruke abc-formelen.

a) $0, 3 x^{2} + 0, 2 = 0, 2 x$

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 10 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 0, 3 x^{2} - 0, 2 x + 0, 2 & = & 0 \cdot 10 \\ 3 x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

b) $0, 003 x^{2} + 0, 002 = 0, 002 x$

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 1000 før vi setter inn i abc-formelen. Husk å ordne likningen også.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 0, 003 x^{2} - 0, 002 x + 0, 002 & = & 0 \cdot 1000 \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.7.15

Løs likningene

a) $x^{2} - 4 x + 2 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} \lor x_{2} = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} \lor x_{2} = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} \\ x_{1} & = & 2 + \sqrt{2} \lor x_{2} = 2 - \sqrt{2} \end{array}$

b) $10 x^{2} = 10 x + 4$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 5 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{65}}{10} \\ x_{1} & = & \frac{5 + \sqrt{65}}{10} \lor x_{2} = \frac{5 - \sqrt{65}}{10} \end{array}$

c) $x (x - 2) + 2 = 4 - 4 x$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x + 2 - 4 + 4 x & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2} \lor x_{2} = \frac{2 (- 1 - \sqrt{3})}{2} \\ x_{1} & = & \sqrt{3} - 1 \lor x_{2} = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

d) $4 - x (2 - x) = 3 (x - 1) + 2 x^{2}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 4 - 2 x + x^{2} & = & 3 x - 3 + 2 x^{2} \\ x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x + 4 + 3 & = & 0 \\ - x^{2} - 5 x + 7 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 + 28}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{53}}{- 2} \\ x_{1} & = & - \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \lor x_{2} = - \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}$

e) $4 x^{2} - 2 x (3 - x) + 11 x = 3 (x + 1) - 2 x^{2}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 11 x & = & 3 x + 3 - 2 x^{2} \\ 4 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 11 x - 3 x - 3 & = & 0 \\ 8 x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 10}{2 \cdot 8} \\ x_{1} & = & \frac{- 12}{16} = - \frac{3}{4} \lor x_{2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \end{array}$

1.7.16

Grunnflaten til et hus er et rektangel med bredde $x$ meter og lengde $(x + 4)$ meter. Arealet er 96 m². Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

vis fasit

Vi setter opp en likning

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x + 4) & = & 96 \\ x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm 20}{2} \\ x_{1} & = & 8 \lor x_{2} = - 12 \end{array}$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$8 + 4 = 12$

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

1.7.17

Grunnflaten til et hus er et rektangel med bredde $(x - 5)$ meter og lengde $x$ meter. Arealet er 126 m². Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

vis fasit

Vi setter opp en likning

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x - 5) & = & 126 \\ x^{2} - 5 x - 126 & = & 0 \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 126)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 23}{2} \\ x_{1} & = & 14 \lor x_{2} = - 9 \end{array}$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$14 - 5 = 9$

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

1.7.18

Grunnflaten til en garasje er et rektangel med bredde $x$ meter og lengde $(x + 2)$ meter. Diagonalen i grunnflaten er 10 meter. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor lang og hvor bred garasjen er.

vis fasit

Her må vi bruke pytagorassetningen for å sette opp likningen.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 2)}^{2} & = & 10^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - 100 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 48 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 14}{2} \\ x_{1} & = & 6 \lor x_{2} = - 8 \end{array}$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$6 + 2 = 8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.

1.7.19

En tomt er et rektangel med bredde $x$ meter og lengde $(x + 10)$ meter. Diagonalen er 50 meter. Finn arealet av tomta.

vis fasit

Vi må først finne lengden av sidene.

Vi bruker pytagorassetningen og setter opp en likning.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 10)}^{2} & = & 50^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 20 x + 100 - 2500 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 20 x - 2400 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 10 x - 1200 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1200)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 10 \pm \sqrt{4900}}{2} \\ x & = & \frac{- 10 \pm 70}{2} \\ x_{1} & = & 30 \lor x_{2} = - 40 \end{array}$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$30 + 10 = 40$

Sidelengdene blir 30 m o g 40 m.

Arealet blir da $30 m \cdot 40 m = 1200 m^{2}$ .

1.7.20

a) Gitt andregradslikningen $a x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Bruk abc-formelen og finn ut hvilke verdier av $a$ som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 4}}{2 \cdot a} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 a}}{2 a} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $16 - 16 a$ .

Dersom $a > 1$ vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dersom $a = 1$ vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning, $x = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$ .

Dersom $a < 1$ vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

b) Gitt andregradslikningen $x^{2} - b x + 4 = 0$

Bruk abc-formelen og finn ut hvilke verdier av $b$ som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- b) \pm \sqrt{{(- b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 16}}{2} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $b^{2} - 16$ .

Dersom $b^{2} < 16$ vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dette vil skje når $b$ ligger mellom $- 4$ og $4$ .

Dersom $b^{2} = 16$ , dvs når $b = 4$ eller $b = - 4$ vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning.

$b = - 4 : x = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$

$b = 4 : x = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2 .$

Dersom $b^{2} > 16$ dvs når $b > 4$ eller $b < - 4$ , vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

1.7.21

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekunder er høyden $h$ meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket $h = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$ .

a) Når er ballen 10 m over bakken?

vis fasit

Vi setter inn 10 m for høyden $h$ og får

$10 = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 10 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

b) Når treffer ballen bakken?

vis fasit

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Vi setter inn 0 m for høyden $h$ og får

$0 = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 0 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får?

vis fasit

Vi setter inn 15 m for høyden $h$ og får

$15 = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 15 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ingen løsning. Det må bety at ballen når aldri en høyde på 15 m over bakken.

1.7.22

Overflaten til en brusboks med topp og bunn er gitt ved

$O = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Hva er radius til en brusboks med overflate $250 {cm}^{2}$ og høyde $5 cm$ ?

vis fasit

Vi setter inn formelen og får

$250 = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot 5 250 = 2 π r^{2} + 10 π r$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 250 er lik 2 pi r i andre + 10 pi r. CAS-utklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Brusboksen har en radius på 4,3 cm.

1.7.10

1.7.11

1.7.12

1.7.13

1.7.14

1.7.15

1.7.16

1.7.17

1.7.18

1.7.19

1.7.20

1.7.21

1.7.22

Regler for bruk av teksten "Andregradslikninger med abc-formelen"