Hopp til innhold

Fagstoff

Pytagoras’ setning

Vi bruker Pytagoras' setning blant annet til å finne ukjente sider i rettvinklede trekanter.

Hva er Pytagoras' setning?

Trekant med sidekanter a lik 3, b lik 4 og c lik 5. Illustrasjon.

Tegn en trekant som er rettvinklet og der de korteste sidene er tre og fire enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem enheter lang?

Ta nå alle de tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden $c$ er $c^{2} = 5^{2} = 25$ .

Kvadratet av sidelengden $a$ er $a^{2} = 3^{2} = 9$ .

Kvadratet av sidelengden $b$ er $b^{2} = 4^{2} = 16$ .

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste sida. Hva ser du?

Vi ser at $25 = 9 + 16$ . Det er det samme som $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

En trekant med sidekanter på tre, fire og fem. På hver sidekant er det tegnet inn et kvadrat med areal på henholdsvis ni, seksten og tjuefem. Illustrasjon.

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste sida i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagoras' setning:

${hypotenus}^{2} = {katet}_{1}^{2} + {katet}_{2}^{2}$

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

En rettvinklet trekant med navn på hjørner, A, B og C, og navn på sider, a, b og c. Sidene a og b er kateter, og sida c er hypotenus. Illustrasjon.

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har den samme bokstaven på motstående hjørner og sider.

Geometrisk bevis for Pytagoras' setning

Et stort, hvitt kvadrat med et mindre, grått kvadrat inni. Sidelengden på det store kvadratet er a pluss b, mens sidelengden på det innerste kvadratet er c. Arealet av det innerste kvadratet er c i andre. Illustrasjon.

Lag et kvadrat med sidelengder $a + b$ . Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe det ut av et stivt papir, eller du kan tegne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler $a$ og $b$ , trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du $c$ .

Et stort kvadrat med sidelengde a pluss b. Inne i kvadratet er det tegnet to mindre kvadrater, et med sidelengde a og areal a i andre og et med sidelengde b og areal b i andre. I tillegg er det to rektangler med sidelengder a og b, der diagonalen har lengde c. Illustrasjon.

Det grå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde $c$ og areal $c^{2}$ .

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik $a + b$ .

Samlet areal til de fire rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at de grå arealene i de to figurene er like store, altså at $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.

Å finne ukjente sider i en rettvinklet trekant

Eksempel 1. Hypotenusen er ukjent

Rettvinklet trekant med sider a, b og c. a er 5 centimeter, og b er 2 centimeter. Illustrasjon.

Vi ønsker å finne ut hvor lang sida $c$ på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og Pytagoras' setning gir:

$\begin{array}{rcl} c^{2} & = & 2, 0^{2} + 5, 0^{2} \\ c^{2} & = & 4, 0 + 25, 0 \\ c^{2} & = & 29, 0 \\ c & = & \sqrt{29, 0} \\ c & = & 5, 38 \approx 5, 4 \end{array}$

Sida $c$ er 5,4 centimeter.

Trekant A B C der A C er 6,5 centimeter lang, B C er 2,7 centimeter lang, og A B er c. Illustrasjon.

Eksempel 2. Kateten er ukjent

Vi ser nå på den neste trekanten. Denne gangen velger vi å bruke CAS for å finne den ukjente sida ved hjelp av Pytagoras' setning:

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 2,7 opphøyd i andre pluss c opphøyd i andre er lik 6,5 opphøyd i andre. Under står det N Løs kolon sløyfeparentes c er lik minus 5,913 komma c er lik 5,913 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Sida $A B$ er 5,9 meter.

Eksempel 3. Et praktisk eksempel

En stige er stilt opp mot en husvegg slik at det dannes en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken mellom husveggen og stigen er 2,4 meter. Stigen treffer veggen 4,6 meter over bakken. Illustrasjon.

En stige skal plasseres 2,4 meter fra en husvegg slik at den akkurat når opp til vinduskarmen i et vindu i andre etasje. Vinduskarmen er 4,6 meter over bakken.

Hvor lang må stigen være?

Løsning

La stigen være $x$ meter lang.

Pytagoras' setning gir

CAS-utregning med GeoGebra. På første linje er det skrevet x i andre er lik 4,6 i andre pluss 2,4 i andre. Under står det N Løs kolon sløyfeparentes x er lik minus 5,188 komma x er lik 5,188 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Stigen må være $5, 2$ meter lang.

Lage rette vinkler ved hjelp av Pytagoras' setning

Her kan du se en video som viser hvordan man kan bruke Pytagoras' setning i praksis når man skal lage rette vinkler.

Se videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noe av det du lærte til å sjekke om hjørnene i klasserommet ditt eller i stua hjemme er rette? Alt du trenger, er en tommestokk eller et målebånd!

Video: Kjell Brørs

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 22.06.2021

Læringsressurser

Egenskaper ved geometriske figurer