Potenser og rotuttrykk

Vi har til nå regnet med potenser der eksponentene er hele tall.

Vi kan også regne med potenser der eksponentene er brøker, potenser med rasjonale eksponenter.

Vi vil at de regnereglene som gjelder for potenser med heltallige eksponenter, også skal gjelde for potenser med rasjonale eksponenter.

Potensregelen ${\left(a^n\right)}^m=a^{m·n}$ medfører da for eksempel at

${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^2=4^{\frac{1}{2}·2}=4^1=4$

Dette betyr at tallet $4^{\frac{1}{2}}$ må være lik $-2$ eller $2$, siden begge disse tallene opphøyd i andre gir svaret $4$.

Hvis vi bestemmer at $4^{\frac{1}{2}}$ ikke skal være negativt, blir $4^{\frac{1}{2}}=2 \mathrm{og} 4^{\frac{1}{2}}$ blir det samme som kvadratroten til $4$.

Legg merke til at vi har definert $\sqrt[n]{a}$ også for negative tall når $n$ er et oddetall. Men vi ønsker å forbeholde notasjonen $a^{\frac{1}{n}}$ for positive verdier av $a$.

Hva hvis eksponenten i en potens er en brøk med teller forskjellig fra 1?

Dersom vi bruker de regnereglene vi har for potenser på ulike måter på uttrykket ${27}^{\frac{2}{3}}$, får vi

$\begin{array}{rcl}1. {27}^{\frac{2}{3}}& = & {27}^{\frac{1}{3}·2}={\left({27}^{\frac{1}{3}}\right)}^2=3^2=9\\ & & \\ 2. {27}^{\frac{2}{3}}& =& {27}^{2·\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{{27}^2}=\sqrt[3]{729}=9\\ & & \\ 3. {27}^{\frac{2}{3}}& =& {\left(3^3\right)}^{\frac{2}{3}}=3^{3·\frac{2}{3}}=3^2=9\end{array}$

Disse sammenhengene gjelder generelt.

Når du skal forenkle uttrykk som inneholder rotuttrykk, er det ofte lurt å skrive rotuttrykkene på potensform og bruke regnereglene for potenser.

Eksempel

$\sqrt{a}·\sqrt[3]{a^2}·\sqrt[6]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}·a^{\frac{2}{3}}·a^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}}=a^{\frac{12}{6}}=a^2$