Å løse andregradslikninger med abc-formelen

Vi ser på den generelle andregradslikningen $a{x}^2+bx+c=0$. Her får vi et lite problem ved at de samme bokstavene $a$ og $b$ er brukt både til å illustrere kvadratsetningen og andregradsuttrykket. Vi løser dette ved å bruke bokstavene $x$ og $k$ i kvadratsetningen slik at denne blir

${\left(x+k\right)}^2=x^2+2xk+k^2$

Det er godt mulig at du kan komme fram til abc-formelen på egenhånd. Prøv deg uten å se på løsningen.

Tips: Bruk metoden med å danne fullstendig kvadrat.

Utledning av abc-formelen

$$ \begin{array}{rcl} a{x}^2+bx+c& = & 0 \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{med} a \mathrm{i} \mathrm{alle} \mathrm{ledd}.\\ & & \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}& =& 0 \\ & & \\ x^2+\frac{b}{a}x+k^2& =& -\frac{c}{a}+k^2 \mathrm{Vi} \mathrm{må} \mathrm{ha} 2xk=\frac{b}{a}x\Rightarrow k=\frac{b}{2a}.\\ & & \\ x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2& =& -\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2& =& \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4a·c}{4a·a}\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2& =& \frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{array}$$

$\begin{array}{rcl}& & \\ x+\frac{b}{2a}& = & +\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \mathrm{eller} x+\frac{b}{2a}=-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ & & \\ x& =& -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \mathrm{eller} x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & & \\ x& =& \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \mathrm{eller} x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen $a{x}^2+bx+c=0$.

Du husker kanskje at vi definerte kvadratroten bare til positive tall og null? Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tallene når det som står under rottegnet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker, da gir løsninger med bokstaven $$ i$$? Det vil si at løsningen er såkalt imaginær. For oss betyr det likevel at likningen ikke har noen løsning.

Andregradslikningen har bare én løsning når det som står under rottegnet, er lik null.

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1

$\begin{array}{rcl} x^2& = & 5-4x\\ & & \\ x^2+4x-5& =& 0 \mathrm{Vi} \mathrm{ordner} \mathrm{likningen} \mathrm{og} \begin{array}{rcl}& & \mathrm{finner}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \mathrm{at}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & a\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 1\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & b\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 4\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & c\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & 5\end{array}\begin{array}{rcl}& & .\end{array}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2·1} \mathrm{Vi} \mathrm{setter} \mathrm{inn} \mathrm{i} \mathrm{formelen}.\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4+6}{2} \mathrm{eller} x=\frac{-4-6}{2}\\ & & \\ x& =& 1 \mathrm{eller} x=-5\end{array}$

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for $x$ som passer i den opprinnelige likningen.

Eksempel 2

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\frac{-4\pm 0}{2}=-2\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning.

Eksempel 3

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{4-16}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{-12}}{2}\\ & & \\ & & \mathrm{Ingen} \mathrm{løsning}\end{array}$

Vi får $-12$ under rottegnet, og $\sqrt{-12}$ er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, det vil si at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi løsningene nedenfor ved å bruke knappen $\boxed{\underset{}{\overset{}{\mathrm{x}}}=}$.

Legg merke til markeringen for "ingen løsning" i linje 3.