Volum og overflate

Arealet av grunnflata er $$ 1 320 {cm}^2\hspace{0.17em}=13,2 {\mathrm{dm}}^2$$.

Volumet av eska er

$26 400 {\mathrm{cm}}^3=26,4 {\mathrm{dm}}^3=26,4 \mathrm{L}$

Overflata av eska er lik arealet av bunnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt fem sider.

Overflata er $$ $ 4 600 {\mathrm{cm}}^2=46,0 {\mathrm{dm}}^2$$$.

Kartongen rommer

$1 013,8 {\mathrm{cm}}^3=1,0 {\mathrm{dm}}^3=1,0 \mathrm{L}$

Antall kubikkmeter som må graves ut, er
$18 750 {\mathrm{m}}^3$.

Kakeboksen rommer 5,54 liter.

Volumet av oljetanken er

$35 {\mathrm{m}}^3=35 000 {\mathrm{dm}}^3=35 000 \mathrm{liter}$

Overflata $O$ av en sylinder med topp og bunn er gitt ved formelen

$O=2\pi r·h+2·\pi r^2$

Overflata av oljetanken er $$ \mathrm{61 }{\mathrm{m}}^2$$.

Høyden til gryta er $$ $ 1,51 \mathrm{dm}=15 \mathrm{cm}$$$.

$$ $ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{G·h}{3}\\ & =& \frac{4·4·6}{3}\\ & =& 32\\ & & \end{array}$$$

Vi bruker Pytagoras' setning:

$$ $ \begin{array}{rcl}{h}^2 & =& 2^2+6^2\\ & =& 40\\ h & =& \sqrt{40}\\ & =& 6,32\approx 6,3\\ & & \end{array}$$$

Vi har fire trekanter som utgjør sidekantene, og et kvadrat som utgjør grunnflata:

$$ \begin{array}{rcl}O & =& A_{\square }+4·A_{△}\\ & =& 4·4+4·\frac{4·6,3}{2}\\ & =& 16+4·2·6,3\\ & =& 16+50,4\\ & =& 66,4\end{array}$$

Vi bruker Pytagoras' setning:

$$ \begin{array}{rcl}h & =& \sqrt{8,0^2-3,5^2}\\ & =& \sqrt{51,75}\\ & =& 7,19 \approx 7,2\end{array}$$

Høyden i kjegla er 7,2 cm.

Vi bruker formelen:

$$ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}\\ & =& \frac{\mathrm{\pi }·3,5^2·7,2}{3}\\ & =& 92,3 \approx 92\end{array}$$

Vi har at volumet er cirka 92 cm².

Vi bruker formelen:

$$ \begin{array}{rcl}O & =& \pi r^2+\pi rs\\ & =& \pi 3,5^2+\pi ·3,5·8,0\\ & =& 126\end{array}$$

Overflatearealet til kjegla er cirka $$ $ 126 {\mathrm{cm}}^2\approx 1,3 {\mathrm{dm}}^2$$$.

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen

$$ $ V=\frac{\pi r^2·h}{3}$$$

Volumet av kjegla er $$ $ 3 619 {\mathrm{cm}}^3\approx 3,62 {\mathrm{dm}}^3$$$.

Overflaten av ei kjegle med bunn er gitt ved formelen
$$ $ O=\pi r^2+\pi r·s$$$.

Vi finner først sidekanten $s$ ved hjelp av Pytagoras' setning.

Overflaten av kjegla er $$ $ \mathrm{1 464} {\mathrm{cm}}^2\approx 14,6 {\mathrm{dm}}^2$$$.

$$ $ \begin{array}{rcl}\mathrm{Overflata} & =& 4·\mathrm{\pi }·r^2\\ & =& 4·\mathrm{\pi }·(4,0 \mathrm{cm}{)}^2\\ & =& 200 {\mathrm{cm}}^2=2,0 {\mathrm{dm}}^2\\ & & \end{array}$$$

Overflata av appelsinen er arealet av skallet.

$$ $ \begin{array}{rcl}\mathrm{Volumet} & =& \frac{4·\mathrm{\pi }·r^3}{3}\\ & =& \frac{4·\mathrm{\pi }·(4,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}\\ & =& 270 {\mathrm{cm}}^3=0,27 {\mathrm{dm}}^3\\ & & \end{array}$$$

Radien av selve appelsinkjøttet:

$4,0 \mathrm{cm}-0,3 \mathrm{cm}=3,7 \mathrm{cm}$

Volumet av appelsinen uten skall:

$$ $ \frac{4·\mathrm{\pi }·r^3}{3}=\frac{4·\mathrm{\pi }·(3,7 \mathrm{cm}{)}^3}{3}=210 {\mathrm{cm}}^3=0,21 {\mathrm{dm}}^3$$$

Volumet av skallet er ytre volum minus indre, altså

$270 {\mathrm{cm}}^3-210 {\mathrm{cm}}^3=60 {\mathrm{cm}}^3$.

Radien i kula er den samme som radien på kjeksen, det vil si 3,0 cm.

Volumet av en halvkule med is:

$\frac{4·\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}·\frac{1}{2}$

Volumet av en kjegle med is:

$\frac{\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{cm}{)}^2·12,0 \mathrm{cm}}{3}$

Samlet mengde is blir

$170 {\mathrm{cm}}^3=0,17 \mathrm{L}=1,7 \mathrm{dL}$

Vi løser oppgaven i GeoGebra:

Tilhengeren rommer 827 liter.

Her kan det være greit å sette opp en likning. Vi kan regne ut massen i kg ved å multiplisere antall liter grus med antall kg grus per liter. Antall liter grus får vi ved å multiplisere lengden med bredden og videre med den ukjente høyden, som vi her kaller $h$. Dette regnestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasten.

Vi får

$20,37 \mathrm{dm}·11,60 \mathrm{dm}·h·2,5\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{dm}}^3}=610 \mathrm{kg}$

Her har vi tatt med enhetene for å kontrollere at vi ikke har andre typer enn dm og kg. Når vi løser dette i GeoGebra, kan vi skrive inn enhetene og få tallsvaret med riktig enhet i tillegg. Da må vi i tilfelle bruke kommandoen Løs(likning, variabel) sammen med knappen for numerisk utregning:
$\boxed{\approx }$

Det kan fylles et gruslag med en tykkelse på $1,03 \mathrm{dm}=10,3 \mathrm{cm}$.

Alternativ løsning

Vi finner først ut hvor mange liter grus vi får av 610 kg. Deretter regner vi ut arealet av grunnflata i tilhengeren. Til slutt tar vi volumet av grus og deler på grunnflata for å finne høyden. Vi tar hele tida med enhetene i CAS-utregningen som kontroll.

Vi regner ikke topp og bunn i dette tilfellet.

Det vil gå med 1,3 liter maling.

Vi bruker Pytagoras' setning og finner høyden:

$\begin{array}{c}(\mathrm{sidekant}{)}^2=(\mathrm{radien}{)}^2+(\mathrm{høyden}{)}^2\\ \\ s^2=r^2+h^2\end{array}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Høyden er 5,9 dm.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Volumet er $36 {\mathrm{dm}}^3$.